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(共25张PPT)
人教版 九年级 数学（上）
第二十六章 二次函数
26.4 实际问题与二次函数
（第1课时）
　 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）之间的关系式是h= 4.9t2+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？
导入新知
【思考】
素养目标
2.会应用二次函数的性质解决实际问题.
1. 掌握几何问题中的相等关系的寻找方法，并会应用函数解析式求图形面积的最值.
在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）之间的关系式是h= 4.9t2+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位.）
二次函数与几何图形面积的最值
知识点
探究新知
分析：运动员在跳水过程中重心的高度是时间的二次函数，于是最大高度问题转化为求二次函数的最大值问题，而何时达到最高点问题，转化为二次函数取最大值时自变量的取值问题.
由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，当 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值
【想一想】
如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？
探究新知
【分析】
因此，运动员起跳后大约0.3s 时，其重心达到最高点，最大高度为 11.4 m．
探究新知
解：
一般地，当a>0(a<0)时，抛物线 y = ax2 + bx + c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x= 时，二次函数有最小（大）值 .
对于二次函数h= 4.9t2+2.8t+11，
当
时，h有最大值
探究新知
【想一想】函数h=－4.9t +2.8t+11的图象如图所示，直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员的整个运动过程吗？
【解析】运动员从11m高度起跳，先向上做减速运动,约0.3s后到达11.4m的最高点，随后向下做加速运动，约1.8s后落入水中，整个过程的重心高度变化呈现先增后减的抛物线形态.
例 如图，利用一面墙（墙的长度不限)，用20m长的篱笆围成一个矩形菜园．如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？
问题1 矩形面积公式是什么？
问题2 若设垂直于墙的边长为xm,如何用x表示另一边？
问题3 面积S的函数解析式是什么？
利用二次函数求几何图形的面积的最值
素养考点
探究新知
设垂直于墙的边长为xm,则平行于墙的边长为（20－2x）m，
矩形菜园的面积S=x(20－2x)，
x
20－2x
解：
即S=－2x2+20x
(0探究新知
当 时，
S有最大值
因此，当垂直于墙的边长为5m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为50m .
在实际问题中，函数自变量的取值应使问题有现实意义.如菜园的边长应为正数，即x＞0，且20-2x＞0.
方法点拨
利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点：
1.根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数解析式；
2.确定自变量的取值范围；
3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图；
4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值.
探究新知
x
20－2x
变式 如图，利用一面墙（墙的长度为8m)，用20m长的篱笆围成一个矩形菜园．如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？
问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？
问题3 面积S的函数解析式是什么？
问题1 变式与例题有什么不同？
S＝x(20－2x)=－2x2+20x.
设垂直于墙的边长为x米.
探究新知
问题4 如何求解自变量x的取值范围？墙长8m对此题有什么作用？
问题5 如何求最值？
由于5＜6，因此只能利用函数的增减性求其最值.
即当x=6m时，S有最大值，
最大值为S=-2×62+20×6=48（m2）.
探究新知
即6≤x＜10.
x＞0，
20－2x＞0，
20－2x≤8，
方法点拨
实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围进行分析.通过例题和变式，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.
探究新知
已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？
巩固练习
解：∵直角三角形两直角边之和为8,设一边长x,
∴ 另一边长为8-x.
则该直角三角形面积为
即
当
S有最大值 ＝
∴当 时，直角三角形面积最大，最大值为8.
S=（8-x）x÷2,
x= =4,另一边为4时,
8,
两直角边都是4
（四川巴中中考）如图,计划用长为40m2的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长25m).
(1)矩形围栏的面积为150m 时，三边分别长多少？
解：设垂直于墙的一边长xm.
根据题意，得x（40-2x）=150.
解得x1=5,x2=15.
当x=5时,40-2x=30>25（不符合题意，舍去）；
当x=15时,40-2x=10<25（符合题意）.
∴三边长分别为10m,15m,15m.
链接中考
（四川巴中中考）如图,计划用长为40m2的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长25m).
(2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少m
解：设设矩形围栏的面积为Sm .
根据题意,得S=x（40-2x）=-2（x-10) +200
当x=10时,S有最大值，S最大值=200；
当x=10时，40-2x=20<25（符合题意）.
∴三边长分别为20m,10m,10m.
链接中考
1. 用一段长为15m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，这个矩形菜园的最大面积是________.
基础巩固题
课堂检测
2.如图1，在△ABC中， ∠B=90°,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过 秒，四边形APQC的面积最小.
3
A
B
C
P
Q
图1
课堂检测
1. 如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？
解：令AB长为1，设DH=x，正方形EFGH的面
积为y，则DG=1-x.
即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小.
能力提升题
课堂检测
当x= 时，y有最小值 .
∴
2. 某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为40m的栅栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym ．
(1)求y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围.
课堂检测
解：
即
(2)当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
课堂检测
解：
∵0＜x＜25，
∴当x=20时，满足条件的绿化带面积y最大值=200.
某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).
(1)写出S与x之间的解析式，并写出自变量x的取值范围；
解：(1)设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),
S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6.
拓广探索题
课堂检测
(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;
当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.
这时设计费最多，为9×1000=9000（元）.
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
课堂检测
解：
几何面积最值问题
一个关键
一个注意
建立函数解析式
常见几何图形的面积公式
依 据
最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定
课堂小结
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
课后作业(共33张PPT)
人教版 九年级 数学（上）
第二十六章 二次函数
26.4 实际问题与二次函数
（第2课时）
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.如繁华的商业城中很多人在买卖东西。
【思考】如果你去买商品，你会选哪一家店呢？如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
导入新知
素养目标
2. 弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.
1. 能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元.
18000
6000
（1）销售额= 售价×销售量;
（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量;
（3）单件利润=售价-进价.
探究新知
利润问题中的数量关系
知识点
【数量关系】
例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？
如何定价利润最大
素养考点 1
探究新知
涨价销售
①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售
涨价销售
20
300
20+x
300-10x
y=(20+x)(300-10x)
建立函数解析式：y=(20+x)(300-10x),
即y=-10x2+100x+6000.
6000
探究新知
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30，x为整数.
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+100x+6000，
当 时,y=-10×52+100×5+6000=6250.
即定价65元时，最大利润是6250元.
探究新知
探究新知
例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？
降价销售
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售
降价销售
20
300
20-x
300+20x
y=(20-x)(300+20x)
建立函数解析式：y=(20-x)(300+20x)，
即y=-20x2+100x+6000.
6000
探究新知
即定价57.5元时，最大利润是6125.
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20.
③降价多少元时，利润最大，是多少？
当 时,
即：y=-20x2+100x+6000，
由涨价销售和降价销售的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗
探究新知
综合可知，应定价65元时，才能使利润最大.
例2 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？
①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空：
单件利润（元） 销售量（件） 每月利润（元）
正常销售
涨价销售
10
180
10+x
180-10x
y=(10+x)(180-10x)
1800
建立函数解析式：y=(10+x)(180-10x),
即y=-10x2+80x+1800.
探究新知
营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故180-10x ≥0，因此自变量的取值范围是x ≤18.
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+80x+1800=-10(x-4)2+1960.
当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960元.
答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最
大利润1960元.
②自变量x的取值范围如何确定？
探究新知
方法点拨
求解最大利润问题的一般步骤
（1）建立利润与价格之间的函数解析式：
运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”
（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；
（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：
可以利用配方法或公式法求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
探究新知
某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润
解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则
y=(x+30-20)(400-20x)
=-20x2+200x+4000
=-20(x-5)2+4500.
∴当x=5时，y最大 =4500 .
答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元.
巩固练习
例3 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.
（1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？
解：由题意，得当40≤x≤50时，
Q = 60(x－30)= 60x－1800.
∵ y = 60 > 0，Q随x的增大而增大，
∴当x最大= 50时，Q最大= 1200.
答：此时每月的总利润最多是1200元.
限定取值范围中如何确定最大利润
素养考点 2
探究新知
（2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？
解：当50≤x≤70时，
设y与x函数解析式为y=kx+b,
∵线段过点(50，60)和(70，20).
50k+b=60,
70k+b=20,
∴
∴ y =－2x +160（50≤x≤70）.
解得
k =－2,
b = 160.
探究新知
∴Q=(x－30)y
=(x－30)(－2x + 160)
=－2x2 + 220x－ 4800
=－2(x－55)2 +1250 (50≤x≤70).
∵a = －2＜0，图象开口向下，
∴当x = 55时，Q最大= 1250.
∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大，
最大利润是1250元.
探究新知
解：∵当40≤x≤50时， Q最大= 1200＜1218.
当50≤x≤70时， Q最大= 1250＞1218.
∴售价x应在50~70元之间.
因此令－2(x－55)2 +1250=1218,
解得：x1=51，x2=59.
当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160= 58(件),
当x2=59时，y2=－2x+160= －2×59+160= 42(件).
∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为 51 元或59元，当月的销售量分别为58件或42件.
（3）若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？
探究新知
变式：(1)若该商品售价在40～70元之间变化，根据例题的分析、解答，直接写出每月总利润Q与售价x的函数解析式；并说明，当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？
解：Q与x的函数解析式为：
60x－1800 , （40≤x≤50 ）
－2(x－55)2 + 1250. （50≤x≤70）
Q =
由例3可知：
若40≤x≤50， 则当x=50时，Q最大= 1200,
若50≤x≤70， 则当x=55时，Q最大= 1250.
∵1200＜1250
∴售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.
探究新知
（2）若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试确定该商品的售价x的取值范围；
解：①当40≤x≤50时，∵Q最大= 1200＜1218，
∴此情况不存在.
60x－1800 , （40≤x≤50 ）
－2(x－55)2 + 1250. （50≤x≤70）
Q =
探究新知
②当50≤x≤70时， Q最大= 1250>1218，
令Q = 1218，得－2(x－55)2 +1250=1218.
解得x1=51，x2=59.
由Q = －2(x－55)2 +1250的图象和性质可知:
当51≤x≤59时，Q≥1218.
因此若该商品所获利润不低于1218元，
则售价x的取值范围为51≤x≤59.
x
Q
0
55
1218
59
51
1250
（3）在（2）的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款不低于1620元，则售价x为多少元时，利润最大，最大利润是多少元？
解：由题意，得
51≤x≤59,
30 (－2 x +160)≥1620.
解得51≤x≤53.
∵Q=－2(x－55)2 +1250的顶点
不在51≤x≤53范围内，
又∵a =－2＜0，
∴当51≤x≤53时 ，Q随x的增大而增大.
∴当x最大 = 53时，Q最大= 1242.
∴此时售价x应定为53元，利润最大，最大利润是1242元.
x
Q
o
55
1242
53
51
探究新知
某商店购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个，据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个.
(1)假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是_______元，这种篮球每月的销售量是 个(用x的代数式表示) .
(2)8000元是否为每月销售篮球的最大利润
如果是，说明理由，如果不是，请求出最大月利润,此时篮球的售价应定为多少元
（x+10）
（500 10x）
8000元不是每月最大利润，最大月利润为9000元，此时篮球的售价为70元.
巩固练习
(黑龙江大庆中考) 为推进我市 “红色研学” 文化旅游发展，大庆博物馆新推出 A，B 两种文创纪念品.已知 2 个 A 纪念品和 3 个 B 纪念品的成本之和是 155 元；4 个 A 纪念品和 1 个 B 纪念品的成本之和是 135 元.一套纪念品由一个 A 纪念品和一个 B 纪念品组成.规定：每套纪念品的售价不低于 65 元且不高于 72 元（每套售价为整数）.如果每套纪念品的售价为 72 元，那么每天可销售 80 套.经调查发现，每套纪念品的售价每降价 1 元，其销售量相应增加 10 套.设每天的利润为 W（元），每套纪念品的售价为 a 元（65≤a≤72 且 a 为整数）.
链接中考
(1) 分别求出每个 A 纪念品和每个 B 纪念品的成本；
解： 设每个 A 纪念品的成本为 x 元，每个 B 纪念品的成本为 y 元.
链接中考
答：每个 A 纪念品的成本为 25 元，每个 B 纪念品的成本为 35 元.
由题意，得
2x+3y=155,
4x+y=135,
解得
x=25,
y=35.
(2) 求当 a 为何值时，每天的利润 W 最大.
解：由题意，得
W =[a (25+35)][80+10(72 a)]= 10a2+1 400a 48000.
链接中考
∵ 10<0，对称轴为直线 .
又∵65≤a≤72 且 a 为整数，
∴ 当 a=70 时，W 取最大值.
1. 某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20 ≤x ≤30)出售，可卖出（300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定为 元.
25
课堂检测
基础巩固题
2. 进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数解析式为 .每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数解析式为 .(以上解析式只列式不化简）.
y=2000-5(x-100)
w=[2000-5(x-100)](x-80)
课堂检测
一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？
课堂检测
能力提升题
w=[12+2(x－1)][80－4(x－1)]
=(10+2x)(84－4x)
=－8x2+128x+840
=－8(x－8)2+1352.
解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，
则
当x=8时，w有最大值，且w最大=1352.
答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大，最大利润为1352元.
课堂检测
x
y
5
16
O
7
某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax +bx-75.其图象如图.
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
解：由图可以看出：二次函数y=ax+bx-75过点（5,0），（7,16）,
将两点坐标代入解析式即可求得：
(1)y=-x2+20x-75，即y=-（x-10）2+25.
∵-1<0,对称轴x=10,
∴当x=10时，y值最大，最大值为25.
即销售单价定为10元时，销售利润最大，为25元.
课堂检测
拓广探索题
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
(2)显然，当y=16时，x=7和13.
因为函数y=-x+20x-75图象的对称轴为x=10，
因此，点（7,16）关于对称轴的对称点为（13,16）,
故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元.
课堂检测
解：
最大利润问题
建立函数解析式
总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本
确定自变量取值范围
涨价:要保证销售量≥0；
降件:要保证单件利润≥0
确定最大利润
利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出
课堂小结
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
课后作业(共32张PPT)
人教版 九年级 数学（上）
第二十六章 二次函数
26.4 实际问题与二次函数
（第3课时）
导入新知
如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型.
x
y
x
y
x
y
（1）y=ax2
（2）y=ax2+k
（3）y=a(x-h)2+k
（4）y=ax2+bx+c
O
O
O
导入新知
3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．
1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．
2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．
素养目标
如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，当拱顶离水面4m时，水面宽10m.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？
探究新知
建立平面直角坐标系解答抛物线形问题
知识点
建立函数模型.
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数.
你能想出办法来吗？
探究新知
【合作探究】
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？
由于顶点坐标系是（0，0），因此这个二次函数的形式为
探究新知
如何确定a是多少？
已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A（5，-4）在抛物线上，由此得出 ,
解得
探究新知
A
-4=a×52
因此， ，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．
水面宽8m时, 从而
因此拱顶离水面高2.56m.
现在你能求出水面宽8米时，拱顶离水面高多少米吗？
探究新知
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际问题
建立二次函数模型
利用二次函数的图象和性质求解
实际问题的解
探究新知
建立二次函数模型解决实际问题
例1 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4m时，水面宽10m，突降暴雨后水面下降1m时，此时水面为多少？
建立坐标系解答生活中的抛物线形问题
素养考点 1
探究新知
解法一: 如图所示以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.
∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=ax2.
当拱桥离水面4m时,水面宽10m，
即抛物线过点(5,-4),
当水面上升1m时,水面的纵坐标为－3,这时有
因此当水面上升1m时,水面宽度为5 m.
探究新知
∴-4=a×52,∴a= .
∴这条抛物线所对应的二次函数为y= .
, 解得x= 这时水面宽度为5 m,
因此可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:y=ax +4.
解法二: 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.
此时,抛物线的顶点为(0,4).
当拱桥离水面4m时,水面宽10m,
探究新知
y
x
o
∴这条抛物线所对应的二次函数为 .
当水面上升1m时,水面的纵坐标为1,这时有
因此当水面上升1m时,水面宽度为5 m.
, 解得x= 这时水面宽度为5 m,
0=a×52+4，a= .
即抛物线过点(5,0),
因此可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=a(x-5) +4.
解法三:如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.
此时,抛物线的顶点为(5,4).
探究新知
y
x
o
当水面上升1m时,水面的纵坐标为1,这时有
因此当水面上升1m时,水面宽度为5 m.
∴这条抛物线所对应的二次函数为 .
, 解得x= 这时水面宽度为5 m,
∵抛物线过点(0,0),∴0=a×(-5) +4.∴a= .
1.理解问题;
回顾 “最大利润”和 “桥梁建筑”解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流.
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系；
3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.做数学求解;
5.检验结果的合理性.
【思考】“二次函数应用”的思路
探究新知
有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20m，拱顶距离水面 4 m．如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式.
O
A
C
D
B
y
x
20 m
h
解：设该拱桥形成的抛物线的解析式为y=ax2.
∵该抛物线过(10,-4),
∴-4=100a，a=-0.04.
∴y=-0.04x2 .
巩固练习
利用二次函数解决运动中抛物线形问题
素养考点 2
探究新知
例2 如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？
探究新知
2.5m
4m
3.5m
3.05m
解：如图，建立直角坐标系.
则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度
时的位置为B（0，3.5）.
以点C表示运动员投篮球的出手处.
x
y
O
设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k ，
即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有
所以该抛物线的表达式为y=0.2x2+3.5.
当 x=2.5时，y=2.25 .
故该运动员出手时的高度为2.25m.
2.25a+k=3.05，
k=3.5，
探究新知
一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣ x2+ x+c，其图象如图所示．已知铅球落地时的水平距离为10m．
（1）求铅球出手时离地面的高度；
（2）在铅球行进过程中，当它离
地面的高度为m时，求此时铅球
的水平距离．
巩固练习
x
y
解：（1）根据题意，将（10，0）代入y＝﹣ x2+ x+c，
得﹣×102+ ×10+c＝0，
解得 c＝ ，
即铅球出手时离地面的高度 m；
（2）将y＝ 代入﹣ x2+ x+ ＝ , ，
整理，得 x2﹣8x﹣9＝0，
解得 x1＝9，x2＝﹣1（舍），
∴此时铅球的水平距离为9m．
巩固练习
（新疆中考改编）天山胜利隧道已于2025年建成通车，它目前是世界上最长的高速公路隧道，不仅大大提升了区域交通效率，而且促进了经济发展.如图所示的是隧道截面图,其轮廓可近似看作是抛物线的一部分.若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系.
链接中考
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计).若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由.
解：（1）由题意，得顶点为（，8），即(6,8).
设抛物线的解析式为y=a(x 6)2+8(a≠0).
代入点(12,0)，得a(12 6)2+8=0，解得a= .
∴ 抛物线的解析式为 y= (x 6)2+8(0(2) 能安全通过，理由如下：
如图 ，由题意，得 xA = 3=2.
将 x=2 代入 y= (x 6)2+8，得y= × (2 6)2+8= .
∵ 3.5= ＞0.5，
∴ 能安全通过.
链接中考
1. 足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s后落地.
4
2. 如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为 ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米.
x
y
O
2
课堂检测
基础巩固题
3. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）
A.50m B.100m
C.160m D.200m
C
课堂检测
某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．
课堂检测
解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2 .
∵点B（6，﹣5.6）在抛物线的图象上，
∴﹣5.6=36a，
∴抛物线的表达式为
能力提升题
（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？
课堂检测
（2）设窗户上边所在直线交抛物线于C，D两点，D点坐标为（k，t），已知窗户高1.6m，
∴t=﹣5.6﹣（﹣1.6）=﹣4.
∴ ，解得k= ，
即k1≈5.07，k2≈﹣5.07 . ∴CD=5.07×2≈10.14（m）
设最多可安装n扇窗户，
∴1.5n+0.8（n﹣1）+0.8×2≤10.14，解得n≤4.06．
则最大的正整数为4．
答：最多可安装4扇窗户.
解：
悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m.
(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；
y
x
O
-450
450
课堂检测
拓广探索题
解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0,0.5），
对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y=ax2+0.5.
抛物线经过点（450,81.5），代入上式，得
81.5=a 4502+0.5.
解得
故所求表达式为
y
x
O
-450
450
课堂检测
(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长.
y
x
O
-450
450
解：当x=450100=350（m）时，得
当x=450﹣50=400（m）时，得
课堂检测
转化
回归
（二次函数的图象和性质）
拱桥问题
运动中的抛物线问题
（实物中的抛物线形问题）
建立恰当的直角坐标系
能够将实际距离准确的转化为点的坐标；
选择运算简便的方法
实际问题
数学模型
转化的关键
课堂小结
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
课后作业

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