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2026年云南省初中学业水平考试
数学测试卷参考答案
一、选择题
1．D 2．B 3．C 4．A 5．B 6．D 7．A 8．C 9．B 10．A 11．D 12．A 13．C 14．B 15．D
二、填空题
16．点在外 17． 18．8 19．960
三、解答题
20．解：原式．
21．证明：，，即．，．在与中，，．
22．解：设A种粽子礼盒的单价是元，则B种粽子礼盒的单价是元．由题意，得，解得．经检验，是原方程的解且符合题意．．答：A种粽子礼盒的单价是80元，B种粽子礼盒的单价是120元．
23．解：（1）．
（2）根据题意，列表如下：
A B C D
A
B
C
D
由上表可知，共有12种等可能出现的结果，其中取出的2张卡片为“哪吒”和“C太乙真人”的结果有，，共2种．取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率为．
24．（1）证明：四边形是菱形，，．
，，∴四边形是平行四边形．
，∴四边形是矩形．
（2）解：菱形的周长为40，．
平行线与之间的距离为7，∴菱形的面积．
四边形是矩形，，．，．
∴四边形的周长．
．
．∴四边形的周长为．
25．解：（1）设每件A型童装的进价是元，每件B型童装的进价是元．由题意，得，解得．答：每件A型童装的进价是30元，每件B型童装的进价是20元．
（2）设购进件A型童装，则购进件B型童装．由题意，得．解得．设售完这批童装该经销商获得的总利润为元，则．，随着的增大而增大．∴当时，取得最大值，最大值（元）．答：该经销商获得的最大利润是21500元．
26．解：（1）根据题意，将代入，得，解得．∴抛物线的解析式为．
（2）根据题意在平面直角坐标系中作出抛物线和，如图1，易知与轴交于点，与轴交于点．时，．
①当点在轴右侧和点之间时，总有．，，，．解得；
②当时，代入得，解得或．结合图象可知应舍去．当点在点的左侧时，总有．，，．．
综上，的取值范围是或．
27．解：（1）是的切线．理由如下：
如图2，在中，
，．
又∵点，，在上，是的直径．
，．
又，．
．．
又是圆的直径，是的切线．
（2）是的直径，．
．
由，可设，则．
．
．，，，
．
，，．
．
，．
，．
，，．
．
（3）设，，．
如图2，连接，在中，．
，．
∴在中，，．
在中，（，），．
在中，，．
，即．
，的最大值为1（F与O重合时）
.
综上，.2026年初中学业水平考试
数学测试卷
（全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟）
题号 一 二 三 合计
得分
一、选择题（本题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫正数与负数．若收入30元记作元，则元表示（ ）．
A．收入10元 B．收入20元 C．支出20元 D．支出10元
2．电影《志愿军：存亡之战》以7.61亿元票房领跑2024年国庆档电影票房，其中的数据“7.61亿”用科学记数法可以表示为（ ）．
A． B．
C． D．
3．如图，直线AB，CD被直线EF所截，，，则（ ）．
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
5．反比例函数的图象位于（ ）．
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限
6．下图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）．
A．圆柱 B．三棱锥 C．正方体 D．三棱柱
7．一个多边形的每个外角都为，那么这个多边形的边数为（ ）．
A．12 B．6 C．10 D．8
8．如图，在中，，，，，则AE的长为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
9．在函数中，自变量x的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
10．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
11．下面一组数据：2，3，2，2，2，5，4，其众数是（ ）．
A．5 B．4 C．3 D．2
12．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是（ ）．
A． B．
C． D．
13．如图，圆锥的底面半径为5，高为12，则该圆锥的侧面积为（ ）．
A． B． C． D．
14．雾霾天气可以破坏环境和危害人的身体健康．某市2023年全年雾霾天气是36天，为了改善环境，减少雾霾天气，该市计划到2025年将全年雾霾天气降到25天，且这两年雾霾天气的平均下降率相同．若设每年的下降率为x，根据题意，所列方程为（ ）．
A． B．
C． D．
15．如图，在中，，，，则的值是（ ）．
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共4小题，每小题2分，共8分）
16．若的半径为3 cm，点A与圆心O的距离为4 cm，则点A与的位置关系是________．
17．因式分解：＝________．
18．已知，菱形的面积为40，一条对角线的长为10，则另一条对角线长为________．
19．某校为开展“阳光体育”活动，从全校2400名学生中抽取了50名学生调查其各自最喜爱的一项体育活动，制成了如图所示的扇形统计图，估计该校选择羽毛球的学生有________名．
三、解答题（本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（本小题满分7分）计算：．
21．（本小题满分6分）如图，点，，，在一条直线上，，，，求证：．
22．（本小题满分7分）端午节快要到了，某商场出售A，B两种粽子礼盒，其中B种礼盒单价是A种礼盒的1.5倍．已知用2000元购买A种礼盒的数量，比用2400元购买B种礼盒的数量多5盒，求A，B两种粽子礼盒的单价分别是多少元？
23．（本小题满分6分）截至2025年3月10日，电影《哪吒之魔童闹海》的票房突破148.87亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：A．哪吒，B．敖丙，C．太乙真人，D．申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片．求下列事件发生的概率：
（1）第一次取出的卡片图案为“A．哪吒”的概率为________．
（2）用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“A．哪吒”和“C．太乙真人”的概率．
24．（本小题满分8分）如图，菱形的对角线与相交于点，点为中点，连接并延长至点，使得，连接、．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若菱形的周长为40，平行线与间的距离为7，求四边形的周长．
25．（本小题满分8分）某服装经销商计划购进型、型两种型号的童装．若购进1件型童装和1件型童装需用50元，若购进2件型童装和3件型童装需用120元．
（1）求每件型童装和每件型童装的进价各为多少元．
（2）该经销商计划用不超过2500元的成本，购进型童装和型童装共100件．若型童装的定价为260元；型童装的定价为220元，且全部以定价售完该批童装．该经销商获得的最大利润是多少元？
26．（本小题满分8分）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数，）与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）将抛物线记为，将抛物线记为，与合起来的图象记为．对于上的两点和，当，时，总有，求的取值范围．
27．（本小题满分12分）如图，点A，B，C在上，为的直径，延长至点D，使得，点E是弦上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦的垂线，交于点F，交的延长线于点N，交于点M（点M在劣弧上）．
（1）是的切线吗？请你作出判断并给出证明．
（2）若，，，求的面积．
（3）若的半径为1，设，，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

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