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人教版 九年级 数学（上）
第二十六章 二次函数
26.1 二次函数的概念
如图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线后落到池中央，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度h与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系？
上面问题中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示？这种函数与以前学习的函数、方程有哪些联系？
导入新知
1.掌握二次函数的概念，能判断一个函数关系是不是二次函数关系.
2. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数解析式，并能指出二次函数的项及各项系数.
素养目标
显然，矩形的一边长x和面积y都是变量，而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数．根据矩形面积公式，它们之间的关系可以表示为______________,即________________.
用长为40m的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积y（单位：m ）会随矩形一边长（单位：m）的变化而变化，y与x之间有什么关系？
y=x（20－x）
探究新知
二次函数的概念
知识点 1
问题1
y=－x2+20x①
n支球队参加比赛，每两队之间进行1场比赛.比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系？
每支球队都要与其他________支球队各比赛1场，由于甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数______________,即________________.
（n－1）
m= n(n－1)
m= n2－ n②
②式表示比赛的场次数m与球队数n之间的关系，其中m和n都是变量，而且对于n的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与其对应，即m是n的函数.
探究新知
问题2
这种产品的原产量是20t, 一年后的产量是 t,再经过一年后的产量是 t,即两年后的产量为______________,即___________________.
某种产品现在的年产量是20t,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y（单位：t）将由x的值确定,y与x之间的关系应怎样表示？
20(1+x)
20(1+x)(1+x)
y=20x2+40x+20③
③式表示了两年后的产量y与计划增产倍数x之间的关系,其中x和y都是变量，而且对于x的每一个确定的值, y都有唯一确定的值与其对应,即y是x的函数.
探究新知
问题3
y=20（1+x）2
观察函数①②③，它们有什么共同点
y=－x2+20x ①
m= n2－ n ②
y=20x2+40x+20 ③
探究新知
【思考】
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
y=－x2+20x
自变量
函数
函数解析式
y
y
m
x
x
n
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数．
这些函数有什么共同点？
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
探究新知
m= n2－ n
y=20x2+40x+20
一般地，形如y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数，叫作二次函数.
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的
（3）等式的右边最高次数为
注意
（2）a,b,c为常数，且
（4）x的取值范围是 .
整式.
a≠0.
2
任意实数
探究新知
二次函数的概念
项和常数项，但不能没有二次项.
，可以没有一次
一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数，叫作二次函数.
二次项系数
自变量
一次项系数
常数项
探究新知
二次函数的概念
二次函数的一般形式:
y＝ax2＋bx＋c (其中a，b，c是常数,a≠0)
探究新知
二次函数的形式
当b＝0时， y＝ax2＋c.（只含有二次项和常数项）
当c＝0时， y＝ax2＋bx.（只含有二次项和一次项）
当b＝0，c＝0时， y＝ax2.（只含有二次项）
二次函数的特殊形式:
例1 下列函数中是二次函数的有 .
二次函数：y=ax +bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
√
a=0
×
最高次数是4
×
×
√
√
①⑤⑥
二次函数的识别
素养考点 1
探究新知
方法点拨
判断一个函数是否为二次函数的步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
探究新知
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1) +1
(3) s=3-2t
(5) y=(x+3) -x
(6) v =10πr
（是）
（否）
（是）
（否）
（否）
（是）
(7) y=x +x +25
(8) y =2 +2x
（否）
（否）
(2)
(4)
右边不是整式
右边不是整式
自变量的最高次数是1
整理后，自变量的最高次数是1
自变量的最高次数是3
巩固练习
例2 关于x的函数 是二次函数, 求m的值.
解: 由二次函数的概念，得m2-m=2,m+1≠0.
注意 二次函数的二次项系数不能为零.
解得 m=2.
因此当m=2时，函数为二次函数.
利用二次函数的概念求字母的值
素养考点 2
探究新知
解：根据二次函数的概念，得
解得a=－1.
巩固练习
是二次函数，求常数a的值.
根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤：
①审题：仔细审题，分析数量之间的关系，将文字语言转化为符号语言；
②列式：根据实际问题中的等量关系，列二次函数解析式，并化成一般形式；
③取值：联系实际，确定自变量的取值范围.
列二次函数解析式
知识点 2
探究新知
例 一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为xm，菜园的面积为ym2，求y与x之间的函数解析式，并说出自变量的取值范围.当x=12m时，计算菜园的面积.
xm
y m2
xm
（40－2x ）m
解：
由题意，得
y=x(40-2x).
即 y=－2x2+40x.
(0当x＝12m时，菜园的面积为
y =－2x2+40x=－2×122+40×12=192（m2）.
素养考点2
建立二次函数的模型
素养考点
探究新知
方法点拨:确定实际问题中的二次函数解析式时，常常用到生活中的经验及数学公式（例长方形和圆的面积、周长公式）等.
①已知圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)，写出y与x之间的函数解析式；
②王先生存入银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的存款年利率为x，两年后王先生共得本息和y万元,写出y与x之间的函数解析式；
y=πx2
y=2(1+x)2
做一做:
(x>0)
(x>0)
巩固练习
③如图，矩形绿地的两边长各增加xm，扩充后的绿地面积为ym .写出y关于x的函数解析式.
y=(30+x)(20+x),
做一做:
即y =x +50x+600.
说一说以上二次函数解析式的各项系数.
巩固练习
y=πx2,
y=2(1+x)2,
y =x +50x+600
1.（甘肃兰州中考）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A.y=3x-1 B.y=ax2+bx+c
C.s=2t2-2t+1 D.y=x2+
C
链接中考
2.（江苏徐州中考）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作ym；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作d1m；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作 d2m ．已知 ，y＝d1＋d2与骑行速度成正比，d2与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为13km/h时，反应距离为2.6m，刹车距离为1m．
链接中考
(1)若骑行速度为26km/h ，则 d1 ＝ ______ ， d2 ＝ _____ ；
5.2
4
(2)设骑行速度为xkm/h ，求y关于x的函数表达式；
链接中考
解：
∵d1与骑行速度成正比，d2与骑行速度的平方成正比，骑行速度为xkm/h,
∴d1=k1x，d2=k2x2.
∵当骑行速度为13km/h时，反应距离为2.6m，
∴13k1=2.6，解得k1=0.2.∴d1=0.2x.
∵当骑行速度为13km/h时，刹车距离为1m，
∴1= 13 ×k2，解得k2= .∴d2= x2.
∴y= d1+ d2=0.2x+ x2.
(3)当刹车距离为2m时，停车距离为多少（精确到0.1m）？（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24 ）
链接中考
解：
当刹车距离为2m时，则2= x2.
解得x1=13，x2=－13 （不符合题意，舍去）.
∴y=0.2x+ x2≈0.2×13×1.41+×132×2= 5.666≈5.7(m).
∴停车距离约为5.7m.
1 .下列函数中，（x是自变量），是二次函数的为( )
A. y=ax2+bx+c B. y2=x2-4x+1
C. y=x2 D. y=22+ x+1
2. 函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( )
A. m,n是常数,且m≠0 B. m,n是常数,且n≠0
C. m,n是常数,且m≠n D. m,n为任何实数
C
C
课堂检测
基础巩固题
3. 一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积 s 与半径 r 之间的解析式.
4. 多边形的对角线总条数d与边数n之间的解析式？
S=4πr2.
d= n(n-3),
即d= n2- n.
课堂检测
解：由二次函数的定义,得
当m为何值时，函数y=(m-4)xm -5m+6+mx是关于x的二次函数.
课堂检测
能力提升题
∴当m=1时，函数y=(m-4)xm -5m+6+mx是关于x的二次函数.
解得m=1.
问题导入，列解析式
探索二次解析式共同点
总结二次函数概念
二次函数y=ax +bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
二次函数的判别:
①函数解析式是整式；
②整理后自变量的最高次数为2；
③二次项系数不等于0.
确定二次函数解析式及自变量的取值范围
课堂小结
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
课后作业

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