资源简介

2026年初中学业水平考试
数学模拟试卷
（全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟）
一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在标准大气压下，甲醇的沸点是零上64.7 ℃，熔点是零下97.8 ℃.若零上64.7 ℃记作＋64.7 ℃，则零下97.8 ℃记作(　　)
A. 97.8 ℃　　B. 64.7 ℃
C. －64.7 ℃　　D. －97.8 ℃
2. 2025年1月17日，自然资源部中国地质调查局宣布，我国在云南省红河地区发现超大规模离子吸附型稀土矿，潜在资源达115万吨.将1 150 000用科学记数法表示为(　　)
A. 1.15×106　　B. 1.6×106
C. 1.15×105　　D. 115×104
3. 反比例函数y=的图象一定经过的点是(　　)
A. (1，－10) 　　B. (－2，5)　　C. (2，5) 　　D. (2，8)
4. 如图，直线a与直线b，c都相交，若b∥c，∠1=55°，则∠2的度数是(　　)
第4题图
A.35°　　B.55°　　C.125°　　D.145°
5. 如图是一个几何体的主视图，则这个几何体不可能是(　　)
第5题图
A.长方体　　B.正方体　　C.圆柱　　D.三棱锥
6. 下列运算正确的是(　　)
A. a2－a=a 　　B. a3÷a2=1
C. a4 a2=a6　　D. (2a2)3=6a6
7. 不等式x－4＜3x的解集是(　　)
A. x＜－2　　B. x＜－1　　C. x＞－1　　D. x＞－2
8. 据说古埃及人曾用下面的方法得到直角三角形：如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第9个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，则cos α等于(　　)
第8题图
A.　　B.　　C.　　D.
9. 按一定规律排列的代数式：x，－2x2，4x3，－8x4，16x5，…，第8个单项式是(　　)
A.－128x8　　B.128x8　　C.－256x8　　D.256x8
10. 如图， ABCD对角线AC，BD相交于点O，若AC=8，BD=10，CD=6，则△COD的周长为(　　)
第10题图
A.24　　B.15　　C.14　　D.12
11. 某小区开展“节约用水，从我做起”活动，下表是该小区随机抽取的10户家庭当月节水情况(较上月节水量)统计：
节水量(m3) 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
家庭数(户) 2 4 1 2 1
则这10户家庭当月节水量的中位数与众数分别是(　　)
A. 0.3，0.3　　B. 0.5，0.4
C. 0.3，0.5　　 D. 0.4，0.3
12. 已知某校篮球场和图书馆到校门口的直线距离分别是650 m和500 m，那么篮球场与图书馆之间的直线距离不可能是(　　)
A. 150 m 　　 B. 600 m 　　 C. 800 m 　　 D. 1 160 m
13. 如图，小区物业准备利用一个直角墙角建造一个矩形花坛，若花坛两边靠墙(墙足够长)，剩余两边用篱笆围成，且篱笆总长度为13 m，要使围成的花坛的面积为30 m2，设花坛较短边的长度为x，根据题意，下列方程正确的是(　　)
第13题图
A.x(13＋x)=30　　B.x(13－x)=30
C.x(x－13)=30　　D.2x＋(13－x)=30
14. 如图，AB是⊙O的直径，∠CAB=40°，则∠D=(　　)
第14题图
A. 60°　　　　　B. 30°　　 C. 40° 　　D. 50°
15. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且AD=3DB，DE∥BC，若△ADE的面积为9，则△ABC的面积为(　　)
第15题图
A.8　　B.16　　C.27　　D.
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分.
16. 分解因式：4a2－1=　　　　.
17. 在平面直角坐标系中，若点P(2m－2，m＋1)在x轴上，则点P的坐标为　　　　.
18. 某社区为配合教育部劳动教育要求，与辖区中学合作开展 “青少年家务劳动习惯” 调研.调研小组从该校1 000名学生中随机选取100名进行面对面访谈，请学生回忆并记录最近一周内家务劳动的总时长(单位：小时)，现将收集到的数据整理如下：
家务劳动时长 x＜1 1≤x＜2 2≤x＜3 3≤x＜4 4≤x＜5 x≥5
学生人数 8 16 23 32 16 5
根据以上数据，估计这1 000名学生中一周内家务劳动时长不小于3小时的学生的人数为
　　　　名.
19. 已知某几何体的三视图如图，其中主视图和左视图都是腰长为5，底边长为4的等腰三角形.则该几何体的侧面展开图的圆心角度数为　　　　°.
第19题图
三、解答题：本题共8小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
20. (7分)计算：sin 30°＋(－π)0－2－1＋－|－1|.
21. (6分)如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，延长AD至点F，使得DE=DF，连接CE，BF，求证：∠CED=∠BFD.
第21题图
22. (7分)北极航道的打通为中国和欧洲海运开辟了新航线，北极航线的里程相比传统走巴拿马运河航线大大缩短，节省了时间和燃油成本，每年可以节省上百亿的运费.某海运公司集装箱货轮从中国天津港出发，走北极航线到德国汉堡港比走巴拿马运河航线能节省10天的航程，走北极航道海运里程约12 000公里，走巴拿马运河航线大约20 000公里.北极航线临近大陆，风浪较小，集装箱货轮走北极航线的速度是走巴拿马运河航线速度的1.2倍.求集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走多少公里？
23. (6分)有A，B两个盒子.A盒内有三个球，分别标有数字－1、2、－3.B盒有两个球，分别标有数字1、－2.所有的球除所标数字外，形状大小完全相同.先从A盒中随机抽出一个球，记录其标有的数字为x，再从B盒中随机抽出一个球，记录其标有的数字为y，以此确定点M的一个坐标为(x，y).
(1)用列表或画树状图的方法写出点M的所有可能坐标；
(2)求点M落在第三象限的概率.
24. (8分)4月23日是“世界读书日”，2025年世界读书日的主题为“阅读：通往未来的桥梁”，学校计划购买文学类和科技类图书共200套，若购买3套文学类图书和4套科技类图书，一共需要192元，若购买2套文学类图书和2套科技类图书，一共需要108元.
(1)求文学类图书和科技类图书每套的单价分别是多少元？
(2)根据学生阅读需求，要求购进的文学类图书的套数不超过科技类图书的套数的2倍，求学校购进这两类图书所需的总费用的最小值.
25. (8分)如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，分别过点A，C作BC，AD的平行线交于点E，连接BE，交AD，AC于点F，G.
第25题图
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)求的值.
26.(8分)已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴是直线x=-,经过点(0,-1).设该抛物线与x轴交点的横坐标为t.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)记T=,比较T与的大小.
27.(12分)如图所示,☉O是△ABC的外接圆,延长AB至点D,使得BC2=BD·AB,P是半圆上一动点(点P在左上半圆,且不与点A,C重合),连接PA,PB,PC,CD.
(1)若∠PAB=65°,求∠PCB的度数;
(2)求证:CD是☉O的切线;
(3)看一看,想一想,证一证:若AB=2BC,以下与线段PA,PB,PC有关的三个结论:PA>PB-2PC,PA=PB-2PC,PA数学模拟试卷 参考答案解析
一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. D　【解析】用正负数表示具有相反意义的量时，通常规定 “零上” 为正，则 “零下” 为负，∴零下 97.8 ℃应记作－97.8 ℃.
2. A　3. C
4. C　【解析】如解图，∵若b∥c，∠1=55°，∴∠3=∠1=55°，∴∠2=180°－∠3=180°－55°=125°.
第4题解图
5. D
6. C　【解析】逐项分析如下：
选项 逐项分析 正误
A a2与a不是同 类项，不能合并 ×
B a3÷a2=a3－2=a ×
C a4 a2=a4＋2=a6 √
D (2a2)3=23a2×3=8a6 ×
7. D　【解析】解不等式x－4＜3x，移项得2x＞－4，解得x＞－2.
8. B　【解析】如解图，BC=3，AC=4，AB=5，∴△ABC是直角三角形，∴cos α==.
第8题解图
9. A　【解析】根据符号的规律：第n个单项式中，n为奇数时，单项式的符号为正号，n为偶数时，单项式的符号为负号；系数的绝对值的规律：第n个单项式对应的系数的绝对值是2n－1.指数的规律：第n个单项式对应的指数是n，∴第8个单项式是－27x8=－128x8.
10. B　【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OC=AC，OD=BD，∵AC=8，BD=10，∴OC=4，OD=5，∵CD=6，∴△COD的周长=OC＋OD＋CD=15.
11. A　【解析】将这10个数据按从小到大(或从大到小)排列，中间两个数据都为0.3，∴中位数为0.3；0.3出现的次数最多，有4次，∴众数为0.3.
12. D　【解析】设篮球场和图书馆的直线距离为a m.当校门口、篮球场和图书馆不共线时，根据三角形三边关系得：650－500＜a＜650＋500，即150＜a＜1 150；当校门口、篮球场和图书馆共线时，a=650－500=150或a=650＋500=1 150，综上，a的取值范围为150≤a≤1 150，故不可能是1 160 m.故选D.
13. B
14. D　【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B＋∠CAB=90°，∵∠CAB=40°，∴∠B=50°，∴∠D=∠B=50°.
15. B　【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵AD=3DB，∴=，∴=()2=，∵S△ADE=9，∴S△ABC==16.
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分.
16. (2a－1)(2a＋1)
17. (－4，0)　【解析】∵点P在x轴上，∴m＋1=0，∴m=－1，∴2m－2=－4，故点P的坐标为(－4，0).
18. 530　【解析】估计这1 000名学生中家务劳动时长不小于3小时的学生的人数为1 000×=530(名).
19. 144　【解析】由三视图可知，该几何体是圆锥，∴侧面展开图的面积=π×2×5=10π，设这个扇形的圆心角为n°，则=10π，∴n=144.
三、解答题：本题共8小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
20. 解：原式=＋1－＋2－1(5分)
=2.(7分)
21. 证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD.(2分)
在△BDF和△CDE中，
∴△BDF≌△CDE(SAS)，(4分)
∴∠CED=∠BFD.(6分)
22. 解：设集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走x公里，则集装箱货轮走北极航线每天能走1.2x公里，根据题意，
得－=10，(3分)
解得x=1 000，(5分)
经检验，x=1 000是原分式方程的解，且符合题意，(6分)
答：集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走1 000公里. (7分)
23. 解：(1)列表如下所示.
A B
1 －2
－1 (－1，1) (－1，－2)
2 (2，1) (2，－2)
－3 (－3，1) (－3，－2)
点M的所有可能坐标为(－1，1)，(－1，－2)，(2，1)，(2，－2)，(－3，1)，(－3，－2)；(3分)
(2)由(1)知点M共有6种等可能的结果，其中事件“落在第三象限”包含(－1，－2)和(－3，－2)两种结果，
∴P(点M落在第三象限)==.(6分)
24. 解：(1)设文学类图书每套的单价为x元，科技类图书每套的单价为y元，
根据题意，得2分
解得
答：文学类图书每套的单价为24元，科技类图书每套的单价为30元；(4分)
(2)设学校购进这两类图书所需的总费用为w元，购进文学类图书m套，
∴w=24m＋30(200－m)=－6m＋6 000，(5分)
∵要求购进的文学类图书的套数不超过科技类图书的套数的2倍，
∴m≤2(200－m)，
解得m≤=133，(6分)
∵m是正整数，
∴m的最大值为133，(7分)
∵－6＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=133时，w取得最小值，w最小=－6×133＋6 000=5 202.
答：学校购进这两类图书所需的总费用的最小值为5 202元. (8分)
25. (1)证明：根据题意得，AE∥CD，CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形.(1分)
∵在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形；(3分)
(2)解：由(1)得，四边形ADCE是矩形，AB=AC，AD⊥BC，
∴AE=DC=BD，AE∥BD，
∴∠AEF=∠DBF，
∵∠AFE=∠DFB，
∴△AEF≌△DBF(AAS)，
∴AF=DF，
∴F是AD的中点.(5分)
如解图，过点F作AC的平行线，交BC于点H，
∴H为DC的中点.
∴=，
∵GC∥FH，
∴△BFH∽△BGC，
∴==，
∴=，
∴的值为3.(8分)
第25题解图
26. 解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴是直线x=-,∴-=-,∴b=1.
∵抛物线经过点(0,-1),∴c=-1,
∴抛物线的函数解析式为y=x2+x-1.
(2)∵抛物线与x轴交点的横坐标为t,
∴t2+t-1=0,即t2=1-t,
∴t4=1-2t+t2=1-2t+1-t=2-3t,
∴t8=4-12t+9t2=4-12t+9-9t=13-21t.
∵t2+t-1=0,∴t2-1=-t,
∴t4-2t2+1=t2,∴t4-3t2+1=0,
∴t7-3t5+t3=0,
∴T====t.
∵t2+t-1=0,
∴t=或t=.
当t=时,T=;
当t=时,T<.
27. (1)解:∵四边形ABCP是圆内接四边形,
∴∠PAB+∠PCB=180°.
∵∠PAB=65°,∴∠PCB=115°.
(2)证明:∵AC是☉O的直径,
∴∠ABC=90°, ∴∠CBD=∠ABC=90°.
∵BC2=BD·AB,
∴=,
∴△ABC∽△CBD,
∴∠CAB=∠DCB,
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=∠ACB+∠CAB=90°,∴OC⊥CD.
∵OC是☉O的半径,∴CD是☉O的切线.
(3)解:PA=PB-2PC正确.理由如下:
如图所示,过点C作CH⊥PB于点H.
∵AC是直径,
∴∠ABC=∠APC=90°.
∵AB=2BC,
∴设BC=x,则AB=2x,
由勾股定理得AC=x.
∵∠CPH=∠CAB,
∴cos∠CPH=cos∠CAB,
∴==,
∴PH=PC.
∵∠CBH=∠PAC,
∴cos∠CBH=cos∠PAC,
∴=,
∴BH==,
∴PB=PH+BH=+=,
∴PA=PB-2PC.

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