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2026年北京市房山区九年级二模数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列几何体中三个视图完全相同的是（）
A. B. C. D.
2.如图，直线，被直线所截，，．若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
3.实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.年，我国规模以上互联网企业（上年互联网企业收入达到两千万元及以上）完成互联网业务收入约为亿元，其中京津冀地区规模以上互联网企业完成互联网业务收入占全国收入的，则年京津冀地区规模以上互联网企业完成互联网业务收入约为（ ）
A. 亿元 B. 亿元 C. 亿元 D. 亿元
5.先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则一次正面向上、一次反面向上的概率是（）
A. B. C. D.
6.若关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点．以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方交于点，连接交于点．若，，，则长为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，正方形中，点为边上一个动点，连接，以为对角线作正方形，连接，．
给出下面四个结论：
①；
②；
③；
④若，那么正方形的周长的最小值为．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
10.分解因式： ．
11.方程的解为 ．
12.某校九年级共有300名男生，为了解这些男生的肺活量分布情况，从中随机抽取了50名男生，测得他们的肺活量数据（单位：），并根据九年级男生体质健康标准整理如下：
等级 不及格 及格 良好 优秀
肺活量x
人数 2 8 16 24
根据以上信息，估计该校九年级300名男生中肺活量等级达到良好及以上的人数是 ．
13.在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则 （填“”“”或“”）．
14.如图，点、、、在上，．若，则 °．
15.如图，在等边中，点在边上，点，在边上，于点，交于点，．若，，，则 ．
16.某校举办“机器人武术动作编程”比赛，要求选手按固定顺序对组武术动作进行编程．每组动作按完成情况分为良好和优秀两个等级，可获得对应得分；若连续组及以上动作被评为优秀，则从该段连续优秀的第组动作开始（包含第二组动作），每一组动作还可获得表格中对应的额外加分．如：动作、、均评为优秀，则总得分为．
动作顺序及对应得分如下：
动作序号 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作
动作名称 抱拳礼起势 开步双劈 按掌前推 搂手勾踢 缠腕斩拳 闪身冲拳 弹踢穿顶 掼拳戳脚 闪身砍推收势
良好
优秀
额外加分 ——
小宇参加了此次比赛，若他在动作中未获得额外加分，在动作中被评为优秀但未获得额外加分，全程最多连续组动作评为优秀，且连续组动作评为优秀的情况仅出现次．则小宇在前组动作中的得分之和最高为 分，他参加此次比赛的总得分最高为 分．
三、计算题：本大题共2小题，共4分。
17.计算：．
18.解不等式组：
四、解答题：本题共10小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题2分)
已知，且，求代数式的值．
20.(本小题7分)
如图，矩形，延长至点，使，延长至点，使，连接，，，，．
(1) 求证：四边形是菱形；
(2) 若，，求菱形的面积．
21.(本小题7分)
在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．
(1) 求，的值；
(2) 当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出的取值范围．
22.(本小题7分)
自年月日起，我国开始实施《公共机构电动汽车充电基础设施配置及运行指南》（以下简称“指南”），“指南”要求公共机构充电车位配建比例宜不低于整体车位的．为解决某社区停车难问题，社区居委会联合相关部门划定一块面积为的公共停车场，需规划普通车位和充电车位，每个车位面积包含实际停车使用面积和公共通道分摊面积，其中充电车位另含充电桩占地面积．已知平均每个普通车位占地面积为，平均每个充电车位占地面积为，普通车位数量比充电车位数量的倍多个．判断充电车位数量是否满足“指南”要求，并说明理由．
23.(本小题6分)
某校初三（1）班的体育教师计划从甲、乙、丙、丁四名男同学中选出一名同学参加校级立定跳远比赛．对这四名同学最近次立定跳远测试成绩（单位：）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
．甲、乙两名同学次测试成绩的折线图：
．丙同学次测试成绩：
228 238 240 244 250 250 252 253 256 259
．四名同学次测试成绩的平均数、中位数、方差、优秀（成绩）次数：
甲 乙 丙 丁
平均数
中位数
方差
优秀次数
(1) 表中的值为 ；
(2) 表中 （填“＞”“”或“＜”）；
(3) 根据这次测试成绩，制定选拔规则：首先比较优秀次数，优秀次数较多者实力更强；若优秀次数相等，则比较中位数，中位数较大者实力更强．
①这四名同学中胜出的是 ；
②由于甲的第次测试发挥失常，若甲想在这次选拔中胜出，则甲的第次测试成绩至少应该达到 （结果取整数）；此时，甲同学的次测试成绩的统计量会发生变化的有 （填“平均数”“众数”或“方差”）．
24.(本小题7分)
如图，点为上一点，过点作的切线交半径的延长线于点，过点作于点，交于点，连接．
(1) 求证：；
(2) 过点作交于点，连接交于点．若，，求线段的长．
25.(本小题7分)
某款智能手机支持普通充电和快速充电两种模式，且手机具有智能匹配充电器的功能：当检测到不同规格的充电器接入时，自动切换至对应充电模式．小海分别记录了两种充电模式下充电时间（单位：）时的手机电量（单位：），通过分析数据，可以认为是的函数．普通充电时，将电量为的手机充电到，大约需要，手机电量与充电时间的函数关系可以近似看作正比例函数（）．如图所示：

快速充电时，手机电量与充电时间的部分数据如下：
0 5 10 15 20 25 30 35 40
根据以上信息解决下列问题．
(1) 在普通充电模式下，将电量为的手机充电到需要 ；
(2) 在给出的平面直角坐标系中，画出的函数图象；若分别用两种充电模式充电（手机起始电量均为），则两种充电模式下的充电电量相差约为 （精确到个位）；
(3) 小海的手机目前剩余电量为．
①若用普通充电模式给手机充电，则经过 后，电量可以达到；
②若先用普通充电模式充电，再立即改用快速充电模式充电，则切换后至少经过 （精确到个位），电量可以达到．
26.(本小题7分)
在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且经过点．
(1) 求抛物线的表达式；
(2) 过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，点与点不重合．当时，对于任意一个值，总有另一个与之不相等的值，使得对应的线段长度相等，求的值．
27.(本小题7分)
在中，，，点在射线上，为的中点．连接，将射线绕点逆时针旋转得到射线．
(1) 如图，点与点重合，射线与边交于点，连接．求证：；
(2) 如图，点在的延长线上，过点作于点，连接．用等式表示与的数量关系，并证明．
28.(本小题7分)
在平面直角坐标系中，对于和外一点给出如下定义：在上任取两个不同的点，，连接，，当的大小取得最大值时，连接，相交于点，则称点是点关于的弦分点．
(1) 如图，的半径为．
①若点坐标为，则的最大值为 ，此时在点，，中，点 是点关于的弦分点；
②若点在直线上，点是点关于的弦分点，则长的最大值为 ；
(2) 已知的半径为，点，，，正方形以原点为中心．若在正方形的边上存在一点，使得点关于的弦分点在线段上，直接写出的取值范围．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】240
13.【答案】
14.【答案】20
15.【答案】 /
16.【答案】

17.【答案】解：原式．
18.【答案】解：
解不等式，得，
解不等式，得，
则不等式组的解集为．

19.【答案】解：
，
．
原式．

20.【答案】【小题1】
证明：∵在矩形中，，
∴利用勾股定理有：，，，，
∵，，
∴，即，
∴四边形是菱形；
【小题2】
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵在矩形中，，，
∴，，
∴在中，，
∴，解得：（负值舍去），
∴，
∴，，
∴．

21.【答案】【小题1】
解：点在函数的图象上，
，
交点为，
，
；
【小题2】
解：，
，
把代入，得，
把代入，得，
把代入，得，
当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，
由图可知，当时，函数的值要满足，且函数的比例系数m要满足，
解得且，
则．

22.【答案】解：满足，理由如下：
设充电车位的数量为x个，普通车位的数量为个，
则，
解得，
则，
所以车位的总数为．
∵且，
∴充电车位数量满足“指南”要求．

23.【答案】【小题1】

【小题2】

【小题3】
乙同学

平均数、方差

24.【答案】【小题1】
证明：连接，
∵与相切，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，即；
【小题2】
解：连接，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
∴为的直径，
∴过圆心点O，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
解得：（舍去），
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
同理证明：，
∴，即，
∴，
∴．

25.【答案】【小题1】

【小题2】
普通充电模式时，当时，，
快速充电模式时，当时，，
即二者相差为：；
【小题3】



26.【答案】【小题1】
解：由题意得，，
解得，
∴抛物线的表达式为．
【小题2】
解：由题意可得，，，
∴，
设，对称轴为，
∵当时，对于任意一个值，总有另一个与之不相等的值，使得对应的线段长度相等，
∴对任意一个的值在中，都有两个不同的与之对应，如图，
∴当和时，相等，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
解得，
∵，
∴．

27.【答案】【小题1】
证明：∵在中，，（点与点重合），
∴，
根据旋转有：，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∵为的中点，（点与点重合），
∴．
【小题2】
解：，证明如下：
取的中点M，连接、、，如图，
根据旋转有：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点M为的中点，
∴在中，，
同理有：，
∴，
设，即，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵点为的中点．点为的中点．，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴．

28.【答案】【小题1】
60


【小题2】
解：设直线的解析式为：，
∵点，，
∴，，
∴，即直线的解析式为：，
∵点A关于的弦分点（记为M点）在线段上，
∴设点，即，且，
∴，
根据（1）的方法同理可得：，
∵的半径为，
∴，
∵，
∴当时，取最大值，最大值为：，
即，
∴直线的解析式为：，
此时点A在直线上；
当或时，取最小值，最小为：，
即或者，
此时点A在坐标轴上，且点A的横坐标的最小值为：4，
根据图形的对称性，如图，
当从最小值向最大值的变化过程中，点A的横坐标最小值为4，且在其中间必有点A的横坐标取最大值的位置点，
此时点M在线段上，不含端点，即，且，
∵，
根据待定系数法可得直线的解析式为：，
∵点A在射线上，
∴设，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当且仅当，即时，点A的横坐标取最大值，最大值为：；
综上有：，
∵要保证点在正方形的边上，，
∴，
∵正方形，
∴点P移动至其正方形对角顶点的位置同样满足条件，此时，
综上有：或．

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