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2025—2026学年第二学期第一次模拟测试
九年级数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每个小题只有一个正确选项）
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图所示，该几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．试问各位善算者，多少人分多少银？”译文：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知道有多少人，多少银两．若每人分两，则还多两；若每人分两，则还差两．请问：有多少客人？分多少银两？”设客人为人，银两为两．根据题意可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，点A在图象上，轴于点B，且的面积为4，则k的值为（ ）
第6题图 第7题图 第8题图
A. 2 B. 4 C. 8 D. 12
7. 在闭合电路中，通过定值电阻的电流（单位：A）是它两端的电压（单位：）的正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为时，通过它的电流为（ ）
A. B. C. D.
8. 将盛有部分水的小圆柱形水杯放入事先没有水的大圆柱形水杯中，拿去接水时，让水先进入大圆柱形水杯，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致为图中的（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
9.= .
10. 分解因式：=　　　　．
11．从0，，，这四个数中随机抽取一个数，则抽出的数是无理数的概率为 ．
12. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 .
13. 如图，，相交于点，，要使≌，添加一个条件是 只写一个
第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
14．如图，以等腰直角△ABC两锐角顶点A、B为圆心作等圆，⊙A与⊙B恰好外切，若AC=2,那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为 .
15．如图，的半径为5，弦是圆上一点，则 ．
16．如图，在中，，，，以为较长的直角边，按逆时针方向作，且，；再以为较长的直角边，按逆时针方向作，且，；…按此规律一直下去，则的长为 ．
三、解答题（共6个小题，每小题6分，共36分）
17.(6分)计算：．
18.(6分)解不等式组.
19.（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为、、
(1)画出向下平移个单位长度得到的；
(2)画出绕着点A1按顺时针方向旋转得到图形，写出的坐标 ；
(3)以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为:
20. (6分)为了让学生体验青海民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：．五谷画，．彩陶，．剪纸，．排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一个课程），根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图：根据提供的信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生总人数为 ；扇形统计图中 ；
（2）补全条形统计图；
（3）该校有人，请你估计该校对课程感兴趣的学生有多少名？
（4）甲、乙两名同学从A、B、C、D四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率．
21.(6分)如图，在菱形中，对角线与相交于点O，E为的中点，连接并延长到点F，使得，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
22.(6分）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍．
（1）A、B两款玩偶的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？
四、解答题（共4个小题，共36分）
23.分如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点连接并延长交于点．
求证：直线是的切线；
求证：；
若，，求的长．
24.（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）点P为y轴上一点，连接．若的面积为6，求点P的坐标．
25.（10分）如图，抛物线（）与轴交于、两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线表达式；
(2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积最大值及此时点的坐标；
(3)若点是轴上的动点，点是抛物线上的动点，是否存在以点A、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．
26.(10分）问题探究
（1）如图①，在△ABC中，请画出一个 BDEF，使得点D，E，F分别在边AB，AC，BC上；
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，P为矩形ABCD内一点，且满足S△BPC＝9，求△BPC周长的最小值；
问题解决
（3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，△ABC区域为草地，线段BC为花海边沿，点A为游客服务中心，线段PQ为步道，点P和点Q为步道口，点O为观景台．按照设计要求，点P，Q分别在边AB，AC上，且满足BP：AQ＝2：3，O为PQ的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使∠BOC最大．已知AB＝120m，AC＝BC＝180m，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口P与游客服务中心A之间的距离PA．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计）

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