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2025-2026学年湖南省邵阳市邵东三中高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.=（　　）
A. 126 B. 84 C. 70 D. 56
2.已知P（A）=0.6，P（B|A）=0.4，则P（A∩B）=（　　）
A. 0.24 B. 0.4 C. 0.6 D. 1.0
3.的展开式中常数项为（　　）
A. B. 160 C. D. -160
4.从5名学生中选择4人对A，B两种不同算法的加密文件进行破译，每人选择一种文件，每个文件2人破译，则不同的人员安排共有（　　）
A. 30种 B. 48种 C. 60种 D. 72种
5.设随机变量X B（2，p），Y B（4，p），若，则D（Y）=（　　）
A. B. C. D.
6.某知识过关题库中有A、B、C三种难度的题目数分别为300、200、100，其中小明完成A、B、C型题目的正确率分别为，小明从该题库中任选一道题完成，做对的概率为（　　）
A. B. C. D.
7.现有10个样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x10，y10），可得经验回归方程为，且，若去掉一个数据点（1，13）后，可以得到新的经验回归方程为，则实数的值为（　　）
A. 1 B. C. D. 2
8.通信渠道中可传输的字符为AAAA，BBBB，CCCC三者之一，传输三者的概率分别为0.3，0.4，0.3.由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为0.6，收到其他字符的概率为0.2，假定字符前后是否被歪曲互不影响.若收到的字符为ABCA，则传输的字符是AAAA的概率为（　　）
A. 0.4556 B. 0.3689 C. 0.9872 D. 0.5625
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.以下说法正确的是（　　）
A. 决定系数R2越小，模型的拟合效果越差
B. 数据1，2，4，5，6，8，9的60百分位数为5
C. 若，则D（2X+1）=8
D. 有一组不全相等的样本数据x1，x2， ，x11，它的平均数和中位数都是5，若去掉其中的一个数据5，则方差变大
10.已知事件A，B满足，，，则（　　）
A. B. C. D.
11.现有6个小球和4个盒子，下面的结论正确的是（　　）
A. 若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有40种
B. 若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有360种放法
C. 若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有2160种
D. 若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有384种
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量X的分布列如下表，则D（X）= .
X 0 2 4
P
13.已知，若a3=40，则b= .
14.杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数（n∈N*，r∈N*且r≤n+1），在三角形中的一种几何排列，南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.求下列事件的概率.
（1）质点回到原点；
（2）质点位于4的位置.
16.(本小题15分)
已知且满足各项的二项式系数之和为256.
（1）求a3的值；
（2）求的值.
17.(本小题15分)
近期，我国国产AI大模型深度求索（DeepSeek）在人工智能领域取得了重大技术突破，为AI行业的发展提供了新的可能性.为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某市需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，采用简单随机抽样的方法抽取1000名学生，利用DeepSeek整理得到表格数据：
单位：人
性别 锻炼
不经常 经常
女生 50 350
男生 200 400
（1）根据以上数据，依据小概率值α=0.001的χ2独立性检验，能否据此推断该市女生和男生在体育锻炼的经常性方面存在差异？
（2）从这600名男生中按锻炼的经常性等比例分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人（不放回）调查其锻炼的情况，用X表示这2人中经常锻炼的人数，求X的分布列及数学期望.
附：，其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18.(本小题17分)
为了测试AI象棋软件算法的有效性，棋协组织两位象棋大师甲、乙分别与AI象棋软件进行比赛.比赛规则如下：在一局比赛中，甲、乙两位象棋大师分别与AI象棋软件进行一盘比赛，每盘比赛获胜得1分，否则得0分（每盘棋都分胜负、没有平局），每盘棋比赛结果互不影响，各局之间的结果也互不影响.已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为，.
（1）设前两局比赛中，两位象棋大师一共得3分为事件M，象棋大师甲得2分为事件N，求P（N|M）；
（2）由于AI象棋软件受运行时长和散热影响，本次比赛最多进行6局，且当两位象棋大师的总得分与AI象棋软件的得分相差2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了X局，求X的分布列及数学期望.
19.(本小题17分)
一项物理实验是向区域Ω中发射某种粒子，该粒子随机落于Ω中的任何位置，且任意粒子落于何处互不影响.当某个粒子落于Ω中特定区域A内时，则需对其进行检测，已知每个粒子落于A内的概率均为是自然对数的底）.
（1）若一次向Ω中发射3个粒子，求恰有2个粒子需要检测的概率；
（2）若向Ω中发射该粒子，每次一个，只要有粒子落于A内，就停止发射.X表示粒子首次落于A内的发射次数，P（X=i）表示第i次发射时粒子首次落于A内的概率，若，求m的最小值；（参考数据：ln10≈2.303）
（3）若一次向Ω中发射n（n∈N*）个粒子，X表示落于A内的粒子个数，P（X=i）表示有i个粒子落于A内的概率，求证：.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】ACD
10.【答案】ACD
11.【答案】AC
12.【答案】．
13.【答案】±2
14.【答案】190
15.【答案】解：设质点向右移动的次数为X，又质点每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，
共移动6次，且每次移动是相互独立，则，
（1）质点回到原点，则X=3，
，
所以质点回到原点的概率是；
（2）当质点位于4的位置时，则X=5，
，
所以质点位于4的位置的概率是．
16.【答案】解：（1）因为各项的二项式系数之和为256，所以2n=256，所以n=8，
二项式展开式的通项为，
所以；
（2）令x=0，得a0=1，
令，得，
所以．
17.【答案】有差异；
分布列见解析，．
18.【答案】
X 1 2 3 4 5 6
P

19.【答案】解：（1）设事件M为：“向区域Ω中发射3个粒子，恰有2个落在A中”．
则事件M的概率为；
（2）由题意可知，，i=1，2，…，m,
则P（X=k）=P（X=1）+P（x=2）+…+P（X=m）
=，
若，则，所以em＞103，解得：m＞3ln10≈6.909，所以m的最小值为7；
（3）证明：由题意可知由题意可知X～，
可得
=（n+1）P（X=0）+nP（X=1）+（n-1）P（X=2）…+P（X=n），
因为E（X）=0×P（X=0）+1×P（X=1）+2×P（X=2）+…+n×P（X=n），且．
所以E（X）+=+[（n+1）P（X=0）+nP（X=1）+…+P（X=n）]
=（n+1）[P（x=0）+P（x=1）+…+P（X=n）]=n+1，
所以=（x+1）-E（x）-P（x≤0）=（n+1）-E（x）-P（x=0）=．
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