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第二十五章 一元二次方程
25.3实际问题与一元二次方程课时3
能从实际问题中抽象出数量关系，列出一元二次方程，解决球赛问题和销售问题，并根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.
复习回顾 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？
解：设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x-1)支球队各赛1场，
则此次邀请赛共需进行 x(x-1) 场，
所以可列得方程 x(x-1)=28.
整理并化简，得 x2-x-56=0.
解方程，得 x1 =8，x2 = 7（不合题意，舍去）.
因此，比赛组织者应邀请 8 支球队参赛.
下面再来看一种有关比赛球队数量与场数的问题.
探究 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300.他算得对吗？为什么？
分析：双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛.
如果有 支球队参赛，那么比赛的总场数为 .
假设这个人算得对，即 支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，
那么n(n-1)=300.
解方程，得.
由于1 201不是完全平方数，所以 不可能为整数.
因此，总场数不可能为300，这个人算得不对.
由总场数为n(n-1)可知，其必为两个连续正整数的乘积，如2，6，12，20，，240，272，306，.
球赛类问题的解决策略
类型 等量关系
单循环赛：每两支球队之间比赛一场. 类似的还有握手问题、多边形对角线条数等. m=，
m 是总共比赛场次，n 是参赛球队数量.
双循环赛：所有参赛球队彼此间进行两场比赛. 类似的还有互发微信、车票类型等. m=n(n 1)，
m 是总共比赛场次，n 是参赛球队数量.
北京时间2025年8月25日凌晨，WTT欧洲大满贯瑞典站女单决赛，孙颖莎战胜王曼昱，夺得WTT欧洲大满贯瑞典站女单冠军. 趁此机会，某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），如图是小米和小诚对比赛总场数的统计.
(1)小诚的说法有道理吗？请通过计算说明；
例1
解：(1) 小诚的说法有道理. 理由如下：
设有x人报名参赛，由题意，得
解得
∵ x1 与 x2 都不是整数，∴ 方程的解不符合实际，故小诚的说法有道理.
北京时间2025年8月25日凌晨，WTT欧洲大满贯瑞典站女单决赛，孙颖莎战胜王曼昱，夺得WTT欧洲大满贯瑞典站女单冠军. 趁此机会，某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），如图是小米和小诚对比赛总场数的统计.
(2)赛后经查询，小米的统计正确.因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，求原来有多少人参加比赛.
例1
解：(2) 设原来有 人参加比赛，则
解得x1=9，x2=-6 (不符合题意，舍去).
∴ 原来有 9 人参加比赛.
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：销售单价每降低1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？
例2
单件利润 / 元 销售量 / 件 总利润 / 元
降价前
降价后 (方法一：设销售单价降低x元)
分析：
60 x 40
300+20x
(60 x 40)(300+20x)=6 080
60-40
300
解：方法一（间接设未知数）设商品的销售单价应降低x元，
则商品的销售单价为(60-x)元，销售量为(300+20x)件，
列方程，得(60-x-40)(300+20x)=6 080.
整理，得x2-5x+4=0.
解方程，得x1=1，x2=4，
要使顾客得实惠，取x=4，所以销售单价定为56元，
答：应将销售单价定为56元.
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：销售单价每降低1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？
例2
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：销售单价每降低1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？
例2
单件利润 / 元 销售量 / 件 总利润 / 元
降价前 60 40 300
降价后 (方法二：设销售单价为x元)
分析：
x 40
300+20(60 x)
(x 40)[300+20(60 x)]=6 080
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：销售单价每降低1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？
例2
解：方法二（直接设未知数）设销售单价为x元.
列方程，得 (x-40)[300+20(60-x)]=6 080.
整理，得 x2-115x+3 304=0.
解方程，得 x1=56，x2=59.
要使顾客得实惠，取x=56.
答：应将销售单价定为56元.
某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件．市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1 200元，则售价应降低多少元？
解：设售价应降低a元.
列方程，得(100-a-60)(20+2a)=1 200，
整理，得a2-30a+200=0，
解得a1=10 ， a2=20.
∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存，∴a=20.
答：售价应降低20元．
跟踪训练
1. n个人参加聚会，每两人都握 1 次手，所有人共握手 10 次，共有多少人？
解：设共有 人.
根据题意，得
解得 （不合题意，舍去）.
答：共有5人.
2. 一个凸多边形共有 20 条对角线，它是几边形？是否存在有 18 条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由.
解：设这个多边形是 边形.
根据题意，
解得（不合题意，舍去）.
故该多边形是八边形.
不存在有18条对角线的多边形.理由如下：
若则 .
∵ n不是正整数，∴ 不存在这样的多边形.
3. (1) “中国足球超级联赛”，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛.
解：(1)设共有x支球队参加比赛.
根据题意得x(x-1)=240.
解得x1=16，x2=-15(不合题意，舍去).
答：共有16支球队参加比赛.
3. (2) 云南铁路从高原到大海，从中国铁路运输的末梢，逐渐变成面向南亚东南亚的铁路运输枢纽中心.某高铁交通路线从昆明南站出发，最终到达广州南站，若从昆明南站到广州南站共设计了42种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？
解：(2) 设这条线路共有 个站点.
根据题意，得
解得
答：这条线路共有 8 个站点.
解：(1)由图象可知每月的销售量 y (件) 与每件的售价 x (元) 之间为一次函数关系，
设其函数关系式为y=kx+b (k≠0，x≥50).
将(60，600)，(80，400)分别代入，得
解得
∴ 每月的销售量y (件) 与每件的售价x (元) 之间的函数
关系式为y= 10x+1 200.
4. 抖音直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价.经过初期试销售调查发现：每月的销售量y（件）与每件的售价x （元）之间满足如图所示的函数关系.
(1) 求每月的销售量y （件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式.（不必写出自变量的取值范围）
4. 抖音直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价.经过初期试销售调查发现：每月的销售量y（件）与每件的售价x （元）之间满足如图所示的函数关系.
(2) 物价部门规定，该防护品每件的利润不许高于进货价的50%.该带货主播销售这种防护品每月的总利润要想达到10 000元，那么每件的售价应定为多少元？
解：(2) 由题意得(-10x+1 200)(x-50)=10 000.
解得x1=70，x2=100.
∵该防护品每件的利润不允许高于进货价的 50%，
∴ x≤50×(1+50%)，解得x≤75，∴x=70.
∴ 每件的售价应定为 70 元.
实际问题与
一元二次方程
球赛问题
销售问题
单循环：m=，
m 是总共比赛场次，n 是参赛球队数量.
双循环：m=n(n 1)，
m 是总共比赛场次，n 是参赛球队数量.

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