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第二十五章 一元二次方程
25.2降次——解一元二次方程
25.2.4一元二次方程的根与系数的关系
1.了解一元二次方程根与系数的关系，能直接运用该关系快速求出方程两根的和与积；
2.经历推导根与系数关系的过程，能将方程化为一般形式后灵活应用根与系数的关系解决问题，提升代数推理能力与运算能力.
由一元二次方程的解法可知，当Δ ≥0 时，方程 +bx +c=0 (a≠0)的根可由系数a,b,c确定.由求根公式可知，通过对系数a,b,c进行有限次加、减、乘、除、乘方、开方等运算，可以得到方程的根.求根公式反映了一元二次方程的根与系数的关系，这种关系还有其他表现形式吗？
思考：观察求根公式 x=，它有什么特点？由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发？
整体上看，两个根分别是“m+n”和“m-n”的形式，而且式子“n”中含有根号.
这种形式的式子相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号，从而使形式简洁.
因为
x1=，x2=.
所以
x1+x2 = = =﹣ .
x1x2 = = = = .
由此得出，一元二次方程 +bx +c=0 的两个根x1，x2与其系数a，b，c有如下关系：
x1+x2 =﹣ ，x1x2 = .
使用条件：
(1)方程是一元二次方程，即二次项系数不为0；
(2)方程有实数根，即△≥0.
上述关系还可以用如下方法得出.
我们知道，如果一元二次方程 +bx +c=0 的左边可以分解因式为，那么方程 +bx +c=0的两个根为 x1和 x2 .
反过来，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根为x1和 x2，
那么
即
ax +bx+c=ax -a(x1+ x2)x+ax1x2.
由此可得 -a(x1+ x2)=b，ax1x2=c.
因此 x1+x2 = ﹣ ，x1x2 = .
根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 ，的和与积：
(1)－6x－15 = 0；(2)+7x－9 = 0(3).
例1
解：(1) ， .
(2) ，.
(3)方程化为 ，
所以 ，.
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根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1,x2的和与积： (1)3x2-2x-1=0； (2)5x-5=6x2-4.
解：(1)∵a = 3， b = -2，c = -1，
∴ ， .
(2) 方程化为 6- 5x + 1 = 0，∴ a = 6， b = -5， c = 1，
∴ ，.
将方程整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式
确定a,b,c的值
根据x1+x2 = ，
x1x2 = 求解.
≥0
1. 不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积：
(1) x -3x=15； (2) 3x +2=1-4x;
(3) 5x -1=4x -x; (4) 2x -x+2=3x+1.
解：(1)方程变形为 - 3x - 15 = 0，
根据根与系数的关系，得 = -(-3) = 3, = -15.
(2)方程变形为 3+ 4x + 1 = 0，
根据根与系数的关系，得 .
1. 不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积：
(1) x -3x=15； (2) 3x +2=1-4x;
(3) 5x -1=4x -x; (4) 2x -x+2=3x+1.
解：(3)方程变形为 + x - 1 = 0，
根据根与系数的关系，得 .
(4)方程变形为 2- 4x + 1 = 0，
根据根与系数的关系，得 .
2. 关于x的方程x2+px+q=0的根为 x1=1+，x2=1- ，
则p= ，q= .
-2
-1
解析：根据根与系数的关系
= 2，
∴ -p = 2，即 p = -2.
= 1 - 2 = -1，
∴ q = -1.
3.已知方程5x2+kx－6=0的一根是2，则另一根是 ， k＝ .
-7
解析：设方程的两根为= 2，另一根为 .
根据根与系数的关系，
即 ，∴ .
又 ，
即 ，
∴ k = -7.
∴另一根是 ，k = -7.
一元二次方程 +bx +c=0 (a≠0)的根与系数的关系
x1+x2 =﹣
x1x2 =

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