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人教版 九年级 数学（上）
第二十五章 一元二次方程
25.1 一元二次方程的概念
在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感. 如果某人体雕像全身长5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？
【思考】上述所列的方程与我们以前学习的方程一样吗？这种方程与以前学习的方程有哪些联系？
设雕像腰部以下的身长BC为 x m.
依题意，得
x2=5(5-x).
整理得 x2+5x-25=0.
导入新知
5 m
A
B
C
5 -x
x
4.理解一元二次方程的根的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的根.
1.理解一元二次方程的概念，能够判断一个方程是不是一元二次方程.
3.能够由具体问题抽象出一元二次方程,体会到一元二次方程是一种表示数量关系的有效模型.
素养目标
2.掌握一元二次方程的一般形式和各项的名称,会将一元二次方程化为一般形式.
有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁铁皮,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的
无盖方盒的底面积为3 600 cm2,
那么矩形铁皮各角应切去边长
为多少的正方形铁皮
一元二次方程的概念
知识点 1
探究新知
100 cm
50 cm
3 600 cm2
【分析】 设各角切去的正方形铁皮的边长为 x cm,则盒底的长为(100-2x) cm ,宽为 (50-2x) cm.
根据方盒的底面积为3 600 cm2,得
整理并化简，得
（100-2x）（50-2x）=3 600.
x2-75x+350=0.
探究新知
100 cm
50 cm
3 600 cm2
x
要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？
【分析】设应邀请 x 支球队参赛，每支球队要与其他(x-1)支球队各赛1场，则此次邀请赛共需进行 x（x-1）场.所以可列方程
探究新知
x2-x-56=0.
整理并化简，得
【思考】x2-75x+350=0和x2-x-56=0这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
区别
特点
（1）等号两边含有未知数的式子都是整式；
（2）都只含有一个未知数x；
（3）未知数的最高次数都是2
未知数的最高次数为2
探究新知
一元二次方程的概念
探究新知
一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程.
【想一想】
是一元二次方程吗？
答：不是.等号左边含有分式；化简整理后，未知数的最高次数为3次.
探究新知
例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ）
C
不是整式方程
含两个未知数
整理x2-3x+2=0
a≠0
A. B. 3x2-5xy+y2=0
C.（x-1）（x-2）=0 D. ax2+bx+c=0
素养考点 1
一元二次方程的识别
探究新知
方法点拨
判断一元二次方程的方法
先看方程等号两边是不是整式，如果是整式，再移项、合并同类项，使方程等号右边为0，最后观察其是否还同时具备“只含有一个未知数”“未知数的最高次数是2”这两个条件，若同时具备了，则方程是一元二次方程，否则不是．
探究新知
判断下列方程是否为一元二次方程？
(2) x3+ x2=36
(3) x+3y=36
(5) x+1=0
(1) x2+ x=36
(4)
(6)
(7)
(8)
巩固练习
例2 a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2-x=2x2
(2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0.
解：(1)将方程转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.
利用一元二次方程的定义求字母的值
素养考点 2
探究新知
方法点拨：根据未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．
方程(2a-4)x2－2bx+a=0.
（1）在什么条件下此方程为一元二次方程？
（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
解：（1）当 2a-4≠0，即a ≠2 时是一元二次方程.
（2）当a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程.
巩固练习
一元二次方程的一般形式是
ax2+bx+c=0 (a≠0）
其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.
探究新知
一元二次方程的一般形式
知识点 2
一元二次方程的一般形式
a x 2 + b x + c = 0
(a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
常数项
二次项
一次项
探究新知
【思考】为什么要限制a≠0，b,c可以为0吗？
【结论】只要满足a≠0，a,b,c可以为任意实数.
探究新知
当a=0时，ax2+bx+c=0
当a≠0，b=0时，ax2+bx+c=0
当a≠0，c=0时，ax2+bx+c=0
当a≠0，b=0,c=0时，ax2+bx+c=0
bx+c=0（一元一次方程）
ax2+c=0
ax2+bx=0
ax2=0
一元二次方程
一元一次方程 一元二次方程
一般式
相同点 不同点
【思考】一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
ax+b=0 (a≠0)
ax2+bx+c=0 (a≠0)
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1
未知数最高次数是2
探究新知
例 将方程 3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
解： 去括号，得
3x2-3x=5x+10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0.
它的二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的.
一元二次方程一般形式的有关概念
素养考点
探究新知
方法点拨
（1）一元二次方程的一般形式不是唯一的，但习惯上都把二次项的系数化为正整数.
（2）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对一般形式而言的.
（3）指出一元二次方程各项系数时，不要漏掉前面的符号.
探究新知
将下列方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数、常数项：
（1）5x2-1=4x; (2)4 x2=81.
解：(1)把5x2-1=4x化为一般形式5x2-4x-1=0 ，二次项系数
为5，一次项系数为-4，常数项为-1.
(2)把4 x2 =81化为一般形式4x2-81=0 ，二次项系数为
4，一次项系数为0，常数项为-81．
巩固练习
（3）4x(x+2)=25 (4)(3x-2)(x+1)=5x-2
解：(3)把4x(x+2)=25 化为一般形式4x2+8x-25=0 ，二次项系数为4，一次项系数为8，常数项为-25．
(4)把(3x-2)(x+1)=5x-2化为一般形式3x2-4x=0 ，二次项系数为3，一次项系数为-4，常数项为0．
巩固练习
一元二次方程解的概念
知识点 3
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.
探究新知
例 已知关于x的一元二次方程 (m-1)x2＋3x-5m＋4=0有
一个根为2，求m.
分析: 一个根为2，即x=2,只需把x=2代入原方程.
解：依题意把x＝2代入原方程，得
4（m-1）+6-5m+4=0,
整理，得 -m+6=0,
解得 m=6.
素养考点
利用一元二次方程的解确定字母的值
探究新知
方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题.
已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
解：依题意把x=3代入原方程，得
32+3a+a=0.
9+4a=0.
巩固练习
整理，得
解得
1. (青海中考）若x=1是一元二次方程x2-4x+c=0的一个根，则c的值为 ___．
3
链接中考
2. （云南中考）某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为x.根据题意，下列方程正确的是（　　）
解析：由题意已知平均增长率为x，即每个月盈利×（1+增长率）=下个月盈利，
3月到5月经过了2个月的增长，则所列方程应为
6000（1+x）2=6200.
A．6000（1+x）2=6200
B．6000（1-x）2=6200
C．6000（1+2x）=6200
D．6000x2=6200
A
链接中考
1. 下列哪些是一元二次方程？
3x+2=5x-2
x2=0
(x+3)(2x-4)=x2
3y2=(3y+1)(y-2)
x2=x3+x2-1
3x2=5x-1
课堂检测
基础巩固题
2.填空：
课堂检测
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
-2
1
3
1
3
-5
4
0
-5
3
-2
4.已知方程5x +mx-6=0的一个根为4，则m的值为_______．
3.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当k 　　　时，是一元一次方程．当k 　　　时，是一元二次方程．
≠±1
＝－1
课堂检测
1.如图，已知一矩形的长为200 cm,宽150 cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径 x cm应满足的方程（其中π取3）.
解：设由于圆的半径为 x cm，则它的面积为 3x2 cm2.
整理，得
课堂检测
根据题意，得
200×150-3x2=200×150× .
能力提升题
x2-2500=0.
150 cm
200 cm
2.如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.
解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x.
整理，得
25x2+50x-11=0.
根据题意，得
75（1+x）2 =108.
课堂检测
（1）已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值.
解：依题意把x=1代入原方程，得
a×12+b×1+c=0,
即 a+b+c=0.
拓广探索题
课堂检测
（2）若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的一个根吗
解：a+b+c=0可转化为
a×12+b×1+c=0
因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1.
课堂检测
(3)若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗
课堂检测
解：a-b+c = 0可转化为
a×（-1）2+b×（-1）+c=0
因此，方程ax2+bx+c = 0 (a≠0)的一个根是-1.
4a+2b +c = 0可转化为
a×22+b×2+c = 0
因此，方程ax2+bx+c = 0 (a≠0)的一个根是2.
课堂小结
一元二次方程
概念
①等号两边含有未知数的式子都是整式
②只含有一个未知数
③未知数的最高次数是2
一般形式
ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是
一元二次方程的必要条件
解（根）
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值
定义
判断
方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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