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2026年春期九年级中招模拟训练
数学试卷（一）
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．如图所示的四个点中，表示绝对值最大的数的点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
2．如图是鲁班锁的一种经典模型——好汉锁，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．只有主视图和左视图相同 B．只有主视图和俯视图相同
C．只有左视图和俯视图相同 D．三种视图都一样
3．科学家可以使用冷冻显微术以高分辨率测定溶液中的生物分子结构，使用此技术测定细菌蛋
白结构的分辨率达到米．将数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．将一个含角的三角尺和直尺按如图2摆放，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
6．如图，四边形内接于，为的直径．若，，，则的长为（ ）
A．4 B． C．6 D．
7．已知方程组：，则的结果是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．
8．喜欢魔术表演的小亮想在“勺子”“杯子”“筷子”三个道具中任选两个对同学们进行魔术表演，则他正好选中“勺子”“杯子”的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点为坐标原点，点在轴上，，，平分交于点，若点恰好为的中点．将沿翻折，点落在平面内点处，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度（）是液体的密度（）的反比例函数，其图象如图所示（）．下列说法不正确的是（ ）
A．随的增大而减小 B．当时，
C．当时， D．当时，
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．写出一个当时，随的增大而增大的二次函数的表达式：_____________．
12．四大名著承载着无数文化精华，它们代表了中国古典小说的最高成就．某校为了解本校1200名学生最喜欢的四大名著的情况，随机抽取了300名学生就“你最喜欢的四大名著”展开了问卷调查（每人只选一本），其中有80人最喜欢《三国演义》，据此，估计该校学生中最喜欢《三国演义》的人数为_____________．
13．观察，，，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第2026个单项式是_____________．
14．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，均在小正方形的顶点上，经过点，，且，则的长为_____________．
15．定义：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．在中，，，．点是边上一点，连接，若是准互余三角形，则的长为_____________．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：；（2）化简：．
17．（9分）为落实中共中央、国务院印发的《教育强国建设规划纲要（2024—2035年）》中“健康第一”的教育理念，某校对全校学生进行体能测试，测试分为20个具体项目，每个项目达到合格或以上得5分，达不到合格得0分．从九（1）班和九（2）班各随机抽取了20名学生的成绩进行整理，绘制了如下不完整的统计表、条形统计图及数据分析表．
九（1）班20名学生成绩 九（2）班20名学生成绩
数据收集 85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95 90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．
数据整理 分数80859095100人数334
数据分析 统计量平均数中位数众数方差班级九（1）班919541.5九（2）班9026.5
根据以上信息，回答下列问题．
（1）填空：_____________，_____________，_____________，_____________，_____________，并补全条形统计图；
（2）你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由．
18．（9分）如图，切于点，连接．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出的中点．（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）连接并延长至点，使，连接，，．求证：四边形为矩形．
19．（9分）如图，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，直角顶点在轴上，顶点在轴上，顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）等腰直角三角板的斜边交轴于点，求点的坐标．
20．（9分）【问题背景】2026年4月23日是第31个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进30个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
素材一：有，两种书架可供选择，种书架的单价比种书架单价高；
素材二：用17600元购买种书架的数量比用10000元购买种书架的数量多6个；
素材三：种书架数量不少于种书架数量的．
【问题解决】
（1）问题一：求出，两种书架的单价；
（2）问题二：设购买个种书架，购买总费用为元，求与的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案．
21．（9分）某数学兴趣小组计划测量一个通讯塔（通讯塔底部不可到达）的高，并以此为课题安排了一次名为“以数学丈量通讯塔高度”的主题活动．
实践主题 以数学丈量通讯塔高度
实践目标 运用所学知识进行实地测量，深入探究数学知识
工具准备 测角仪、测距仪、作图工具等
测量方案及数据 小组成员在坡底处测得塔顶的仰角为，沿坡比为的斜坡前行米到达点处，在点处测得塔顶的仰角为
测量示意图及说明 点，在同一条直线上，，所有点均在同一平面内
参考数据 ，，
请根据以上表中的测量方案及数据，求该通讯塔的高（结果保留整数）．
22．（10分）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示．
x … -1 0 1 2 3 …
y … -3 m 1 0 -3 …
（1）求二次函数的表达式；
（2）写出二次函数图象的顶点坐标为_____________，的值为_____________，在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象；
（3）将二次函数的图象向左平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为3，请直接写出的值．
23．（10分）【问题发现】
（1）如图1，是正方形的边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，交于点．若，则线段的长为_____________；
【类比应用】
（2）如图2，E是菱形的对角线上一点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，，交于点G．若，，求线段的长．
【拓展探究】
（3）如图3，在矩形中，为射线上一动点，连接，取的中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，射线交射线于点．若，，，请直接写出线段的长．九年级中招模拟测试数学试卷（一）参考答案
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．A； 2．D； 3．B； 4．C；5．C； 6．B；7．A； 8．C； 9．B； 10．D．
二．填空题（每题3分，共15分）
11．y=(x-2)2(答案不唯一)； 12．320； 13．a2026； 14．； 15．或．
三．解答题（本大题8个小题，共75分）
16．（10分）解：(1)； (2)﹣
17．（9分）解：(1)7，3，91，92.5，90………………………………………5分(每空1分)
如图所示………………………………………………………7分
(2)九(1)班成绩更好.…………………………………………8分
理由:九(1)班和九(2)班的平均成绩相同，但九(1)班的中位数和众数都比九(2)班高.因此九(1)班成绩较好.
………………………………………9分(答案不唯一，合理即可)
18．（9分）解：(1)如图所示…………………………………3分
(2)证明：∵BA切⊙O于点A
∴∠OAB=90°……………………………………………4分
由(1)知，M为OB的中点
∴AM=OB…………………………………………………5分
∵AC=OB，∴AM=AC
∴AM=CM,又OM=BM
∴四边形OABC为平行四边形.………………………………………………………………8分
又∠OAB=90°
∴四边形OABC为矩形.………………………………………………………………………9分
19．（9分）解：(1)将M的坐标(-6，-6)代入反比例函数y＝(x<0)得
k=(-6)×(-6) = 36.
∴反比例函数的解析式为y= ………………………3分
(2)作MA丄y轴于点A
∵∠MPN=∠MPA+NPA=90°,又∠PNO+NPA=90°.
∴∠MPA=∠PNO,又∵∠MAP=∠NOP=90°,PM=PN
∴△PMA≌△NPO………………………………………………………………………………5分
∴MA=PO=6,ON=PA=PO+OA=6+6=12,…………………………………………………………6分
∵MA丄y轴,x轴丄y轴
∴MA//ON∴△NOQ∽△MAQ，
∴ = = =2,∴ = AO= ×6=4………………………………………………………8分
∴Q(0，-4)…………………………………………………………………9分（其它方法均可）
20.（9分）解：(1)设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为(1+10%)x元.
由题意得 = +6……………………………………………………………………2分
解得x=1000，……………………………………………………………………………………3分
经检验，x=1000是分式方程的解，且符合题意，……………………………………………4分
(1+10%)x=1100.
答:A，B两种书架的单价分别为1100元，1000元.…………………………………………5分
(2)当购买a个A种书架时，购买总费用w=1100a+1000(30﹣a)=100a+30000 ……………6分
由题意得，a≥(30﹣a)
解得a≥12………………………………………………………………………………………7分
∵100>0,∴w随着a的增大而增大
当a=12时，w的值为100×12+30000=31200，此时30﹣12=18……………………………8分
答：w与a的函数关系式为w=100a+30000，费用最少时购买A种书架12个，B种书架18个. ……………………………………………………………………………………………9分
21.（9分）解：如解图,过点E分别作EF丄BC交BC的延长线于点F,EG丄AB于点G,
∵AB丄BC,
∴四边形EFBG为矩形，∴BG=EF,EG=BF.…………………………………………………1分
∵斜坡CD的坡比为1:2.4=5：12,CE=26米，
设EF=5x,则CF=12x,
在Rt△EFC中，(5x)2+(12x)2=262,
解得x=2(负值已舍去)，
∴EF=BG=10米,CF=24米.…………………3分
在Rt△ABC中， tan∠ACB=tan45°==1
∴AB=BC,……………………………………5分
在Rt△AEG中,tan∠AEG=tan 20°===≈0.36,
解得AB≈29.…………………………………………………………………8分(其它方法均可)
答:该5G通讯塔的高AB约为29米. ………………………………………………………9分
22.（10分）解:(1)由抛物线经过点(-1,-3)和(3,-3)可知
∴抛物线的顶点坐标为(1,1)
设该抛物线的解析式为y=a(x- 1) +1(a≠0)
将(2,0)代入得a(2-1)2+1=0
解得a = -1，
∴该抛物线的解析式为:y=-(x-1)2+1=-x2+2x ……………3分
(写成顶点式也可，其它方法均可)
(2)(1,1)，0， ………………………………5分(每空1分)
如图所示 ………………………………………………7分
(3)4-或1+ ………………………10(写对一个得2分)
23.（10分）解：(1)………………………………………2分
(2)如图，作EM//AB交BC于点M，
∵AC=3AE=3，∴AE=1,CE=2,
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴∠ADC=∠B=60°，AB=BC=CD=DA
∴△ABC、△CEM和△ADC是等边三角形
∴EM=CM=CE=2……………………………………3分
∠ACB=∠ACD=∠CAD=∠ADC=60°，
又∠EDF=60°∴∠ADE=∠CDF，又DE=DF
∴△ADE≌△CDF，∴CF=AE=1………………………………………………………………5分
∠DCF=∠DAC=60°，∠BCF=180°，∴B、C、F共线
∵EM//AB//CD,∴△FGC∽△FEM，
∴ = =
∴CG= ×2= ………………………………………………………………7分(其它方法均可)
(3)……………………………………………………………………10分(写对一个得2分)

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