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第二十五章 一元二次方程
25.3实际问题与一元二次方程课时1
1.掌握列一元二次方程解决实际问题的一般步骤.
2.能从实际问题(如几何图形、存在性问题)中抽象出数量关系，列出一元二次方程，并根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.
同一元一次方程、二元一次方程(组)一样，一元二次方程也是刻画某些问题中等量关系的数学模型，运用一元二次方程可以解决很多问题.
是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有
多少个？
例1
解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x+1，x+2，其中x为正整数.
由勾股定理，得 x2+(x+1)2=(x+2)2.
解方程，得 x1=3，x2=-1(不符合题意，舍去).
因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3,4,5.
用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？
例2
分析：假设细绳能围成面积为96 m2的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度.
设矩形一边长为x m，由周长为40 m，可用含x的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解.
用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？
例2
解：设矩形的一边长为x m，由矩形的周长为40 m，可得此边的邻边长为(20-x)m；
再由矩形的面积为 96m2，得x(20-x)=96.
解方程，得x1=12，x2=8.
思考：方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？
因此，用一根长为40 m的细绳可以围成面积为96 m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12m.
思考：对于例2中的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种. 例如：
(1)可设一边长为x m，那么其邻边长为 m；
(2)可设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10-x)m.
能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例2吗？比较这些设法，说说它们各自的特点.
(1)根据题意，得 2(x + ) = 40.
解得 = 12, = 8.
(2)根据题意，得 (10 + x)(10 - x) = 96，
解得= 2, = -2.
(1)的设元方法简单直接，
(2)的设元方法求解简便.
步骤 内容摘要 注意事项
①审 审清题意，明确已知和未知，找到它们之间的等量关系. 等量关系往往体现在关键词句中.
②设 设未知数，方法有直接设元法、间接设元法和辅助设元法（引入辅助未知数，并在解题过程中消去）. 有单位的要带单位.
③列 用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程. 方程两边单位要统一.
④解 根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值. 一般不必写出解方程的过程.
⑤检 检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义. 一般两个根中只有一个符合实际意义.
⑥答 写出实际问题的答案. 遵循 “问什么答什么” 的原则.
列方程解实际问题，指的是先把实际问题抽象为数学问题（即建立方程模型），然后通过解决数学问题来解决实际问题. 一般步骤如下：
1.怎样用一根长为 40m 的细绳围成一个面积为 75m2 的矩形区域？能围成一个面积为101m2 的矩形区域吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由.
解：设围成的矩形区域一边长为x m，则其邻边长为(20-x)m.
依题意，得x(20-x)=75，
解方程，得=5，=15，
当x=5时，20-x=15；当x=15时，20-x=5.
所以，当相邻的两边长分别为15m和5m时，能围成一个面积为75m 的矩形区域.
1.怎样用一根长为 40m 的细绳围成一个面积为 75m2 的矩形区域？能围成一个面积为101m2 的矩形区域吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由.
解：不能围成一个面积为101m 的矩形区域.理由如下：
设围成的矩形区域一边长为y m，则其邻边长为(20-y) m，
依题意，得y(20-y)=101，
整理，得y2-20y+101=0，
因为Δ=(-20)2-4×1×101=400-404=-4<0，
所以不能围成一个面积为101m 的矩形区域.
2.如图，矩形ABCD的两条邻边AD=1，CD=4，AB上是否存在点E，使得∠DEC为直角？
D C
A E B
1
4
解：存在.
设AE=x,则BE=4-x.
在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE2=1+x2.
在Rt△BEC中，由勾股定理，得CE2=1+(4-x)2.
因为∠DEC=90°，所以DE2+CE2=DC2,
即1+x2+1+(4-x)2=42.
解得x1=2+，x2=2-.
所以在AB上存在点E，使得∠DEC是直角.
3.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，绿化后一边减少了3 m，相邻的一边减少了2 m ，剩余部分是面积为30 m2 的矩形空地，则原正方形空地的边长为( )
A.6 m B.7 m
C.8 m D.9 m
C
解析：设正方形空地的边长为x m.
根据题意，得(x-2)(x-3)=30.
解得x1=8，x2=-3（舍去），
所以原正方形空地的边长为8 m.
实际问题
数学问题的解
数学问题
ax2+bx+c=0 (a≠0)
实际问题的答案
解方程
检验
设未知数列方程(建模思想)

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