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人教版 九年级 数学（上）
第二十五章 一元二次方程
25.2.3 因式分解法
1. 解一元二次方程的方法有哪些？
2. 什么叫因式分解
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.
直接开平方法：
配方法：
x2=a (a≥0)
(x+m)2=n (n≥0)
公式法：
x= （b2-4ac≥0）
导入新知
3. 分解因式的方法有那些
（1）提取公因式法:
（2）公式法:
【思考】下面的方程如何使解答简单呢？
am+bm+cm=m(a+b+c).
a -b =(a+b)(a-b), a ±2ab+b =(a±b) .
x2+25x=0.
导入新知
（3）十字相乘法:
2.会应用因式分解法解一元二次方程并解决有关问题.
3.会灵活选择合适的方法解一元二次方程，并能解决相关问题.
素养目标
1.理解一元二次方程因式分解法的概念.
根据物理学规律，如果把一个物体从地面 10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过 x s 后离地面的高度（单位：m）约为 10x-5.
提示：设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0 m，即10x-5=0.
【思考】根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？
探究新知
因式分解法的概念
知识点
解：
配方法
公式法
解：
a = 5，b =－10，c = 0.
b2－4ac= (－10)2－0=100
探究新知
10x-5=0
10x-5=0
2， 0
-2x=0
-2x+1=1
2， 0
=1
=±1
因式分解
如果a · b = 0，
那么 a = 0
或 b = 0.
降次，化为两个一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
探究新知
这种解法是不是很简单？
10x-5=0
x（10-5x）=0
或
x=0
10-5x=0
2， 0
可以发现，上述解法中，由10x-5x2=0到x=0或10-5x=0
的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法．
【思考】解方程 10x-5x2=0 时， 二次方程如何使降为一次的？
探究新知
1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;
2.关键是熟练掌握因式分解的方法;
3.理论依据是“ab=0,则a=0或b=0 ”.
探究新知
【提示】
探究新知
归纳总结
分解因式法解一元二次方程的步骤是:
2. 将方程左边因式分解为A×B；
3. 根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程；
4. 分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
1. 将方程右边化为等于0的形式；
解：（1）因式分解，得
于是得
x－2＝0 或 x＋1=0,
x1=2，x2=－1.
(2)移项、合并同类项，得
因式分解，得
( 2x＋1)( 2x－1 )=0.
于是得
2x＋1=0或2x－1=0,
(x－2)(x＋1)=0.
4x2-1=0
x1= ， x2= - .
探究新知
例1 解下列方程：
（1）x(x-2)+x-2=0 ; （2）5x2-2x- =x2-2x+ .
素养考点 1
因式分解法解一元二次方程
方法点拨
右化零,左分解,两因式,值为0，各求解.
一.因式分解法简记歌诀：
二.选择解一元二次方程的技巧：
1.开平方法、配方法适用于能化为完全平方形式的方程.
2.因式分解法适用于能化为两个因式之和等于0的形式
的方程.
3.配方法、公式法适用于所有一元二次方程.
探究新知
解下列方程：
解： 因式分解，得
（1） x2+x=0
x ( x+1 ) = 0.
于是得 x = 0 或 x + 1 =0，
x1=0 , x2=－1.
解：因式分解，得
（2）x2- 2 x=0
x（x-2 ）=0
于是得 x=0 或 x-2 =0
x1=0，x2=2
巩固练习
（1） x2+x=0;
（2）x2- 2 x=0;
（3）6x2-6x = -3;
（4） x2-81=0;
（5） 3x(2x+1)=4x+2;
（6） =.
解：将方程化为
因式分解，得
x2－2x+1 = 0.
( x－1 )( x－1 ) = 0.
于是得 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0，
x1=x2=1.
解：因式分解，得
( 2x + 9 )( 2x－ 9) = 0.
于是得 2x + 9 = 0 或 2x －9= 0，
x1=-4.5 ， x2=4.5 .
巩固练习
（3）6x2-6x = -3;
（4） x2-81=0;
解：将方程化为
因式分解，得
6x2 － x －2 = 0.
( 3x － 2 )( 2x + 1 ) = 0.
有 3x － 2 = 0 或 2x + 1 = 0，
解：将方程化为
因式分解，得
( x －4 ) 2 － ( 5 － 2x )2=0.
( x － 4 － 5 + 2x )( x － 4 + 5 －2x ) = 0.
( 3x － 9 )( 1 － x ) = 0.
有 3x － 9 = 0 或 1 － x = 0，
x1 = 3 , x2 = 1.
x1= ， x2=-
巩固练习
（5） 3x(2x+1)=4x+2;
（6） =.
例2 用适当方法解下列方程：
(2)x2－6x－19＝0；
(3)3x2＝4x＋1;
(4)y2－15＝2y；
(5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0；
(6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2.
灵活选择方法解一元二次方程
素养考点 2
思路点拨：四种方法的选择顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法．
探究新知
(2)x2－6x－19＝0；
探究新知
解：(1)(1－x)2＝3，∴(x－1)2＝3，x－1＝±.
∴x1＝1＋，x2＝1－.
(2)移项，得x2－6x＝19.
配方，得x2－6x＋(－3)2＝19＋(－3)2.∴(x－3)2＝28.
∴x－3＝±2 .∴x1＝3＋2 ，x2＝3－2 .
(3)移项，得 3x2－4x－1＝0.
∵a＝3，b＝－4，c＝－1，
(4)移项，得 y2－2y－15＝0.
把方程左边因式分解，
得(y－5)(y＋3)＝0.
∴y－5＝0 或 y＋3＝0.
∴y1＝5，y2＝－3.
(3)3x2＝4x＋1; (4)y2－15＝2y；
探究新知
(5)将方程左边因式分解，得(x－3)[5x－(x＋1)]＝0.
∴(x－3)(4x－1)＝0.
(6)移项，得 4(3x＋1)2－25(x－2)2＝0.
∴[2(3x＋1)]2－[5(x－2)]2＝0.
∴[2(3x＋1)＋5(x－2)]·[2(3x＋1)－5(x－2)]＝0.
∴(11x－8)(x＋12)＝0.
(5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0； (6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2.
探究新知
(1) x2- ＝0；
用适当的方法解下列方程：
巩固练习
解：原方程可变形为 5(3x＋2)2－3x(3x＋2)＝0，
∴(3x＋2)(15x＋10－3x)＝0.
巩固练习
(2) 5(3x＋2)2＝3x(3x＋2)．
1. （贵州中考）一元二次方程x2-2x=0的解是（　）
A．x1=3，x2=1 B．x1=2，x2=0
C．x1=3，x2=-2 D．x1=-2，x2=-1
链接中考
解：原方程因式分解得 x（x-2）=0，
则x=0或x-2=0，
解得：x1=2，x2=0．
B
链接中考
2. （齐齐哈尔中考）解方程： x2-7x=-12．
解：
移项得 x2-7x+12=0，
因式分解得 （x-3）（x-4）=0，
解得 x1=3，x2=4.
1.解下列方程：
（1）x2+4x-9=2x-11； （2）x(x+4)=8x+12.
解：x2+2x+2=0，
(x+1)2=-1.
此方程无解.
解：x2-4x-12=0，
(x-2)2=16.
x1=6, x2=-2.
课堂检测
基础巩固题
2.小华在解一元二次方程 x2－x＝0 时，只得出一个根 x＝1，则被漏掉的一个根是（ ）
A．x＝4 B．x＝3
C．x＝2 D．x＝0
D
课堂检测
我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．
①x2－3x＋1＝0； ②(x－1)2＝3；
③x2－3x＝0； ④x2－2x＝4.
我选择______________________
课堂检测
能力提升题
解：答案不唯一．若选择①，
①适合公式法，
x2－3x＋1＝0，
∵a＝1，b＝－3，c＝1，
课堂检测
①x2－3x＋1＝0；
②(x－1)2＝3；
③x2－3x＝0；
④x2－2x＝4.
②适合直接开平方法，
∵(x－1)2＝3，
课堂检测
若选择②，
①x2－3x＋1＝0；
②(x－1)2＝3；
③x2－3x＝0；
④x2－2x＝4.
③适合因式分解法，
x2－3x＝0，
因式分解，得 x(x－3)＝0.
解得 x1＝0，x2＝3.
若选择③ ，
课堂检测
①x2－3x＋1＝0；
②(x－1)2＝3；
③x2－3x＝0；
④x2－2x＝4.
④适合配方法，
x2－2x＝4，
x2－2x＋1＝4＋1＝5，
即(x－1)2＝5.
课堂检测
①x2－3x＋1＝0；
②(x－1)2＝3；
③x2－3x＝0；
④x2－2x＝4.
若选择④，
解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0.
【点拨】把(x2＋3)看作一个整体来提公因式，再利用平方差公式，因式分解.
解：设 x2＋3＝y，则原方程化为 y2－4y＝0.
分解因式，得 y(y－4)＝0，解得 y＝0，或 y＝4.
①当 y＝0 时，x2＋3＝0，原方程无解；
②当 y＝4 时，x2＋3＝4，即 x2＝1.解得 x＝±1.
所以原方程的解为 x1＝1，x2＝－1.
课堂检测
拓广探索题
ax2+c=0 ====>
ax2+bx=0 ====>
ax2+bx+c=0 ====>
因式分解法
公式法（配方法）
2.公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）.
3.方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法.
1.
直接开平方法
因式分解法
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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