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响水县2025～2026学年九年级第二次模拟考试
数学参考答案
一、选择题
1.C 2．B 3. A 4．C 5．D 6．C 7.B 8. D
二、填空题
9．x≥1 10． 11．3三、解答题
17．（本题满分6分）
解：原式= ………………4分
=3 ………………2分
18．（本题满分8分）
解：原式= ………………2分
=-4xy ………………4分
当时，
原式= ………………6分
=2 ………………8分
19．（本题满分8分）
解：3（x-2）+2（x+2）=8 ………………3分
5x-2=8
x=2 ………………6分
检验：x=2时，x2-4=0，x=2是增根。………………7分
所以，原方程无解。 ………………8分
20.（本题满分8分）
（1）图略； ………………3分
（2）∵CD平分
∴∠ACD=∠BCD
∵,CD=CD
∴△ACD≌△ECD ………………5分
∴AD=ED, ∠DEC=∠A=72°
∵
∵∠B=∠BDE
∵∠DEC=∠B+∠BDE=2∠B ………………7分
∴∠B=36° ………………8分
21．（本题满分8分）
（1）84、80、< ………………3分
（2）甲班成绩较好，理由如下：
①从平均数和优秀率角度；
②从平均数和方差角度。
（答案不唯一，只要有道理即可） ………………5分
(3) ………………7分
答：该估计全校参加此次竞赛活动成绩在80分及以上的学生人数共有550人.
………………8分
22．（本题满分8分）
(1)； ………………2分
(2)列表或树状图略； ………………4分
小宇获胜的概率为；小辰获胜的概率为；………………6分
∵，
∴游戏不公平． ………………8分
23．（本题满分10分）
解：（1）将点代入之中得，
反比例函数的解析式为； ………………2分
将代入反比例函数之中得，
点的坐标为，
将点，代入之中得，解得，
一次函数的解析式为； ………………4分
（2） ………………6分
（3）设直线AB与x轴交于点C，连接PA、PB,则点C（4,0）
设点P（t，0）
∵S△PAB=S△PAC-S△PBC
∴ ………………8分
解得：t=2或6
∴点P（2,0）或（6,0） ………………10分
24.（本题满分10分）
证明：（1）为的直径，
，即，
又，
； ………………3分
（2）连接，如图，
，
，，
，
，
，
在与中，
，
∴， ………………5分
，
为的切线，
，
，
是的切线； ………………7分
（3）解：，
，，
， ………………8分
∵BC=2，
∴AC=8，
∴OA=4
所以，圆O的半径为4。 ………………10分
25.（本题满分10分）
解：（1）200、80； ………………2分
（2）设第x分钟等待检票的人数为w人，
由题意得，
………………4分
，
∵，
∴当时，w最大，最大值为425，………………5分
答：景区检票口排队等待检票的游客最多时有425人；
………………6分
（3）设增设临时检票口检票m分钟时间后，景区检票口不再出现排队等待的情况，
由题意得，，
整理得：， ………………8分
解得或（舍去）， ………………9分
答：增设临时检票口检票15分钟后，景区检票口前将不再出现排队等待的情况．
………………10分
26.（本题满分12分）
（1）解：∵某三角形是“类直角三角形”，且一个内角为 ，
∴， ………………2分
解得：，
∴它的两个锐角的度数为． ………………3分
（2）证明：过点A作于点D，如图所示：
∵，
∴，
∵， ∴BD=3：
∴，
∴，， ………………5分
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是“类直角三角形”． ………………7分
（3）解：当时，
∵，
∴，
过点D作于点E，如图所示：
∵，
∴，
∴，CD=DE
∴，
根据勾股定理得：，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴； ………………9分
当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：； ………………11分
综上分析可知：或．………………12分
27．（本题满分14分）
解：（1）①； ………………1分
②解：小强的说法正确， ………………2分
理由如下：
连接，
∵是的中点，，
∴，
∴，，
∴，………………4分
又∵是矩形，
∴，
又∵，，
∴； ………………6分
（2）画图； ………………7分
∵，，
∴，，
∴， ………………8分
设，则，
在中，，即，
解得，即； ………………10分
（3）或． ………………14分（答出一个2分）2025～2026学年九年级第二次模拟考试
数学试题
注意：1．本次考试时间为120分钟，满分150分；
2．所有答题一律在答题卡相应题号的区域内完成，超出无效！
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1. 下列几何体中，从正面看和从左面看形状均为三角形的是
2. 如图，这是某市2026年1月份连续四天的天气预报信息，其中日温差最大的一天是
A．星期一
B．星期二
C．星期三
D．星期四
3. 已知∠A是锐角，且满足3tanA，则∠A的大小为
A．30° B．45° C．60° D．无法确定
4. 下列运算中，正确的是
A． B． C． D．
5. 如图，是的直径，，是上两点，连接，，．若，则的度数为
A． B． C． D．
6. 一副三角板按如图所示位置放置(其中，，若，则的度数为
A． B． C． D．
7. 已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为
A． B． C． D．
8. 如图①，在扇形中，，动点从点出发，沿匀速运动，线段的长度与点运动的路程之间的函数关系如图②所示，则图中的值为
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
9．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是____．
10．一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，那么小球停留在黑色区域的概率是_____．
11．不等式组的解集是_____．
12．若点（2，y1）和（-1，y2）是一次函数y＝-3x＋b的图象上两点，则y1与y2的大小关系为：y1____y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．
13．若且，则的值为_____．
14．已知弹簧长度（厘米）与所挂重物的质量（千克）的函数关系如图所示，那么弹簧长度为9厘米时，所挂重物为_____千克．
15．如图，在中，AC=BC，点0在AB上，以点0为圆心，OA长为半径的半圆分别交AC，AB于点D，F，半圆与BC相切于点E．若BE=4，则图中阴影部分的周长为____．（结果保留π）
16．如图，在边长为12的正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE，以点E为旋转中心将线段EA顺时针旋转90°，得到线段EF，连接AF，FE交边CD于点G，H，则GH的长为_____．
三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分6分）计算：
18．（本题满分8分）先化简，再求值：，其中，。
19．（本题满分8分）解方程：．
20.（本题满分8分）如图，在中， ．
（1）作角平分线，交AB于点D（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
（2）已知在BC边上有一点E，且， ，连接DE，
若，求的度数．
21.（本题满分8分）在2026年央视春晚的舞台上，机器人表演成为一大亮点，各地掀起了 “机器人热潮”，成为了大众热议的科技文化现象．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校举办了机器人知识竞赛，竞赛满分100分，80分及以上为优秀．从甲班和乙班各随机抽取8名学生，对这8名学生的成绩进行了收集、整理、分析．
【收集数据】
甲班8名学生竞赛成绩： 90，93，80，80，85，80，75，75．
乙班8名学生竞赛成绩：100，90，79，90，83，85，56，75．
【整理数据】小聪同学将甲、乙两个班级抽取学生的成绩进行了整理，并绘制了如右图所示的统计图．
【分析数据】甲、乙两个班级抽取学生的竞赛成绩统计表：
班级 特征数
平均数 中位数 众数 方差 优秀率
甲 82.25 80 n S_{甲}^{2}\) 75%
乙 82.25 m 90 S_{乙}^{2}\) 62.5%
【解决问题】请根据以上信息，解决以下问题：
1)填空：___，___，___填“”“”或“”)．
2)请你选择两个特征数进行分析，判断哪个班成绩比较好，并简要说明理由．
3)该校共有800人参加了此次竞赛活动，估计全校参加此次竞赛活动成绩在80分及以上的学生人数共有多少人？
22. （本题满分8分）华山，古称“西岳”，为中国著名的五岳之一，有着“奇险天下第一山”的美誉．小宇和小辰做游戏：小宇将他去华山游玩时拍的两张风景照片打印出来，如图所示的甲、乙图片，然后把这两张图片从中间剪断，分成4张形状相同的小图片，将其混合在一起洗匀，背面朝上放置在桌面上．小宇先从这4张图片中随机抽取一张（不放回），小辰接着再随机抽取一张．（设4张小图片分别用a，b，c，d表示）
小宇抽取的图片是甲图片上半部分的概率是__ ；
若规定：抽取的两张小图片中，能拼成一张完整的图片，则小宇获胜；否则小辰获胜．你认为这个游戏公平吗？请你用列表或画树状图的方法计算说明理由．
23. （本题满分10分）如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于，两点，为常数．
求一次函数和反比例函数的解析式；
根据图象直接写出不等式 的解集为__ ；
点为轴上一点，若的面积为，求出点的坐标．
24. （本题满分10分）如图，PA是圆0的切线，切点为A，AC是圆0的直径，连接OP交圆0于E，过A点作AB⊥PO于点D，交圆0于B，连接BC，PB．
(1)求证：PO∥BC；
(2)求证：PB是圆0的切线；
(3)若，BC=2，求圆0的半径．
25. （本题满分10分）根据以下信息，按要求完成任务。
项目背景 2026年五一期间，某景区对游客入园情况进行了统计，以便以后节假日合理安排检票窗口．
项目要求 运用所学过的数学知识解决问题，确保过程的准确性与规范性．
素材1 某日，景区通过统计发现，开始检票的一段时间内，到景区检票口排队等候检票的游客累计人数人与检票时问分钟的变化关系满足二次函数，检票恰好满分钟时，等候检票的累计人数已达人．
素材2 景区检票口每分钟可检票人．
素材3 检票恰好满分钟时，除原来游客外，又新来一人的游客团队。为了减少排队等候时间，立即增设了个检票口．已知新增检票口每个每分钟可检票人。
解决问题
任务1 开始检票前已有__▲人在排队等候， b=▲．
任务2 结合素材1、2，景区检票口排队等待检票的游客最多时有多少人？
任务3 结合所有素材，求增设临时检票口检票多长时间后，景区检票口前将不再出现排队等待的情况？
26. （本题满分12分）【感知定义】：如果三角形的两个内角a与β满足a+2β=90° ，那么我们称这样的三角形为 “类直角三角形”．
【尝试运用】
(1)若某三角形是 “类直角三角形”，且一个内角为100°，请直接写出它的两个锐角的度数；
【类比探究】
(2)如图1，在钝角三角形ABC中， △的面积为，
求证：是 “类直角三角形”．
【拓展应用】
(3)如图2，在Rt中， ，在边 上是否存在点 ，使得 是 “类直角三角形” ？若存在，请求出 的长度；若不存在，请说明理由．
27. （本题满分14分）综合与实践：某数学兴趣组开展 “旋转与作图” 探究活动．
【探究情境】
有一张矩形纸片ABCD，AB=8cm，BC=10cm．如图，沿直线AC将矩形纸片ABCD裁剪为△ABC和△ADC，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AEF，点B的对应点为点E．
【补图推证】
（1）当△AEF的边AF经过点D时，小组探究 “如何在仅有△ADC的图中补画△AEF”．在完成了第一步 “在射线AD上截取AF=AC” 后，同学们就 “如何确定点E的位置” 先后发言．
①小丽：如图2，分别以点A，F为圆心，线段CD，AD长为半径画弧，两弧相交于点E．连接AE，EF，可以依据“ ”证得≌． ②小强：还可以这样画，如图3，作AF的垂直平分线，交AF于点M．分别以点A，M为圆心，线段CD，AM长为半径画弧，两弧交于点E．连接AE，EF，也可以证得≌． ③小红：是的．点E始终在以A为圆心，CD长为半径的圆上，且EF就是该圆的切线．
①小丽证得≌的依据是 ；
②判断小强的说法是否正确，并说明理由；
【画图再探】
（2）记直线EF与△ADC的边AD的交点为G，小明提问：当直线EF经过点C时，能求出DG的长吗？请在图4中画出图形，并解决小明提出的问题；
【拓广延伸】
（3）当E，F，D三点共线时，连接FC，请直接写出△FCD的面积．

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