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人教版 九年级 数学（上）
第二十六章 二次函数
26.3 二次函数与一元二次方程
如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度 h （单位：m ）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为 h = 20t - 5t 2．小球的飞行高度能否达到 20 m？ 如果能，需要多长时间？
导入新知
3.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
2.探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.
1.掌握二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.
素养目标
【思考】如图，下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？
（1）y=x2+x-2；
（2）y=x2-8x+16；
（3）y=x2-x+1.
由此，你能说说方程x2+x-2=0，x2-8x+16=0，
x2-x+1=0的根的情况吗？
探究新知
利用二次函数与x轴的交点讨论一元二次方程的根的情况
知识点 1
1
O
y = x2－8x＋16
y = x2－x＋1
y = x2＋x－2
y
x
二次函数图象与x轴的公共点的横坐标是多少？
无公共点
观察函数图象
对应一元二次方程的根是多少？
x1 =-2，
x2 =1.
x1 =x2 =4.
方程无解
有两个不等的实根
有两个相等的实根
没有实数根
公共点的函数值为 .
探究新知
0
由上述问题，你可以得到什么结论呢？
方程ax2+bx+c=0的解就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴公共点的横坐标.当抛物线与x轴没有公共点时，对应的方程无实数根.
反过来，由一元二
次方程的根的情况，
也可以确定相应二
次函数的图象与 x
轴的公共点的情况.
探究新知
有两个不等实根
有两个相等实根
没有根
有两个公共点
只有一个公共点
没有公共点
Δ > 0
Δ = 0
Δ < 0
一元二次方程ax2+bx+c = 0 的根
抛物线 y=ax2+bx+c与x轴
若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有公共点，则
b2 – 4ac ≥ 0.
Δ= b2 – 4ac
探究新知
二次函数与一元二次方程的关系（1）
Δ ＞0
Δ =0
Δ ＜0
o
x
y
Δ = b2 – 4ac
y=ax2+bx+c
那么a<0时呢？
a＞0
探究新知
1
O
y = x2－8x＋16
y = x2－x＋1
y = x2＋x－2
观察图象，完成下表：
抛物线与x轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次
方程的根
y = x2－x＋1
y = x2－8x＋16
y = x2＋x－2
0个
1个
2个
x2-x+1=0无解
4
x2-8x+16=0，x1=x2=4
-2, 1
x2+x-2=0，x1=-2,x2=1
探究新知
y
x
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴公共点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac
有两个公共点
有两个不相等的实数根
b2-4ac > 0
有一个公共点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有公共点
没有实数根
b2-4ac < 0
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴公共点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系
探究新知
例 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．
解：(1)证明：∵m≠0，
∴Δ＝[-(m＋2)]2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.
∵(m－2)2≥0， ∴Δ≥0，因此抛物线与x轴总有两个交点；
（2）令y=0，则（x-1）（mx-2）=0，即x-1=0或mx-2=0，解得x1=1,x2= .当m为正整数1或2时，x2的值为整数，因为当m为2时， Δ =0，抛物线与x轴只有一个交点，所以正整数m的值为1.
利用二次函数与一元二次方程的根的关系确定字母的值（范围）
素养考点
探究新知
素养考点
已知抛物线y=kx2+2x-1与x轴有两个交点，则k的取值范围是 ．
巩固练习
k>-1且k0
探究新知
二次函数与一元二次方程的关系
知识点 2
如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度 h （单位：m ）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为 h = 20t - 5t 2．小球的飞行高度能否达到 20 m？ 如果能，需要多长时间？
小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多长时间？
O
h
t
20
2
20=20t-5t2,即t2-4t+4=0,
解得t1=t2=2.
故当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m.
h=20t-5t2
探究新知
解：
当h=20时，由函数关系h=20t-5t2,列得方程
你能结合图形指出为什么只在一个时间小球的高度为20m？
追问1 小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多长时间？
O
h
t
15
1
3
∴当球飞行1s或3s时，
它的高度为15m.
解：15=20t-5t2,
t2-4t+3=0,
解得t1=1,t2=3.
探究新知
你能结合上图，指出为什么在两个时间小求的高度为15m吗？
h=20t-5t2
追问2 小球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多长时间？
O
h
t
你能结合图形指出为什么小球不能达到20.5m的高度
20.5
解：20.5=20t-5t2,
t2-4t+4.1=0,
因为(-4)2-4 ×4.1<0,
所以方程无解.
即小球的飞行高度达不到20.5m.
h=20t-5t2
探究新知
追问3小球从飞出到落地，需要多长时间？
O
h
t
0=20t-5t2,
t2-4t=0,
解得t1=0,t2=4.
当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.
即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.
h=20t-5t2
解：小球飞出时和落地时的高度均为0m，
探究新知
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程
一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程.
为一个常数
（定值）
探究新知
二次函数与一元二次方程关系密切．
例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．
反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
探究新知
已知二次函数中因变量的值，求自变量的值
解一元二次方程
探究新知
二次函数与一元二次方程的关系（2）
例1 已知二次函数 y=2x2-3x-4的函数值为1，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程 2x2-3x-4=1 . 反之，解一元二次方程 2x2-3x-5=0,又可以看作已知二次函数y=2x2-3x-5的函数值为0时自变量x的值.
解之得x1=-1，x2=2.5
二次函数与一元二次方程的关系
素养考点1
探究新知
二次函数y=x2-3x+2 ，当 x=1 时，y= ;当y=0时，x= .
抛物线y=4x2-1与y轴的交点坐标为 ;与x轴的交点坐标为 .
巩固练习
0
1或2
(0,-1)
(0.5,0)和（-0.5,0）
例2 如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线
运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.
（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？
（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？
（3）铅球离地面的高度能否达
到3m？为什么？
二次函数与一元二次方程关系在实际生活中的应用
素养考点 2
探究新知
解： 由抛物线的解析式得
即
解得
即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.
（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？
探究新知
（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？
解：由抛物线的解析式得
即
解得
即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m.
探究新知
解：由抛物线的解析式得
即
因为
所以方程无实根.
所以铅球离地面的高度不能达到3m.
（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？
探究新知
一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了.
探究新知
拓展：一元二次方程ax +bx+c=m 的解是抛物线y=ax +bx+ c与直线y=m的交点的横坐标.
如图设水管AB的高出地面2.5m，在B处有一自动旋转的喷水头，喷出的水呈抛物线状，可用二次函数y=-0.5x2+2x+2.5描述，在所示的直角坐标系中，求水流的落地点D到A的距离是多少？
解：根据题意，得 -0.5x2+2x+2.5 = 0，
解得x1=5，x2=-1(不合题意舍去).
答：水流的落地点D到A的距离是5m.
分析：根据图象可知，水流的落地点D的纵坐标为0，横坐标即为落地点D到A的距离.
即y=0 .
巩固练习
A
B
O
D
求一元二次方程 的根的近似值（结果留小数点后一位）.
分析：一元二次方程 x -2x-1=0 的根就是抛物线 y=x -2x-1 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法.
利用二次函数求一元二次方程的近似解
探究新知
知识点 3
解：画出函数 y=x -2x-1 的图象（如右图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.
探究新知
求一元二次方程 的根的近似值（结果留小数点后一位）.
先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：
x … -0.4 -0.5 …
y … -0.04 0.25 …
观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求结果保留小数点后一位，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.同理可得另一近似值为x2≈2.4.
探究新知
利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.
(1)用描点法作二次函数 y=2x2+x-15的图象；
(2)观察估计二次函数 y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标,
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值);
(3)确定方程2x2+x-15=0的解;
由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5.
探究新知
一元二次方程的图象解法
根据下列表格的对应值:
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ）
A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 x 3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
C
巩固练习
（江苏淮安中考节选）二次函数y= x2－mx+m－1（m为常数）.证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点.
证明：由题可知 Δ =（-m）2-4× ×（m-1）=m2-2m+2=（m-1）2+1,
∵ （m-1）2≥0，∴ （m-1）2+1 ≥1.∴ Δ＞0.
∴该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点.
链接中考
1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　)
A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5
C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1
B
课堂检测
基础巩固题
2.若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2= ；
-1
3. 一元二次方程 3x2+x－10=0的两个根是x1=－2 ，x2= ，那么二次函数 y= 3x2+x－10与x轴的交点坐标是 .
(-2，0) ( ，0)
课堂检测
4. 若一元二次方程 无实根，则抛物线 图象位于（ ）
A.x轴上方 B.第一、二、三象限
C.x轴下方 D.第二、三、四象限
A
课堂检测
5. 二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　)
A．k<3 B．k<3且k≠0
C．k≤3 D．k≤3且k≠0
D
已知函数y＝(k－3)x ＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．
解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．
∵一次函数y＝2x＋1与x轴只有一个交点，
∴k＝3；
当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．
∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，
∴Δ＝b2－4ac≥0. ∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，
∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.
综上所述，k的取值范围是k≤4.
课堂检测
能力提升题
某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面 米，与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3米．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
课堂检测
拓广探索题
(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？
解：由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为A(0， )，B(4，4)，C(7，3)，其中B是抛物线的顶点．
设二次函数解析式为y＝a(x﹣4)2＋4，将点A的坐标代入，可得y＝﹣ (x ﹣ 4)2+4.
将点C的坐标代入上式，得左边＝3，右边＝ ﹣ (7 ﹣ 4)2+4＝3，左边＝右边，即点C在抛物线上．所以此球一定能投中.
课堂检测
(1) 建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？
解：将x＝1代入函数解析式，得y＝3.
因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．
课堂检测
判别式Δ=b2-4ac
二次函数y=ax2+bx+c （a>0） 的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的根的情况
抛物线与x轴的三种位置关系
x2
x1
x
y
O
O
x1= x2
x
y
x
O
y
Δ>0
Δ＝0
Δ＜0
有两个公共点（x1 ，0）， （x2 ，0）
有两个相等的实数根x1 =x2＝－
无实数根
课堂小结
有一个公共点（ －，0）
没有公共点
有两个不相等的实数根x1 ， x2
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
课后作业

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