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(共23张PPT)
人教版 九年级 数学（上）
第二十五章 一元二次方程
25.2.1 配方法（第1课时）
预备知识
什么是平方根？一个数的平方根怎么样表示？
一个数的平方等于a，这个数就叫作a的平方根.
a(a≥0)的平方根记作：± .
x2=a(a≥0),则根据平方根的定义知，x =± .
导入新知
如果方程转化为x2=p,该如何解呢？
求出下列各式中x的值，并说说你的理由.
1. x2=4 2. x2=5
导入新知
【思考】
x=± =±2
x=±
素养目标
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.
2.运用直接开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程.
解下列方程：
（1）4-3=0； （2）
直接开平方法
解：
移项，并将二次项
系数化为1，得
x2=
由此可得
x =±
即 ，.
探究新知
知识点
由此可得
x+2 =±3，
x+2 =3，或x+2 =－3
(x+2)2=9
移项，得
即，
解：
【试一试】
解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
(1) x2=4；
(2) x2=0；
(3) x2+1=0.
解:根据平方根的意义，得x1=2, x2=-2.
解:根据平方根的意义，得x1=x2=0.
解:根据平方根的意义，得x2=-1,
因为负数没有平方根，所以原方程无解.
探究新知
(2)当p=0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 =0；
(3)当p<0 时,因为任意实数x，都有x2≥0 ，所以方程
无实数根.
一般地，对于可化为方程 x2 = p,
(1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根 ， ；
利用平方根的意义直接开平方来求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
探究新知
【归纳】
例1 利用直接开平方法解下列方程:
(1) x2=6；
(2) x2－900=0.
解：
（1） x2=6，
直接开平方，得
（2）移项，得
x2=900.
直接开平方，得
x=±30，
∴ x1=30, x2=－30.
利用直接开平方解形如x2=p方程
素养考点 1
探究新知
巩固练习
解下列方程（分析:把方程化为 x2=p 的形式）
(1)
(2)
解：
移项，得
系数化为1，得
即
解：
移项，得
系数化为1，得
解：把x+3看做一个整体，
两边开平方得
对照前面方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5 ① ？
于是，方程（x+3）2=5的两个根为
巩固练习
由方程①得到②，
实质是把一个一元
二次方程“降次”，
转化为两个一元一次方程，这样就把方程①转化为我们会解的方程了.
②
例2 解下列方程：（1）（x＋1）2= 2 ；
分析：本题中只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.
即x1=-1+
，x2=-1-
解：（1）∵x+1是2的平方根，
∴x+1=
利用直接开平方法解形如(mx+n)2=p方程
素养考点 2
探究新知
分析：本题先将-4移到方程的右边，再同（1）题一样地解.
（2）（x－1）2－4 = 0；
即x1=3，x2=-1.
解：（2）移项，得（x-1）2=4.
∵x-1是4的平方根，
∴x-1=±2.
探究新知
∴ x1= ，
x2=
(3) 12（3－2x）2－3 = 0.
分析：本题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可.
解：（3）移项，得12（3-2x）2=3，
两边都除以12，得（3-2x） =0.25.
∵3-2x是0.25的平方根，
∴3-2x=±0.5.
即3-2x=0.5,3-2x=-0.5
探究新知
解：移项
x＋6=3，
x＋6=－3,
方程的两根为
x1 =－3,
x1 =－9.
解：
方程的两根为
解方程.
巩固练习
（1）
（2）
解：
方程的两根为
解：
方程的两根为
例3 解下列方程：
解需要利用完全平方公式转化的一元二次方程
素养考点 3
探究新知
（1）
（2）
解：方程的左边是完全平方形式，这个方程可以化为：（x+3）2=2.
进行降次得：
解方程 x2+6x+9=2.
x1= , x2= .
巩固练习
方程的两根为
（贵州中考）一元二次方程x2-1=0的根是________.
x1=1，x2=-1
链接中考
C.4(x-1)2=9,解方程，得 4(x-1)= ±3, x1= ,
x2=
D. (2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1, x2=-4
1.下列解方程的过程中，正确的是（ ）
A. x2=-2,解方程，得 x=±
B. (x-2)2=4,解方程，得x-2=2, x=4
D
课堂检测
基础巩固题
(1)方程x2=0.25的根是 .
(2)方程2x2=18的根是 .
(3)方程(2x-1)2=9的根是 .
x1=0.5,x2=-0.5
x1＝3,x2＝-3
x1＝2,x2＝－1
2. 填空:
课堂检测
3. 下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗 如果有错，指出具体位置并帮他改正.
①
②
③
④
解：
解：不对，从②开始错，应改为
课堂检测
解方程 .
解：
方程的两根为
课堂检测
能力提升题
直接开平方法
概念
步骤
基本思路
利用平方根的意义求方程的根的方法
关键要把方程化成 x2=p(p ≥0)或(x+n)2=p (p ≥0).
一元二次方程
两个一元一次方程
降次
直接开平方法
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习(共31张PPT)
人教版 九年级 数学（上）
第二十五章 一元二次方程
25.2.1 配方法（第2课时）
化为一般式，得
x2+6x-16=0
要使一块矩形场地的长比宽多6米，并且面积为16平方米，求场地的长和宽应各是多少？
x(x+6)=16
导入新知
解：设场地宽为xm，则长为（ x＋ 6）m，根据长方形面积为16m2，列方程得
怎样解这个方程？能不能用直接开平方法？
2.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.
素养目标
1.了解配方的概念，掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.
(1) 9x2=1 ；
(2) (x-2)2=2.
2.下列方程能用直接开平方法来解吗
1.用直接开平方法解下列方程:
(1) x2+6x+9 =5；
(2)x2+6x+4=0.
把两题转化成
(x+n)2=p(p≥0)的形式，再利用开平方来解.
探究新知
配方法的定义
知识点
你还记得吗？填一填下列完全平方公式.
(1) a2+2ab+b2=( )2；
(2) a2-2ab+b2=( )2.
a+b
a-b
探究新知
填一填（根据 ）
配方时, 等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方.
5
6
你发现了什么规律？
二次项系数都为1.
探究新知
【思考】 怎样解方程: x2+6x+4=0.
（1）方程x2+6x+4=0怎样变成（x+n)2=p的形式呢？
解：
x2+6x+4=0
x2+6x=-4
移项
x2+6x+9=-4+9
两边都加上9
二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.
探究新知
（x+3）2=5
左边写成完
成平方形式
（2）为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？
提示：不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.
探究新知
像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫作配方法.
配方是为了利用开方实现降次 ，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.
配方法的概念
探究新知
例1 解方程：
解：（1）移项，得
x2－8x=－1,
配方，得
x2－8x+42=－1+42 ,
( x－4)2=15.
由此可得
素养考点 1
探究新知
解二次项系数是1的一元二次方程
解方程x2+8x-4=0
解：移项，得 x2+8x＝4.
配方，得 x2+8x+4 =4+4 .
整理，得 (x+4)2=20.
由此可得 x+4= ，
x1＝ ， x2＝ .
巩固练习
配方，得
由此可得
二次项系数化为1，得
解：移项，得
2x2－3x=－1.
例2 解下列方程：（1）
解二次项系数不是1的一元二次方程
素养考点 2
探究新知
移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢
配方，得
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，（x-1）2都非负数，上式都不成立，所以原方程无实数根．
解：移项，得
二次项系数化为1，得
为什么方程两边都加12？
即
探究新知
（2）
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？
思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤.
移项时需注意改变符号.
①一移：移项，将常数项移到右边，含未知数的项移到左边；
②二化：二次项系数化为1；
③三配：配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方形式；
④四开：开平方，利用平方根的意义直接开平方；
⑤五解：解两个一元一次方程.
探究新知
一般地，一个一元二次方程可以通过配方转化为 (x+n)2=p的形式.
①当p>0时，方程有两个不相等的实数根
②当p=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=-n；
③当p<0时,因为对任意实数x，都有 (x+n)2≥0，所以方程无实数根.
方法点拨
探究新知
解下列方程：
巩固练习
解: 移项，得
配方，得
由此可得
二次项系数化为1，得
整理，得
3x2+6x=4.
x2+2x= .
x2+2x+12= +12，
(x+1)2=
即 x+1=± .
x1= ， x2= .
（1）
巩固练习
解: 移项，得
配方，得
由此可得
二次项系数化为1，得
整理，得
x1= ， x2= .
4x2-6x=3.
x2- x= .
（2）
巩固练习
解：移项，得
∴ x取任何实数，上式都不成立，
即原方程无实数根．
∵ 对任何实数x都有 ( x+1 )2 ≥ 0,
配方，得 x2+2x+1=-2+1.
整理，得
x2+2x=-2.
(x+1)2=-1.
（3）
巩固练习
解：去括号，得 x2+4x=8x+4.
移项，得
配方，得
由此可得 x-2=±2，
整理，得
x2-4x=4.
(x-2)2=8.
x1=2+2 , x2=2-2 .
x2-4x+2 =4+2 ，
因此
（4）
x（x+4）=8x+4.
例3 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－4k＋5 的值必定大于零.
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1
=（k－2）2＋1
因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.
所以k2－4k＋5的值必定大于零.
利用配方法确定多项式或字母的值（或取值范围）
素养考点 3
探究新知
方法点拨：证明代数式的值恒为正数,需要利用配方法将代数式化成几个非负数的和,利用非负数的性质说明代数式的值恒为正数.
例4 若a,b,c为△ABC的三边长，且
试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得
根据非负数的性质得
根据勾股定理的逆定理可知，△ABC为直角三角形.
探究新知
由此可得
即
巩固练习
方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一个根为x = 0，则m的值为（ ）
A. 1 B.1 C.1或2 D.1或-2
应用配方法求最大值或最小值.
(1)求 2x2 - 4x+5的最小值 (2) -3x2 + 12x -16的最大值.
C
解：原式 = 2(x - 1)2 +3
因为 2(x - 1)2 ≥0，
所以 2(x - 1)2 +3 ≥3
因此当x =1时，原式有最小值3.
解：原式= -3(x - 2)2 - 4
因为 (x - 2)2 ≥0，即-3(x - 2)2 ≤0，
所以 -3(x - 2)2 -4≤-4
因此当x =2时，原式有最大值-4.
类 别 解 题 策 略
求最值或证明代数式的值恒为正（或负）
完全平方式中的配方
利用配方构成非负数和的形式
对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2＋n的形式后，由于x无论取任何实数都有(x+m)2≥0，n为常数，当
a＞0时，可知其有最小值；当a＜0时，可知其有最大值
如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4
对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是通过配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2
配方法的应用
探究新知
（新疆中考）用配方法解一元二次方程x2-6x+8=0配方后得到的方程是（　　）
B
链接中考
A．（x+6）2=28
B．（x-6）2=28
C．（x+3）2=1
D．（x-3）2=1
课堂检测
1. 解方程：
4x2-8x-4=0.
解：移项，得4x2-8x=4，
基础巩固题
二次项系数化为1，得
x2-2x=1，
配方，得 x2-2x+1=1+1,
整理，得
（x-1）2=2,
课堂检测
2.利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值.
：
原式=
=
=
课堂检测
3.若 ，求(xy)z 的值.
解：对原式配方，得
由非负数的性质可知
4.如图，在一块长35 m、宽26 m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850 m2，道路的宽应为多少？
解：设道路的宽为x m, 根据题意得
（35-x)(26-x)=850，
整理得
x2-61x+60=0.
解得
x1=60（不合题意，舍去）, x2=1.
答：道路的宽为1 m.
课堂检测
已知a,b,c为△ABC的三边长，且
试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得
由代数式的性质可知
所以，△ABC为等边三角形.
课堂检测
能力提升题
配方法
定义
通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法
步骤
一移、二化、三配、四开、五解
特别提醒：
在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.
应用
求代数式的最值或证明
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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