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25.2 降次——解一元二次方程
25.2.2 公式法
人教版 数学 九年级 上册
人教版 九年级 数学（上）
第二十五章 一元二次方程
25.2.2 公式法
解：
移项，得 .
配方 .
由此可得 ,
利用配方法解一元二次方程
导入新知
一移：移项，将常数项移到右边，含未知数的项移到左边.
二化：二次项系数化为1，如x2＋px =－q.
三配：方程两边都加上一次项系数一半的平方.
四开：根据平方根的意义，方程两边开平方.
五解：解一元一次方程，写出原方程的解.
用配方法解一元二次方程的步骤
方程右边是非负数
x2＋px＋ ( )2 = －q＋ ( )2
( x + )2 =－q＋ ( )2
【思考】如何用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)呢？
导入新知
3.会熟练应用公式法解一元二次方程.
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.
2.灵活应用 =b －4ac 的值识别一元二次方程根的情况.
素养目标
ax2＋bx＋c = 0(a≠0)
探究新知
用公式法解一元二次方程
知识点
一元二次方程的一般形式是什么？
【思考】如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根，那么这个根是不是可以普遍适用呢？
用配方法解一般形式的一元二次方程
二次项系数化1，得 .
解:
移项，得 .
配方，得 ,
即 .
探究新知
（1）当 时，
探究新知
， .
式子b2-4ac的值有以下三种情况：
方程有两个不相等的实数根
（2）当 时，
探究新知
方程有两个相等的实数根
（3）当 时，
方程无实数根.
归纳：可以发现，式子 b2 4ac 可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的判别式，通常用希腊字母 “Δ” 表示，即 Δ=b2 4ac.
解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0），当Δ ≥0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0） 的实数根可以写为
的形式，这个式子叫作一元二次方程的求根公式.
探究新知
公式法的概念
解一个具体的一元二次方程时，把各系数代人求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法.
解：∵a=1，b=-4，c=-7,
∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0.
例1 用公式法解方程：
公式法解方程
素养考点 1
（1）x2-4x-7=0；
探究新知
∴
解：
则方程有两个相等的实数根：
（2）2x2-2 x+1=0；
【思考】这里的a，b，c的值分别是什么？
探究新知
解：原方程可化为 .
则方程有两个不相等的实数根
（3）5x2-3x=x+1;
探究新知
.
.
解：原方程可化为 .
方程无实数根.
（4）x2+17=8x.
探究新知
.
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1. 将方程化成一般形式，并写出a，b，c 的值.
2. 求出 的值.
3. (1)当 >0 时，代入求根公式 :
写出一元二次方程的根.
(2)当 =0时，代入求根公式：
写出一元二次方程的根.
（3）当 <0时，方程无实数根.
探究新知
用公式法解方程：
解：a=3, b=-6, c=-2,
=b2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60.
巩固练习
例2 不解方程，判断下列方程根的情况：
解：a＝﹣1，b＝ ，c＝﹣6,
△= b2-4ac
=24－4×（﹣1）×（-6）=0.
该方程有两个相等的实数根.
解： 移项，得 x2+4x-2=0,
a＝1，b＝4 ，c＝﹣2,
△= b2-4ac
=16-4×1×（-2）=24＞0.
该方程有两个不相等的实数根.
利用判别式识别一元二次方程的根的情况
素养考点 2
（2）x2+4x=2;
探究新知
（1） ;
（3）4x2+1=-3x;
解：移项，得4x2+3x+1=0，
a＝4，b＝3 ，c＝1,
∵ △= b2-4ac
=9-4×4×1=-7＜0.
∴该方程没有实数根.
解：a＝1，b＝-2m ，c＝4（m-1）,
∵ △= b2-4ac
=（-2m） -4×1×4（m-1）
=4m2-16（m-1）
=4m2-16m+16
=（2m-4）2≥0.
∴该方程有两个实数根.
（4）x -2mx+4（m-1）=0.
探究新知
（2）当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根：
（1）当b2-4ac＞0 时，方程有两个不等的实数根：
（3）当b2-4ac<0时，方程无实数根.
一元二次方程的根的情况
探究新知
若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到判别式的值的符号呢？
当一元二次方程有两个不相等的实数根时， b2-4ac ＞0;
当一元二次方程有两个相等的实数根时， b2-4ac = 0;
当一元二次方程没有实数根时， b2-4ac ＜ 0.
【注意】
一元二次方程的根的情况
探究新知
（2）方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式
子是（ ）
A. b -4ac＞0 B. b -4ac＜0
C. b -4ac≤0 D. b -4ac≥0
（1）下列方程中，没有实数根的方程是（ ）
A.x =9 B.4x =3(4x-1)
C.x(x+1)=1 D.2y +6y+7=0
D
D
巩固练习
选一选.
例3 m为何值时，关于x的一元二次方程 2x2-（4m+1）x+2m2-1=0：
（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？
（3）没有实数根？
解：a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1,
b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9.
（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac ＞0，即8m+9＞0 ∴m＞
（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0 ∴m=
（3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0, ∴m＜
∴当m＞ 时，方程有两个不相等的实数根；当m= 时，
方程有两个相等的实数根；当m＜ 时，方程没有实数根.
利用判别式求字母的值或取值范围
素养考点 3
探究新知
m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根.
解：
∵不论m取任何实数，总有（m+5）2≥0,
∴b2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0,
∴不论m取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根.
巩固练习
1. （四川内江中考）若关于x的一元二次方程（a-1）x2
+2x+1=0有实数根，则实a的取值范围是（　　）
A．a≤2
B．a＜2
C．a≤2且a≠1
D．a＜2且a≠1
C
链接中考
2.
链接中考
（东营中考）一元二次方程x2+4x-8=0的解是（　　）
A.=2+2, =2=2
B.=2+2, =2-2
C.=-2+2, =-2-2
D.=-2+2, =-2-2
D
1.方程x2－4x＋4＝0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.有一个实数
D.没有实数根
基础巩固题
课堂检测
B
2. 关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等 的实根，则k的取值范围是 （ ）
A. k>-1 B. k>-1 且k≠ 0
C. k<1 D. k<1 且k≠0
B
课堂检测
3. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.
证明：∵ 没有实数根，
∴ 4-4(1-m)<0, ∴m<0.
对于方程 x2＋mx＝1-2m ，即 .
，∵ ，∴ △>0.
∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.
课堂检测
公式法
定义
把各系数代入求根公式的解一元二次方程的方法
步骤
一化成一般形式， 并写出a，b，c的值
二求出b2-4ac的值
三
四写出方程的解：x1, x2
应用
用判别式△= b2-4ac判定一元二次方程根的情况
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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