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(共28张PPT)
人教版 九年级 数学（上）
第二十五章 一元二次方程
25.3 实际问题与一元二次方程
（第1课时）
传染病，一传十,
十传百… …
【想一想】有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
导入新知
素养目标
1.能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程.
2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．
是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形 如果存在，这样的三角形有多少个
探究新知
列一元二次方程解决实际问题
知识点 1
分析：（1）若存在这样的三角形，设其一条边长为x，则其他两条边长因为是连续正整数，所以为x ＋1，x＋2，其中x为正整数.
（2）因为是直角三角形，所以可以根据勾股定理列方程求解.
探究新知
解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x， x ＋1，x＋2 ，其中x为正整数.
由勾股定理，得
解方程，得=3， =-1(不符合题意舍去).
因此，三边长是三个连续正整数的直角这角形存在且只有一个，其三边长分别为3，4，5.
探究新知
例1 用一根长为40 m 的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域 如果能围成，这样的矩形是否唯一
解:设矩形的一边长为x m，由矩形的周长为40 m，可得此边的邻边长为(20-x)m；再由矩形的面积为96 m2 ，得
x（20-x）=96.
解得 x1=9, x2=－10(不合题意,舍去)
答:可以围成且矩形唯一，其两邻边长分别为8 m，12 m.
列一元二次方程解几何问题
素养考点
探究新知
分析：假设细绳能围成面积为96 m2的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度．设矩形一边长为x m，由周长为40 m，可用含x的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解.
建立一元二次方程模型
实际问题
分析数量关系
设未知数
实际问题的解
解一元二次方程
一元二次方程的根
检 验
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
【归纳】
探究新知
巩固练习
小明在算一个数的2倍时，误算成了这个数的平方，他发现两个结果的和为8，则这个数为（　　）
A．2
B．2或4
C．2或-4
D．-2或4
C
某种传染病传染速度很快，如果开始有1人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？
你能解决这个问题吗？
探究新知
列一元二次方程解决传播问题
知识点 2
第2轮

小明
1
2
x
第1轮
第1轮传染后人数 x+1.
小明
第2轮传染后人数 x(x+1)+x+1.
【思考】不要忽视小明的二次传染
探究新知
【分析】设每轮传染中平均1个人传染了x个人. 传染源记作小明，其传染示意图如下：
根据示意图，列表如下：
解:设每轮传染中平均1个人传染了x个人.
传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数
1
1+x=(1+x)1
1+x+x(1+x)=(1+x)2
列方程 x+1+x(x+1)=121.
化简得 x2+2x-120=0
(x-10)(x+12)=0
x1=10, x2=-12(舍).
列方程 x+1+x(x+1)=121.
提取公因式 (x+1)(x+1)=121
(x+1)2=121
x+1=±11一定要进行检验
x1=10, x2=-12(舍)
有更简单的方法解这个方程吗？
答:平均一个人传染了________个人.
10
注意:一元二次方程的解有可能不符合题意，所以舍去.
探究新知
第2种做法 以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一次后就是:121(1+x)=121(1+10)=1331（人）.
【想一想】如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感
第一轮传染后的人数 第二轮传染后的 人数 第三轮传染后的
人数
(1+x)1 (1+x)2
【分析】
第1种做法 以1人为传染源,3轮传染后的人数是:
(1+x)3=(1+10)3=1331(人).
(1+x)3
探究新知
传染源 新增患者人数 本轮结束患者总人数
第一轮 1 1 x=x 1+x
第二轮 1+x (1+x)x 1+x+(1+x)x=
第三轮
第n轮 ...... ......
【思考】如果按这样的传染速度，n轮后传染后有多少人患了流感？
(1+x)2
(1+x)n
(1+x)3
经过n轮传染后共有 (1+x)n 人患流感.
(1+x)2
(1+x)2 x
(1+x)2+(1+x)2 x=
探究新知
例2 某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支
主干
支干
支干
……
小分支
小分支
……
小分支
小分支
……
……
x
x
x
1
解:设每个支干长出x个小分支,
则 1+x+x2=91.
即 x2+x-90=0.
解得
x1=9,x2=－10(不合题意,舍去)
答:每个支干长出9个小分支.
列一元二次方程解传播问题
素养考点
探究新知
1.在分析引例和例2中的数量关系时它们有何区别？
每个树枝只分裂一次，每名患者每轮都传染.
2.解决这类传播问题有什么经验和方法？
（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；
（2）可利用表格梳理数量关系；
（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.
【思考】
探究新知
电脑勒索病毒的传播非常快，如果开始有6台电脑被感染，经过两轮感染后共有2400台电脑被感染. 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.
答：每轮感染中平均一台电脑会感染19台电脑.
解得=19 或 =-21 (舍去).
依题意得 6+6x+6x (1+x) =2400.
6 (1+x) =2400
巩固练习
1.（通辽中考）如图，小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5 m）的矩形鸭舍，其面积为15 m2 ，在鸭舍侧面中间位置留一个1 m宽的门（由其它材料制成），则BC长为（　　）
A．5 m或6 m
B．2.5 m或3m
C．5 m
D．3 m
C
链接中考
2.（衢州中考）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（　　）
A．x+（1+x）=36
B．2（1+x）=36
C．1+x+x（1+x）=36
D．1+x+x2=36
C
链接中考
1.淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a=（　　）
A．1
B．-1
C． +1
D．1或+1
C
课堂检测
基础巩固题
2.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为（ ）
A.1+x+x(1+x)=73 B.1+x+x2=73
C.1+x2 =73 D.(1+x) =73
B
课堂检测
3.早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝.在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上甲肝，则x的值为（ ）？
A.10 B.9 C.8 D.7
D
课堂检测
1.如图，小球悬浮于液体中(F浮= G)，若F浮=20 N，小球质量为(x +x) kg, g=10 N/kg，则x的值为( )
A.1
B.4
C.-2或1
D.-5或4
C
课堂检测
能力提升题
2.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有111个人参与了传播活动，则n=______.
10
课堂检测
传染源 本轮分裂成有益菌数目 本轮结束有益菌总数
第一轮
第二轮
第三轮
分析：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌
60
60x
60(1+x)
60(1+x)
60(1+x)x
3. 某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？
课堂检测
解：设每个有益菌一次分裂出x个有益菌
60+60x+60(1+x)x=24000
x1=19，x2=-21（舍去）.
因此每个有益菌一次分裂出19个有益菌.
三轮后有益菌总数为 24000×(1+19)=480000.
课堂检测
列一元二次方程解应题
与列一元一次方程解决实际问题基本相同：审题、设元、列方程、解方程、检验、作答.不同的地方是要检验根的合理性
传播问题
数量关系：
第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度）
第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2
数字问题
关键要设数位上的数字，要准确地表示出原数
步骤
类型
课堂小结
几何图形问题
沙及的常见计算与证明有三角形的三边关系、三角形全等、勾股定理、各种规则图形的面积、体积或周长等
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
课后作业(共18张PPT)
人教版 九年级 数学（上）
第二十五章 一元二次方程
25.3 实际问题与一元二次方程
（第2课时）
两年前生产1 t甲种食品的成本是10000元，生产1t乙种食品的成本是12000元.随着生产技术进步，现在生产1t甲种食品的成本是6000元，生产1t乙种食品的成本是7200元.哪种食品成本的年平均下降率较大？
【思考】有关增长/下降率问题，应该如何解答呢？
导入新知
素养目标
1. 能正确列出关于增长率问题的一元二次方程.
2. 通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．
两年前生产1 t甲种食品的成本是10000元，生产1t乙种食品的成本是12000元.随着生产技术进步，现在生产1t甲种食品的成本是6000元，生产1t乙种食品的成本是7200元.哪种食品成本的年平均下降率较大？
【思考】下降率是什么意思？它与原成本、终成本之间有何数量关系？
探究新知
有关增长/下降率的问题
知识点
【分析】甲种食品成本的年平均下降额为
乙种食品成本的年平均下降额为
乙种食品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率.
(10000-6000)÷2=2000(元).
(12000-7200)÷2=2400(元).
解:设甲种食品成本年均下降率为 x，则一年后甲种食品成本为10000（1-x）元，两年后甲种食品成本为10000
依题意，得 10000=6000.
答:甲种食品成本的年平均下降率约22.5%.
探究新知
解这个方程，得 （舍去）.
设乙种食品成本的年平均下降率为y,
一年后乙种食品成本为 元，
两年后乙种食品成本为 元
依题意得， ，
解方程得 ，
12000（1-y）
12000（1-y）2
12000（1-y）2=7200
答:乙种食品成本的年平均下降率约为 .
y1≈0.225,y1≈-1.775
22.5%
探究新知
【思考】为什么选择22.5％作为答案？比较两种食品成本的年平均下降率.经过计算,你能得出什么结论 成本下降额较大的食品,它的成本下降率一定也较大吗 应怎样全面地比较对象的变化状况
答：经过计算,甲乙两种食品的平均下降率相同 .成本下降额较大的食品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.
探究新知
类似地这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式.
若平均增长(或下降)百分率为x,增长(或下降)前的量是a,增长(或下降)n次后的量是A,则它们的数量关系可表示为
其中增长取“+”,下降取“－”
探究新知
【归纳】
=A
例4 某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）
解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为 x.
根据题意，得 .
解这个方程，得
答：每次降价的百分率为29.3%.
列一元二次方程解答增长率问题
素养考点 1
探究新知
某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒.求平均每次降价的百分率？
解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得：
36（1- x ）2=25.
解得
答：平均每次约降价16.7%.
巩固练习
1. （重庆中考）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（　　）
A．10% B．20%
C．22% D．44%
B
链接中考
2. （牡丹江中考）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（　　）
A．20%
B．22%
C．25%
D．28%
C
链接中考
1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( )
A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500
B
课堂检测
基础巩固题
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程
为
课堂检测
2（1+x）+2（1+x）2=8.
（2）设购进y件甲种商品，则购进（100-y）件乙种商品，根据题意得（125-25×2）y+80（100-y）≤7 800，解得y≥40.
∴y的最小值为40．
某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．
（1）求乙种商品每件进价的年平均下降率.
（2）2024年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．
解：（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x,根据题意得
125（1-x）2=80，解得x1=0.2=20%，x2=1.8（不符合题意，舍去）．
课堂检测
能力提升题
某电脑公司2025年的各项经营，一月份的营业额为200万元，一、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率。
分析：设这个增长率为x，一月份的营业额200万元，二月份的营业额是________万元、三月份的营业额_________万元，由三月份的总营业额列出等量关系．
200(1+x)
200(1+x)2
解：设平均增长率为x,得
200 + 200(1+x) + 200(1+x)2 = 950.
整理，得
200x2 + 600x = 350.
解得 x1≈0.5，x2≈-3.5（舍去）.
答:这个增长率是50%.
拓广探索题
课堂检测
增长(下降)率问题
增长率问题
下降率问题
基数为a,平均增长/下降率为x
第一次增长
第二次增长
第n次增长
第一次下降
第二次下降
第n次下降
a(1+x)
a(1+x)2
a(1+x)n
a(1－x)
a(1－x)2
a(1－x)n
a(1±x)n
课堂小结
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
课后作业(共17张PPT)
人教版 九年级 数学（上）
第二十五章 一元二次方程
25.3 实际问题与一元二次方程
（第3课时）
【想一想】若干支球队进行主客场双循环比赛，如何安排比赛队伍？一共要进行多少场比赛？
导入新知
素养目标
1. 能正确列出关于单（或双）循环问题的一元二次方程.
2. 通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．
若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300.他算得对吗 为什么
你能解决这个问题吗？
探究新知
列一元二次方程解决邀请赛问题
知识点
【分析】双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛.如果有n支球队参赛，那么比赛的总场数为n(n-1).
探究新知
【探究】以A，B，C，D四支队伍为例：
A B C D
A —
B —
C —
D —
主场
客场
共12场比赛
假设这个人算得对，即n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，那么n(n-1)=300.
探究新知
由总场数为n(n-1)可知，其必为两个连续正整数的乘积，如2，6，12， 20，…，240，272，306，….
由于1201不是完全平方数，所以n不可能为整数.因此，总场数不可能为300，这个人算得不对.
解方程可得：n=
例 n个人参加聚会，每两人都握1次手，所有人共握手10 次，共有多少人
解:设共有x人，
则 =10.
解得
x1=5 , x2=-4(不合题意,舍去)
答:共有5人.
列一元二次方程解单（或双）循环问题
素养考点
探究新知
1.引例和例中的数量关系有何区别？
A和B握一次手，等同于B和A握手，只算作一次事件;
A作为主场和B比赛后，B也要作为主场和A比赛一次，共发生两次事件.
2.解决这类单（或双）循环问题有什么经验和方法？
（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；
（2）注意是“单循环”还是“双循环”类型.
【思考】
探究新知
【归纳总结】
探究新知
类型 特点 常见问题 n 个元素的循环总次数
单循环 每两个元素之间算一次 握手问题、照相问题、签合同问题、比赛问题（每两队之间赛一场）
双循环 每两个元素之间算两次 互赠贺卡、互发信息、比赛问题（每两队之间赛两场）
多边形对角线 每两个元素之间算一次 凸 n 边形对角线条数问题
n(n 1)
n(n 1)
n(n 3)
已知一个凸多边形的对角线条数是14,则这个多边形的边数是________.
7
巩固练习
生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，求全组有多少名同学？
解：全组有x名同学，根据题意，得
x（x-1）=182.
解得 x1=14，x2=-13（不合题意，舍去）.
答：全组有14名同学.
巩固练习
（黑龙江中考）毕业前夕，班主任王老师让每一位同学为班级的其他同学发送祝福短信，全班一共发送870条，这个班级的学生总人数是（　　）
A．40
B．30
C．29
D．39
B
链接中考
1.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（ ）
A.x2=1980 B. x(x+1)=1980
C. x(x-1)=1980 D.x(x-1)=1980
D
课堂检测
基础巩固题
2.一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共多少人？
解：
设这个小组共x人，
根据题意列方程，得
x(x-1)=72.
化简，得 x2-x-72=0.
解方程，得 x1=9， x2=-8（舍去）.
答：这个小组共9人.
探究新知
某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了6场，求初三有几个班？
解：初三有x个班，根据题意列方程，得
解方程，得 x1=4， x2=-3（舍去）.
答：初三有4个班.
课堂检测
能力提升题
单（或双）循环问题
双循环
单循环
课堂小结
n个元素的循环总次数为n(n-1)
n个元素的循环总次数为
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
课后作业

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