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2026年初中学业水平考试
数学测试卷
（全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟）
题号 一 二 三 合计
得分
一、选择题（本题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1．魏晋时期数学家刘徽在注释《九章算术》时，提出用不同颜色算筹表示正负数来刻画相反意义的量．若以红色算筹表示盈利，如果商家本月盈利300元用红色算筹记作元，那么亏损100元用黑色算筹应记作（ ）．
A． B． C． D．200
2．2025年3月19-20日，丽江现代花卉产业园日处理鲜切花达150000枝．将150000用科学记数法可以表示为（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，已知，，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
4．反比例函数的图象位于（ ）．
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限
5．下列计算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
6．为了解学生对“生命、生态与安全”课程的学习掌握情况，学校从八年级学生中随机抽取了20名学生进行综合测试．本次测试共有10道题目，答对题数的情况如下表：
答对题数（道） 6 7 8 9 10
人数 1 8 6 3 2
本次参加测试学生答对题数的中位数和众数分别是（ ）．
A．7和7 B．7和8 C．8和7 D．8和8
7．在课后特色服务课中，某同学以细腻的铅笔线条勾勒圆柱，双圆底面规整，侧面线条利落，明暗得当，极具美感与立体感．下列图形是圆柱俯视图的是（ ）．
A． B． C． D．
8．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是（ ）．
A． B． C． D．
9．下列四个选项中的汉字属于轴对称图形的是（ ）．
A．奋 B．进 C．中 D．国
10．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为（ ）．
A．1 B． C．4 D．
11．下列度数中，是六边形内角和度数的是（ ）．
A． B． C． D．
12．如图，是直径．若，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
13．在函数中，自变量x的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
14．某社区图书室2月初的借阅人次为3600次．通过增设便民服务和开展阅读推广活动，4月初的借阅人次达到6400次．若设2～4月该社区图书室借阅人次的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
15．学校要修建一个长为12米，宽为7米的矩形花坛，规划时需要确定花坛对角线长度来安排灌溉管道走向．通过计算，对角线的长度为米．以下对该对角线长度的估计，正确的是（ ）．
A．在13米和14米之间 B．在14米和15米之间
C．在15米和16米之间 D．在16米和17米之间
二、填空题（本题共4小题，每小题2分，共8分）
16．分解因式：___________．
17．如图，在中，点D，E分别是边，上的点，连接．若，且，，则的值是___________．
18．为加强青少年科学健身普及和健康干预，让年轻一代在运动中强意志、健身心，学校开设了“一人一球”体育拓展课程，学生可根据自己的喜好选择一门球类项目（A：篮球；B：足球；C：排球；D：羽毛球；E：乒乓球）．某兴趣小组随机对该校部分学生的选择情况进行调查，将收集到的数据进行整理并绘制成如下两幅统计图，则此次调查的学生总数是___________．
19．为响应学校举办的“手工制作创新大赛”，数学兴趣小组要制作一批圆锥形的无盖铁皮灯罩，每个灯罩的高为，母线长为．为了预算制作一个灯罩所需要的铁皮面积，经计算可知该圆锥侧面展开图的面积为________．
三、解答题（本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（本小题满分7分）计算：．
21．（本小题满分6分）如图，已知，平分．求证：．
22．（本小题满分7分）新能源汽车具有动力强、能耗低等特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．在新能源电池正极材料的制备过程中，锰是不可或缺的重要元素．现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿石，已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的2倍，甲队开采2400吨锰矿石所用的时间比乙队开采同样数量的锰矿石所用的时间少3天，求甲、乙两队每天开采锰矿石的量各为多少吨？
23．（本小题满分6分）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》和《中庸》．它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签A，B，C，D，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．
（1）从中随机抽取1张，抽到“孟子”书签的概率是____________．
（2）从中随机一次性抽取2张，用列表法或画树状图法，求随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的概率．
24．（本小题满分8分）如图，在菱形中，对角线与交于点O，过点D作，交的延长线于点E，在上截取，连接．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，，求的长．
25．（本小题满分8分）昆明被誉为“春城”，四季如春的气候是它最迷人的招牌．这里不仅是享誉世界的“春城”和“花都”，更有种类繁多的特色小吃．烧饵块是昆明的传统小吃，外皮酥脆，内馅丰富、咬一口满嘴米香．凉米线是昆明的传统小吃，米线滑嫩，调料丰富，咬一口满嘴鲜香．“烧饵块”“凉米线”摊位前排满了游客，购买凉米线4份，烧饵块2份需要48元；购买凉米线2份，烧饵块4份需要54元．
（1）求凉米线、烧饵块每份的售价．
（2）据调查，某商家制作1份凉米线需要的成本为4元，1份烧饵块需要的成本为6元.该商家结合市场需求，某天可以售卖凉米线和烧饵块共1000份，且凉米线的数量不少于烧饵块的3倍．该商家售完这1000份特色小吃，可获得的最大利润是多少元？
26．（本小题满分8分）在平面直角坐标系中，抛物线（h，k均为常数）与y轴交于点，与x轴的交点的横坐标为m．当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若，求证：．
27．（本小题满分12分）如图，已知为的直径，F为上一点，平分且交于点C，过点C作于点D，延长，交于点E，连接，．
（1）若，，求的半径．
（2）求证：是的切线．
（3）是否存在常数k，使得．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．2026年云南省初中学业水平考试
数学测试卷参考答案
一、选择题
1．A 2．C 3．A 4．B 5．C 6．C 7．B 8．B 9．C 10．A 11．C
12．A 13．D 14．C 15．A
二、填空题
16． 17． 18．50 19．
三、解答题
20．解：原式．
21．证明：由已知可得．在和中，．
22．解：设乙队每天开采锰矿石的量为吨，则甲队每天开采锰矿石的量为吨．依题意，得，解得（吨）．经检验，是原方程的解且符合题意．（吨）．答：甲、乙两队每天开采锰矿石的量分别为800吨和400吨．
23．解：（1）．
（2）根据题意，列表如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
由上表可知，共有12种等可能出现的结果，其中随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的结果为，，共有2种．∴随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的概率为．
24．（1）证明：∵四边形是菱形，．又，∴四边形是平行四边形．，．∴平行四边形是矩形．
（2）解：四边形是菱形，对角线与交于点，，，．，．．∵菱形的面积，．．∵四边形是矩形，．
25．解：（1）设每份凉米线的售价是元，每份烧饵块的售价是元．依题意，得，解得答：每份凉米线的售价是7元，每份烧饵块的售价是10元．
（2）设售出份凉米线，则售出份烧饵块．依题意，得．解得．设商家售完这1000份特色小吃获得的总利润为元，则．，随着的增大而减小．∴当时，取得最大值．最大值为（元）．答：商家售完这1000份特色小吃，可获得的最大利润是3250元．
26．（1）解：对于抛物线，∵当时随的增大而增大，当时随的增大而减小．∴抛物线的对称轴为，即．∵抛物线与轴交于点，，即．解得．∴抛物线的解析式为．
（2）证明：由（1）可得抛物线的解析式为．∵抛物线与轴的交点的横坐标为，，即．．
．，
，
．
．易知时，；当时，．∵当时随的增大而减小，．．，即．
27．（1）为的直径，．，，在中，由勾股定理，得．．的半径长为．
（2）如图1，连接．是的直径，．，．，．平分，．．．．又是的半径，是的切线．
（3）存在，且的值为2．如图2，过点作于点，则．在与中，．，．
平分，．．．在与中，．．
，即．

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