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2025-2026学年四川省资阳市安岳中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知函数f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　）
A. f（x）在区间（x1，x3）上单调递减 B. f（x）在x=x5处取得极大值
C. f'（x）在区间（x3，x4）上单调递减 D. f'（x）在x=x6处取得极小值
2.已知{an}为正项等比数列，若a1a9=81，则log3（a4a6）=（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3..集合A={2，3}，B={1，2，4}，从A，B中各任意取一个数，构成一个点的坐标，则所有点的个数为（　　）
A. 11 B. 12 C. 8 D. 6
4.已知数列{an}满足，则a2026=（　　）
A. 1 B. 5 C. D.
5.若直线y=tx-2（t∈R）是曲线y=lnx与曲线y=ex-b（b∈R）的公切线，则b=（　　）
A. 1 B. 2 C. e D.
6.若函数f（x）=在定义域上恰有三个零点，则实数a的取值范围是（　　）
A. 0＜a＜ B. a＜ C. a＜0或a＞ D. a≤
7.已知函数f（x）=-ax2，x∈（0，+∞），当x2＞x1时，不等式-＜0恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A. （-∞，] B. （-∞，） C. ．（-） D. ．（-∞，]
8.已知数列{an}的前n项和，设bn=，Tn为数列{bn}的前n项和.若对任意的n∈N*，不等式λTn＜12n+4恒成立，则实数λ的取值范围为（　　）
A. （-∞，64） B. （-∞，48） C. （-∞，32） D. （16，+∞）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.A，B，C，D，E五个人并排站在一起，下列说法正确的是（　　）
A. 若A，B不相邻，有72种排法 B. 若A，B不相邻，有48种排法
C. 若A，B相邻，有48种排法 D. 若A，B相邻，有24种排法
10.设数列{an}的前n项和为Sn，满足.则下列说法中正确的是（　　）
A. a5=32
B. S4=62
C. {Sn+2}是等比数列
D. 若，数列前n项和Tn，则Tn＜1
11.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=e-x（x-1）.则下列结论正确的是（　　）
A. 函数f（x）有三个零点
B. 当x＜0时，f（x）=-ex（x+1）
C. x1，x2∈R，都有|f（x1）-f（x2）|max＜2
D. 若方程f（x）=m有三个解，则实数m的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在数列{an}中，a3=3，an+1-an=2（n为正整数），则a9= .
13.用数字0，1，2，3，4可组成______个无重复数字的三位偶数．
14.已知函数有两个极值点，则a的最小整数值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=x3-3x2-9x+1（x∈R）.
（1）求函数f（x）的单调区间和极值.
（2）若2a-1≤f（x）对 x∈[-2，4]恒成立，求实数a的取值范围.
16.(本小题15分)
已知数列{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，且S5=15，a1，a3，a9成等比数列.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，数列{cn}的前n项和为Hn，求证：
17.(本小题15分)
已知函数f（x）=ax2-lnx，a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间[1，e]上的最小值为1，求a的值．
18.(本小题17分)
已知数列{an}的首项，且满足.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）记，求数列{bn}的前n项的和Sn；
（3）若，求满足条件的最大整数n.
19.(本小题17分)
已知函数，其中a∈R.
（1）当a=1时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）若f（x）在（0，2）上存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），求|f（x2）-f（x1）|的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】AC
10.【答案】ACD
11.【答案】AC
12.【答案】15．
13.【答案】30
14.【答案】3．
15.【答案】解：（1）因为f（x）=x3-3x2-9x+1（x∈R），
则f'（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3），
合f′（x）=0，可得x=-1或x=3，列表如下：
x （-∞，-1） -1 （-1，3） 3 （3，+∞）
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） 增 极大值 减 极小值 增
所以，函数 f（x）的增区间为（-∞，-1）、（3，+∞），减区间为（-1，3），
函数f（x）的极大值为f（-1）=-1-3+9+1=6，极小值为f（3）=27-27-27+1=-26．
（2）由（1）可知，函数f（x）在区间[-2，-1]上单调递增，在[-1，3]上单调递减，在[3，4]上单调递增，
且 f（-2）=-8-12+18+1=-1，故当x∈[-2，4]时，f（x）min=min{f（-2），f（3）}=f（3）=-26，
因为2a-1≤f（x），对 x∈[-2，4]恒成立，则2a-1≤f（x）min=-26，解得，
因此，实数a的取值范围是．
16.【答案】an=n 由（1）得an=n，所以，
所以
=
17.【答案】解：（1）因为f′（x）=ax-=（x＞0），
所以易得，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，f（x）在（0，）上是单调递减，在（，+∞）上是单调递增．
（2）①当a≤0时，在x∈[1，e]上，f′（x）＜0恒成立，所以f（x）是单调递减函数，
所以f（x）min=f（e）= a-1，令f（x）min=1，解得：a=（与a≤0矛盾，舍去）．
②当a＞0时，可以通过对“动点”与“定区间”位置关系的讨论完成解题：
（ⅰ）当≤1，即a≥1时，则[1，e] （，+∞），所以f（x）在区间[1，e]上单调递增，
于是有f（x）min=f（1）=a，令f（x）min=1，得a=2（符合a≥1的要求）；
（ⅱ）当1＜＜e，即＜a＜1时，因为[1，） （0，），（，e] （，+∞），
所以f（x）在区间[1，）单调递减，在区间（，e]单调递增，
于是有f（x）min=f（）=+，令f（x）min=1，得a=e（与＜a＜1矛盾，舍去）；
（ⅲ）当≥e，即0＜a≤时，因为[1，e] （0，），
所以f（x）在[1，e]上单调递减，
于是f（x）min=f（e）= a-1，
令f（x）min=1，得a=（与0＜a≤矛盾，舍去）．
综上可知：a=2．
18.【答案】因为，
所以两边同时取倒数得：，
所以，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列 2025
19.【答案】x-y-1=0 （-∞，2]
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