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(共32张PPT)
26.2 二次函数的图象和性质
26.2.2 二次函数y=a(x-h)2+k的
图象和性质
（第1课时）
人教版 数学 九年级 上册
人教版 九年级 数学（上）
第二十六章 二次函数
26.2.2 二次函数y=a(x-h)2+k的
图象和性质
（第1课时）
这个函数的图象是如何画出来呢？
x
y
导入新知
素养目标
3. 能说出抛物线y=ax +k的开口方向、对称轴、顶点.
1. 会画二次函数y=ax2+k的图象.
2. 理解抛物线y=ax 与抛物线 y=ax +k之间的联系.
在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2 , y=x2+1, y=x2-1的图象.
【解析】
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
y=x2+1 … …
y=x2-1 … …
10 5 2 1 2 5 10
8 3 0 -1 0 3 8
探究新知
二次函数y=ax2+k图象的画法
知识点 1
1.列表：
y=x2+1
10
8
6
4
2
-2
-5
5
x
y
y=x2-1
y=x2
O
2.描点，连线：
探究新知
【思考】抛物线y=x2 ，y=x2+1，y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？
解：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=x2 向上 x=0 (0,0)
y=x2+1 向上 x=0 (0，1)
y=x2-1 向上 x=0 (0，-1)
探究新知
二次函数y = ax2 +k的图象的画法
例 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = x2 +2， y = x2 -2的图象.
解析 先列表：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y =x2 +2 … 10 6.5 4 2.5 2 2.5 4 6.5 10 …
y = x2 -2 … 6 2.5 0 -1.5 -2 -1.5 0 2.5 6 …
素养考点
探究新知
然后描点画图：
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
y =x2 -2
y = x2 +2
-2
探究新知
10
抛物线y = x2 +2, y = x2 -2的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
【思考】
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=x2 +2 向上 y轴 （0,2）
y=x2 -2 向上 y轴 （0，-2）
解答：
探究新知
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
y =x2 -2
y = x2 +2
-2
10
开口方向：向上
对 称 轴：y轴（或直线x=0）
顶点坐标：（0，k）
最 值：当x=0时，有最小值，y=k
增 减 性：当x＜0时，y随x的增大而减小；
当x＞0时，y随x的增大而增大.
探究新知
二次函数y=ax2+k(a＞0)的性质
二次函数y=ax2+k的性质
知识点 2
在同一坐标系中，画出二次函数 ， ，
的图象，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标.
-4
-2
y
-6
O
-2
2
x
4
-4
如图所示
巩固练习
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y= -x2 向下 y轴 （0,0）
y= -x2 +2 向下 y轴 （0,2）
y= -x2 -2 向下 y轴 （0，-2）
y
-2
-2
4
2
2
-4
x
0
二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0)
在同一坐标系内画出
下列二次函数的图象：
探究新知
根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是 ;
(2)三条抛物线的开口方向_______;
(3)对称轴都是__________;
(4) 从上而下顶点坐标分别是
_________________________;
抛物线
向下
y轴
(0，0)，
( 0，2)，
( 0，-2)
探究新知
(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________;
(6) 函数的增减性都相同： __________________________
__________________________
高
大
y=0
y= -2
y=2
对称轴左侧y随x增大而增大,
对称轴右侧y随x增大而减小.
探究新知
y=ax2+k a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 y轴（直线x=0） y轴（直线x=0）
顶点坐标 （0,k） （0,k）
最值 当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k
增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小； x＞0时，y随x的增大而增大 当x＞0时，y随x的增大而减小；
x＜0时，y随x的增大而增大
注意：k带前面的符号！
探究新知
二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质
例 已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________.
解析 由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.
c
【方法总结】二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数．
二次函数y=ax2+k的性质的应用
素养考点
探究新知
抛物线y= 2x2+3的顶点坐标是 ,对称轴是 ，在 侧，y随着x的增大而增大；在 侧，y随着x的增大而减小.
巩固练习
（0,3）
y轴
对称轴左
对称轴右
解 析 式
y=x2
y= x2 +2
y= x2 -2
+2
-2
点的坐标
函数对应值表
x … …
y=x2-2 … …
y=x2 … …
y=x2+2 … …
2
2
0
4
-1
0.5
-1.5
2.5
x
x2
x2-2
(x, )
(x, )
(x, )
x2 -2
x2
x2+2
从数的角度探究
x2+2
探究新知
二次函数y=ax2+k的图象及平移
知识点 3
观察图象可以发现，把抛物线y=x2 向 平移2个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线y=x2 向 平移2个单位长度，就得到抛物线 y=x2-2.
下
y=x2+2
上
从形的角度探究
探究新知
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
y =x2 -2
y = x2 +2
-2
10
y = x2
二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：
当k > 0 时,向上平移 |k|个单位长度得到.
当k < 0 时,向下平移|k| 个单位长度得到.
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
探究新知
二次函数y=ax2 与y=ax2+k（a≠0）的图象的关系
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将 (　　 )
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
解析 二次函数y＝－3x2＋1的图象是将抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到的．
D
巩固练习
1.二次函数y=ax2+k图象的画法分几步？
第一种方法：平移法，分两步，即第一步画y=ax2的图象；第二步把y=ax2的图象向上（或向下）平移︱k ︱单位.
第二种方法：描点法，分三步即列表、描点和连线.
【想一想】
探究新知
2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
(1)a决定开口方向：a＞0，开口向上，a＜0，开口向下；
|a|决定开口大小： |a| 越大，开口越小， |a| 越小，开口越大；
(2)k决定顶点的纵坐标,对称轴为y轴,顶点坐标为（0，k）.
【想一想】
探究新知
（上海中考）将函数y=3x2的图象向下平移2个单位长度后，得到的新函数的解析式是 ．
y=3x2－2　
链接中考
1.抛物线 y=2x2 向下平移4个单位，就得到抛物线 ．　　
2.填表：
y = 2x2－4
函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点
y = 3x2
y = 3x2＋1
y = -4x2－5
向上
向上
向下
（0,0）
(0,1)
(0,-5)
y轴
y轴
y轴
有最低点
有最低点
有最高点
课堂检测
基础巩固题
4.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k .
3.已知点（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上 ，点 (-m,n) ___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.
在
=2
>2
<2
课堂检测
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
（2）函数y=-x2+1，当x 时， y随x的增大而减小；当x 时，函数y有最大值，最大值y是 ，其图象与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 .
（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
向下平移1个单位.
>0
=0
1
(0,1)
(-1,0),(1,0)
开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
课堂检测
1.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则m=____.
2.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）， 则a=____.
3.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0），B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______.
2
-2
8
能力提升题
课堂检测
1.开口方向由a的符号决定；
2.k决定顶点位置；
3.对称轴是y轴.
二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质
图象
性质
与y=ax2的关系
增减性结合开口方向和对称轴才能确定.
平移规律：
k正向上；
k负向下.
课堂小结
课堂小结
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
课后作业
七彩课堂 伴你成长(共27张PPT)
人教版 九年级 数学（上）
第二十六章 二次函数
26.2.2 二次函数y=a(x-h)2+k的
图象和性质
（第2课时）
导入新知
a,c的符号 a>0,c>0 a>0,c<0 a<0,c>0 a<0,c<0
图象
开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0,c）
（0,c）
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
x=0时，y最小值=c
x=0时，y最大值=c
说说二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的特征.
导入新知
二次函数 y=ax2+k(a≠0)与 y=ax2(a ≠0) 的图象有何关系？
答：二次函数y=ax2+k(a ≠ 0)的图象可以由y=ax2(a ≠ 0)
的图象平移得到：
当k > 0 时，向上平移 个单位长度得到.
当k < 0 时，向下平移 个单位长度得到.
【思考】 函数 的图象，能否也可以由函数 平移得到？
导入新知
素养目标
3. 能说出抛物线y=a(x-h)2的开口方向、对称轴、顶点.
1.会画二次函数y=a(x-h)2的图象.
2. 理解抛物线y=ax2 与抛物线 y=a(x-h)2的联系.
在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 与
的图象．
解：先列表：
x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
探究新知
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
知识点 1
x
y
-4
-3
-2
-1
o
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
再描点、连线，画出这两个函数的图象：
探究新知
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性
向上
向上
y轴
x=2
(0,0)
(2,0)
根据所画图象，填写下表：
【想一想】通过上述例子，函数y=a(x-h)2（a＞0）的性质是什么？
探究新知
当x=0时，
y最小值=0
当x=2时，
y最小值=0
当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时，y随x的增大而减小
当x＞2时，y随x的增大而增大；当x＜2时，y随x的增大而减小
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性
y=a(x-h)2 （a＞0） 向上 x=h （h，0） 当x=h时， y最小值=0
当x＞h时，y随x的增大而增大；当x＜h时，y随x的增大而减小
探究新知
二次函数y=a(x-h)2（a＞0）的图象性质
【试一试】画出二次函数 的图象，并说出它们的开口方向、对称轴和顶点．
x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
－2
－4.5
－2
0
0
－2
－2
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－4.5
0
x
y
－8
探究新知
－8
x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性
向下
直线x=-1
( -1 , 0 )
直线x=0
直线x=1
向下
向下
( 0 , 0 )
( 1, 0)
探究新知
当x=-1时，
y最大值=0
当x＜-1时，y随x的增大而增大；当x＞-1时，y随x的增大而减小
当x=0时，
y最大值=0
当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小
当x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小
当x=1时，
y最大值=0
函数y=a(x-h)2（a＜0）的性质（结合图象）
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性
y=a(x-h)2 （a＜0） 向下 x=h （h，0） 当x=h时， y最大值=0 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小
【想一想】通过上述例子，函数y=a(x-h)2（a＜0）的性质是什么？
探究新知
y=a(x-h)2 a＞0 a＜0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
探究新知
二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象性质
向上
直线x=h
（h,0）
当x=h时，y最小值=0
当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.
向下
直线x=h
（h,0）
当x=h时，y最大值=0
当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大.
例 若抛物线y＝3(x＋ )2的图象上的三个点，A(－3 ，y1)，B(－1，y2)，C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为________________．
解析：∵抛物线y＝3(x＋ )2的对称轴为直线x＝－，a＝3＞0，开口向上，∴当x＜－时，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；当x＞－时，即在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．
∵点A的坐标为(－3，y1)，
∴点A在抛物线上关于x=-的对称点A′的坐标为(，y1)．
又∵－1＜0＜，∴y2＜y3＜y1.
y2＜y3＜y1
二次函数y = a（x-h）2 的图象和性质
素养考点
探究新知
方法点拨
探究新知
利用函数的性质比较函数值的大小时，首先确定函数的对称轴，然后判断所给点与对称轴的位置关系，若同侧，直接比较大小；若异侧，先根据对称性转化到同侧，再比较大小.
已知二次函数y=-(x+h)2,当x<-3时，y随x的增大而增大，当x>-3时，y随x的增大而减小，当x=0时，y的值是（ ）
A.-1 B.-9 C.1 D.9
巩固练习
B
向右平移
1个单位
抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
向左平移
1个单位
探究新知
二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系
知识点 2
x
y
o
可以看作互相平移得到.
左右平移规律：
括号内左加右减；括号外不变.
y=a(x-h)2
向右（h＞0）平移 ︱h︱ 个单位
y=a(x-h)2
向左（h＜0）平移 ︱h︱个单位
y=ax2
探究新知
二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2 的图象的关系
例 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数解析式．
解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数解析式可表示为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， ，
因此平移后二次函数解析式为y＝ (x－3)2.
方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．
二次函数平移性质的应用
素养考点
探究新知
将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数
y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是(　　)
A．向上平移1个单位　　B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位　　D．向右平移1个单位
解析 抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y＝－2(x＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数y＝－2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象．
C
巩固练习
（山东潍坊中考）已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（　 ）
A．3或6 B．1或6
C．1或3 D．4或6
B　
链接中考
1. 把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 .
2. 二次函数y=2(x- )2图象的对称轴是直线_______，顶点是________.
3. 若（- ，y1）（- ，y2）（ ，y3）为二次函数y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为_______________.
y=-(x+3)2或y=-(x-3)2
y1 ＞y2 ＞ y3
课堂检测
基础巩固题
4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向上
直线x=3
( 3, 0 )
直线x=2
直线x=1
向下
向上
(2, 0 )
( 1, 0)
课堂检测
在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系．
解：图象如右图.
函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2的图象向右平移2个单位得到.
y
O
x
y = 2x2
2
课堂检测
能力提升题
在直角坐标系中画出函数y＝ (x-3)2的图象．
(1)指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)说明该函数图象与二次函数y＝ x2的图象的关系；
(3)根据图象说明，何时y随x的增大而减小，何时y随x
的增大而增大，何时y有最大(小)值，是多少
课堂检测
拓广探索题
解：（1）开口向上，对称轴为直线x=3，顶点坐标为（3，0）.
（3）当x＞3时，y随x的增大而增大，当x＜3时，y随x的增大而减小，当x=3时，y有最小值，为0.
-2
2
4
y
O
-2
2
x
4
-4
（2）该函数图象由二次函数y= x2的图象向右平移3个单位得到.
复习y=ax2+k
探索y=a(x-h)2的图象及性质
图象的画法
图象的特征
描点法
平移法
开口方向
顶点坐标
对称轴
平移关系
直线x=h
（h,0）
a>0,开口向上
a<0,开口向下
y=ax2
平移规律：
括号内左加右减；括号外不变.
课堂小结
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
课后作业(共29张PPT)
人教版 九年级 数学（上）
第二十六章 二次函数
26.2.2 二次函数y=a(x-h)2+k的
图象和性质
（第3课时）
y=ax2
y=a(x-h)2
y=ax2+k
y=ax2
k>0
k<0
上移
下移
右移
左移
说出平移方式，并指出其顶点与对称轴.
顶点
在x轴上（h，0）
顶点
在y轴上(0,k)
对称轴
y轴
对称轴 x=h
导入新知
【思考】 顶点不在坐标轴上的二次函数又如何呢？
h>0
h<0
素养目标
3. 能说出抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点.
1. 能画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象.
2. 理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系.
画出二次函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点.
解：
-4
-2
y
-6
O
-2
2
x
4
-4
开口方向：
对称轴：
顶点：
向下.
直线x=-1.
(-1,-1).
探究新知
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
知识点 1
-4
-2
y
-6
O
-2
2
x
4
-4
探究新知
画一画，填写下表:
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
向下
向下
向下
向下
直线x=0
直线x=0
直线x=－1
直线x=－1
（0,0）
（0,－1）
（－1,0）
（－1,－1）
画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.
开口方向向上；
对称轴是直线x=-1;
顶点坐标是(-1,-2)
-2
2
x
y
O
-2
4
6
8
-4
2
4
巩固练习
a>0 a<0
图象 h>0
h<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
当x当x>h时，y随x增大而减小
当x当x>h时，y随x增大而增大
向上
向下
直线x=h
直线x=h
（h,k）
x=h时，y最小值=k
x=h时，y最大值=k
（h,k）
探究新知
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
例 已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(　　)
解析 根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．
A
利用二次函数y= a(x-h)2+k的性质识别图象
素养考点
探究新知
B.
D.
A.
C.
在同一坐标系内，一次函数y=ax+2与二次函数y=x +a的图象可能是（ ）
巩固练习
C
A.
B.
D.
C.
-4
-2
y
-6
O
-2
2
x
4
-4
向左平移一个单位
向下平移一个单位
向左平移一个单位，
再向下平移一个单位
探究新知
二次函数y= a(x-h)2+k的图象与平移
知识点 2
怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？
向左平移
1个单位
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10
【思考】还可以怎样移动抛物线 来得到抛物线 ？
平移方法：
向下平移
1个单位
探究新知
y=a(x-h)2+k
y=ax2
平移关系
？
二次函数y=a(x-h)2+k的几种图象：
这些图象与抛物线y=ax2有什么关系？
探究新知
方法点拨
一般地,抛物线y=a(x－h) ＋k与y=ax 形状相同,位置不同.把抛物线y=ax 向上(或向下)向左(或向右)平移,可以得到抛物线y=a(x－h) ＋k.平移的方向、距离要根据h，k的值来决定.
向左（h＜0）或向右（h＞0）平移|h|个单位
向上（k＞0）或向下（k＜0）平移|k|个单位
y=ax2
y=a(x－h)2
y=a(x－h) 2+k
y=ax2
y=a(x－h)2+k
y=ax +k
平移方法:
探究新知
向上（k＞0）或向下（k＜0）平移|k|个单位
向左（h＜0）或向右（h＞0）平移|h|个单位
(1)当a＞0时, 开口向上;
当a＜0时，开口向下;
(2)对称轴是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
探究新知
抛物线y=a(x－h)2+k的特点
可以看作互相平移得到的.
y = ax2
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
y = a( x - h )2 + k
上下平移
左右平移
上下平移
左右平移
平移规律
简记为：
上下平移，
括号外上加下减；
左右平移，
括号内左加右减.
二次项系数a不变.
探究新知
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
如果一条抛物线的形状与 形状相同，且顶点坐标是（4，2），试求这个函数解析式.
巩固练习
解:由题意，得这个函数解析式为 .
例 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3.6m,水管的长度应为多少
二次函数的应用
素养考点
探究新知
解:如图建立平面直角坐标系,
点(1.6,3)是图中这段抛物线的顶点，
∵这段抛物线经过点(3.6,0)，
∴ 0=a(3.6－1.6)2＋3.
解得
因此抛物线的解析式为
当x=0时,y=1.08.
答:水管长应为1.08 m.
3
4
a=－ .
y= (x－1.6)2＋3 (0≤x≤3.6).
3
4
－
探究新知
因此可设这段抛物线对应的函数解析式为
y=a(x－1.6)2＋3 (0≤x≤3.6).
C(3.6,0)
B(1.6，3)
A
x
O
y
1
2
3
1
2
3
3.6
如图所示，已知一个大门呈抛物线形，其地面宽度AB=18m，一个同学站在门内，在离门脚B点1m远的D处，垂直地面立起一根1.7m长的木杆，其顶端恰好定在抛物线形门上C处，请你求出大门的高h的值.
巩固练习
巩固练习
解:如图,建立平面直角坐标系,
设抛物线解析式为y=ax2+k.由题意可知点B（9, 0），C（8, 1.7）.
把B，C两点的坐标代入y=ax2+k，得
解得
∴y=-0.1x2+8.1,∴h=k=8.1,即大门高8.1m.
点拔:此题还可以以AB所在直线为x轴,A点或B点为原点,建立平面直角坐标系,求得抛物线的解析式，进而得出顶点坐标,顶点的纵坐标即为h的值.
1.（黑龙江哈尔滨中考）抛物线y= ﹣ （x﹣3）2+4的顶点坐标是（　 ）
A．（3，4） B．（﹣3，4）
C．（﹣3，﹣4） D．（3，﹣4）
A
链接中考
链接中考
2. （广西中考）将抛物线y=x2向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（　　）
A．y=（x-3）2+4 B．y=（x+3）2+4
C．y=（x-3）2-4 D．y=（x+3）2-4
A
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
向上
( 1, －2 )
向下
向下
( 3 , 7)
( －2 , －6 )
向上
直线x=－3
直线x=1
直线x=3
直线x=－2
(－3, 5 )
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
y=－5(x+2)2－6
1.完成下表:
基础巩固题
课堂检测
2.把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么所得抛物线是___________________.
4.抛物线y=-3(x-1)2+2的图象如何得到 y=-3x2 .
3.抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为 _____________ .
解：先向左平移一个单位，再向下平移两个单位.
课堂检测
5.已知一个二次函数图象的顶点为A(-1,3),且它是由二次函数y=5x2平移得到，请直接写出该二次函数的解析式.
解：由题意，得y=5(x+1)2+3.
课堂检测
已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，-2），求这个二次函数的解析式．
解：由函数顶点坐标是（1，-2），
设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-2.
因为图象过点(0，0)，则0=a(0-1)2-2，
解得a=2.
所以这个二次函数的解析式为y=2(x-1)2-2.
能力提升题
课堂检测
小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y= x2+3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是( )
A.3.5 m B.4 m C.4.5 m D.4.6 m
B
解析：由图可以知道，小敏与篮底的距离就是AB.因为AB=OA+OB,OA=2.5m，所以要求OB即可，而OB就是篮圈中心的横坐标，设为a，则篮圈中心的坐标就是（a，3.5），点在抛物线上，即：3.5= a2+3.5，整理得a2=2.25,即a=±1.5,a=-1.5（舍去），故a=1.5，因此AB=4.
拓广探索题
课堂检测
3.5m
A
B
向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位
y=ax2
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
y=ax2+k
向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位
向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位
向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位
向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位
向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位
y
O
x
y=ax2
y=a(x-h)2+k
h
k
课堂小结
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
课后作业

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