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梧州市 2025-2026 学年度初中学业水平考试第二次模拟测试
数学参考答案与评分标准
一、选择题（本大题共 12小题，每小题 3分，共 36分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D A C B A B D B D B C
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3分，共 12分）
2
（2，-5） 14. 7 15. 3 16. 1.6
13.
三、解答题
1
17.(1)解：原式= 4 +1.......2 分
4
=1+1 ........3分
=2 .........4分
18.解（1） 0.2 50 频数分布直方图补充如图所示................6 分
（2） C ................................8分
（3）解： 1200 （1 0.16 0.2) = 456 （名）
答：估计该校学生一周参与社团活动的时间不少于 3.5 h的
学生人数约为 456人 ........................10分
19. 解：(1)设每辆舒适型客车载客量为 x 人，每辆大容量巴士载客量为（x+15)人，依题意得：
900 900
=x x + 1 5
5 ................................2 分
解得： x1 = 45， x2 = 60（不合题意，舍去） .........3分
经检验， x1 = 45 是原方程的解且符合题意，此时. .........4分
则每辆大容量巴士载客量为： x +15 = 45 +15 = 60 .........5分
答：每辆大容量巴士的载客量为 60人，,每辆舒适型客车的载客量为 45人
（2）设舒适型客车 m 辆，则大容量巴士为（18-m），单日总租赁费用为 w 元，则：
2m 18 m .........6分
解之得：m 6 .........7分
又有：w= 2000m+3000(18 m) .........8分
= 1000 m + 54000
1
{#{QQABBQQAggigABAAABgCEQWQCgOYkgECCAgGwEAUIAIAiRFABAA=}#}
∵ k = 1000 0
∴ w 随 m 的增大而减小，
当m = 6 时， w最小 = 1000 6+54000= 48000（元） .........9分
答：当租用舒适型客车 6 辆，大容量巴士 12 辆时，租车单日费用最低，
最低费用为 48000 元 ..................10 分
20.证明：（1） ∵ 四边形 ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABP=∠CBP=45 .........................1分
在△ABP和△CBP中
AB =CB

∴ ABP = CBP

B P = B P ............4 分
∴ △ A B P 全 等 三 角 形△CBP (SAS) ......................5分
（2）证明：由（1）得△ABP≌△CB P；
∴PA=PC ...........................6 分
∵PE=PC
∴PE=PA，...........................7分
又∵AP⊥PE
∴∠APE=90°
∴∠PEA=∠PAE=45 ..........................8分
又∵ ∠EPF=∠BPE（ 公 共 角 ） ，
∴ △PEF∽△PBE ..........................9分
∴ 2 PE = PF PB
∴ P E P B ................10分
=
PF PE
21.证明：（1）连接 ，.............1分
是⊙O 的两条切线，
∠1 = ∠2 . ...............2分
,
CD = CB . ........................3分
，
.. ...........4分
2
{#{QQABBQQAggigABAAABgCEQWQCgOYkgECCAgGwEAUIAIAiRFABAA=}#}
四边形 是菱形. ........................5分
解：（2） ， ，
. ................6 分
= ............7分
四边形 是菱形
， ，
AB =BE，
是 的中位线. ...............8 分
,
BD= ..................9 分
. ...........10 分
22.解：（1）如图，过点 C作 CE⊥AB，并反向延长交地面 DH于点 D,过点 A作 AH⊥DH于点 H ...1分
在 Rt△ACE中，sin∠CAE= CE ................2分
AC
∵AC=2.4米，∠CAE=30°
CE
∴sin30°= ................3分
2.4
∴CE=2.4·sin30°=2.4×0.5=1.2（米） ................4分
又易得四边形 EDHA为矩形
∴DE＝OH＝1.6米 .................................5分
∴C端到地面高度： C D =DE-CE=1.6-1.2=0.4（米）
答：长棍的 C端到地面高度为 0.4米. .......6分
(2)如图,过点 Q作 QF⊥MN于点 F，过点 R作 RK⊥FQ于点 K，
过点 R作 RG⊥MN于点 G ...............7分
∴四边形 RGFK为矩形.
∵PQ=0.3米，P点离地高度为 1.2米，且 PQ竖直向上，
∴ＦP=1.2（米）
∴Q点离地高度 FQ=1.2-0.3=0.9（米） ...................8分
∵tanα= 3 ，α为锐角，
4
∴在 Rt△RKQ中，设 KR为 3k，KQ为 4k
由勾股定理，得 QR= KR2 +KQ2 =5k
KQ 4k 4
∴在 Rt△RKQ中，cosα= = = =0.8 ..........9分
QR 5k 5
3
{#{QQABBQQAggigABAAABgCEQWQCgOYkgECCAgGwEAUIAIAiRFABAA=}#}
∵QR=PQ=0.3（米）
∴KQ=QR·cosα=0.3×0.8=0.24（米） ....................10分
∴R点离地高度 RG=FK=FP-PQ-KQ=1.2-0.3-0.24=0.66（米）...11分
答：此时 R 离地面 MN 的高度为 0.66 米 ..........12 分
23.解：（1）依题意，得抛物线的解析式为 ........2分
1
∴ 抛物线的函数解析式为 y = x2 + x + 3 ........4分
4
（2）顶点为 (2,4) ............6分
(3)抛物线与 y轴交点 C(0,3)，点 P在第一象限，故 0抛物线顶点 T(2,4)为弧 CP 最高点，分两种情况讨论最低点：......8分
1
①当 02 + x + 3 3弧 CP 最低点为 C(0,3)
4
特征矩形的长为 t，宽为 4 3=1，周长 f = 2(t +1) = 2t + 2 ......10 分
1 2
②当 44
1 2 1
特征矩形的长为 t，宽为4 （ x + x +3）= t2 t +1，
4 4
1 2 1
周长 f = 2(t + t - t +1) = t
2 + 2. ...............12 分
4 2
4
{#{QQABBQQAggigABAAABgCEQWQCgOYkgECCAgGwEAUIAIAiRFABAA=}#}梧州市2025—2026学年度初中学业水平考试第二次模拟测试
数学（试题卷）
说明：1．本试卷共6页（试题卷4页，答题卡2页），满分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，请将准考证号、姓名、座位号写在答题卡指定位置，答案涂、写在答题卡相应的区域内，在试题卷上答题无效．
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分．）
1．下列四个选项中，为负数的是（ ★ ）
A．0 B．0.5 C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ★ ）
A． B． C． D．
3．下列调查中，适合抽样调查的是（ ★ ）
A．了解某批次灯泡的使用寿命
B．了解某班级学生的数学作业完成情况
C．了解某考场考生准考证的核对情况
D．了解某班级学生的视力情况
4．一个角是，则可化为多少分（ ★ ）
A． B． C． D．
5．如图，扇形是某种折扇的外轮廓图，已知扇形半径，，则的长为（ ★ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上，则k的值是（ ★ ）
A． B． C．2 D．4
7．已知：词牌《浣溪沙》每阕含6句，每句7个字；词牌《采桑子》每阕含8句，每句6个字．在某古代词集中，《浣溪沙》的篇目数量相较于《采桑子》多6阕，然而《浣溪沙》全篇总字数却比《采桑子》少12字．请问词集中《浣溪沙》和《采桑子》各收录了多少阕？（注：此处采用特定变体格律，以题目给定句数、字数为准）（ ★ ）
A．44，38 B．50，44 C．60，54 D．66，60
8．如图，将长方形纸片沿折叠，使点D落在边上的点处，点C落在处．若，则的度数为（ ★ ）
A． B． C． D．
9．如图，某数学兴趣小组在测量校园内直角三角形花坛的相关数据时，用尺规作图的方法作的平分线：以为圆心画弧交，于，，再分别以，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点．若测得，，则点到边的距离为（ ★ ）
A． B． C． D．
10．小宇从家出发，骑自行车前往公里某景区，途中停车观光，其中（公里）是小宇离家的距离，（分钟）是小宇离家时间．与的函数图像如图所示．下列说法错误的是（ ★ ）
A．小宇从家到景区，小宇的路程为公里
B．小宇途中停车观光的时间为分钟
C．小宇到景区的整个过程中，平均速度是公里/小时
D．小宇全程一共用时分钟
11．现定义一种新运算：对任意实数，，规定，若，则的值为（ ★ ）
A． B． C． D．
12．《周髀算经》为中国最古老的天文数学著作，记载勾股定理，赵爽作注创“弦图”以面积法严谨证之，成古代数学典范．如图所示弦图中，由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若大正方形的面积为，连接、．若，则线段的长是（ ★ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分）
13．点关于原点对称的点为 ★ ．
14．若实数满足，则代数式的值为 ★ ．
15．袋中有个球，红白，除颜色外，其余如材料、大小、质量等完全相同，随意从中抽个球，抽到红球的概率是 ★ ．
16．已知在中，，米，米，点是边上的动点，点是边上定点，米，连接，则线段的最小值为 ★ 米．
三、解答题（本大题共小题，共分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（每小题分，共分）
（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中，．
18．（10分）社团活动是课堂的延伸，能培养学生的兴趣爱好．某校全体学生积极参加社团活动，为了解学生每周参加社团活动的情况，学校随机抽取部分学生，对其每周参与社团活动的时间（用表示，单位：）进行统计，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图．根据提供的信息回答问题：
（1）填空： ★ ，此次调查中共抽取了 ★ 名学生，并把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）；
组别 时间 频率
A 0.16
B a
C 0.36
D 0.18
E 0.10
合计 1
抽取的学生一周参与社团活动时间频率分布表
（2）调查所得数据的中位数落在 ★ 组（填组别）；
（3）该校共有1200名学生，请估计该校学生一周参与社团活动的时间不少于的学生人数．
19．（10分）某校的研学活动计划租用大容量巴士和舒适型客车两种新能源车辆，两种车型共需18辆，用于接送全校900名师生及若干后勤设备．
（1）已知每辆大容量巴士的载客量比每辆舒适型客车多15人；在每辆车均恰好满载的情况下，用大容量巴士运送900名师生，比用舒适型客车运送同样数量的师生少用5辆车．求每辆大容量巴士与每辆舒适型客车的载客量分别为多少人？
（2）已知：大容量巴士的单日租金为3000元/辆；舒适型客车的单日租金为2000元/辆．本次研学活动所租用的大容量巴士的数量不少于舒适型客车数量的2倍．请计算租车的单日最低总费用．
20．（10分）在校园文化墙的正方形装饰板块设计中，数学小组以正方形为基础进行几何构图：如图，已知四边形是正方形，对角线为装饰分割线，点是上一点，点是上一点，连接、、、，与交于点．
（1）求证：
（2）若，，求证：．
21．（10分）如图，在中，，点是的中点，点是上一点，且，，三点均在上，，是的两条切线，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
22．（12分）综合与实践．
素材：2026年央视春晚的武术节目《武》中，机器人表演了“长棍劈扫”与“双节棍轮转”两个精彩动作（如图1、图2所示）．某校数学兴趣小组的同学根据录像测量了部分数据，并尝试建立数学模型．请你结合所学知识，解决下列问题．
任务一：如图3，机器人肩膀固定点离地面高度米．长棍长米，初始时水平（与地面平行），端与点重合．机器人让长棍绕点匀速向下转动，当长棍与水平方向的夹角为时，长棍的位置为．
（1）求此时长棍的端到地面的高度；
任务二：如图4，双节棍由两段等长的棍子和通过链条连接而成，每段长米．机器人手握端，使保持竖直向上，同时让绕点在竖直平面内匀速旋转（链条长度忽略不计）．
在某一时刻，与竖直方向的夹角为（为锐角），测得．已知点离地面高度为米．
（2）求此时点离地面的高度．
23．（12分）如图1，在物理实验中，某小组用传感器记录了一个小球从斜轨滑下后，再向上抛出，其运动轨迹可近似看成抛物线（如图2）．已知小球从斜轨末端抛出，轨迹经过轴上的点，再经过点．设是抛物线上的动点，的横坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请写出抛物线的顶点坐标 ★ ；
（3）如图3，抛物线上两点、之间的部分记作做抛物线弧（含端点）．过、分别作轴的垂线，，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，，直线，，，围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第一象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为，求关于的函数解析式．

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