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东北师范大学慧仁实验学校2025-2026学年下学期九年级综合练习
数学学科
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．2026马年央视春晚中，机器人表演的节目《武》中展示了单腿连续后空翻、扫堂腿等高难度动作．若机器人做前空翻8个记作+8个，则做后空翻12个记作
A．+4个 B．-4个 C．+12个 D．-12个
2．下列运算正确的是
A． B． C． D．
3．如图摆放的奶茶杯子，它的俯视图是
A． B． C． D．
4．如图是某木质屋顶结构的外框示意图，其中，为横梁，为竖梁，且点在上．在安装竖梁时，只需测量，即可确定垂直于．这一操作的数学依据是
A．垂线段最短
B．三角形具有稳定性
C．等腰三角形“三线合一”
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等
5．如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，则下列乒乓球的尺寸中，不合格的是
产品参数
★ ★ ★ 型号 3星级
颜色 黄色
质量
直径
包装规格 10只/盒
（第5题图）
A． B． C． D．
6．图1为实时通讯的视频机器人，图2为其侧面示意图．机器人上半身与底座垂直，为屏幕支撑架，且．已知，当时，则支撑架到的距离为
A． B． C． D．
7．如图，中，，以为圆心适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于一半的任意的长为半径画弧交于点，作射线交于点，已知，，则的面积为
A．12 B．24 C．16 D．8
8．日常生活中的“盐水”，是指含有氯化钠的水溶液．如图，用三个点分别表示甲、乙、丙三瓶盐水的浓度与盐水的质量的对应关系（盐水处于不饱和盐水的浓度和状态），其中甲、丙两点恰好在反比例函数（，为常数）的图象上．若甲、乙、丙三瓶盐水中含氯化钠的质量分别为、、，则其大小关系为（提示盐水的浓度）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
9．若，则__________．
10．若与的和仍是单项式，则的值等于__________．
11．若是关于的方程的解，则代数式的值为_______．
12．如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，的中点为圆心，则该扇形的面积为_________．
13．如图，六边形和五边形都是正多边形，连接交于点，那么_________．
14．如图，在中，，于点，于点，、交于点，、的延长线交于点．给出下面四个结论：
①；
②点是的中点；
③
④当时，．
上述结论中，正确结论的序号是_____________．
三、解答题：本题共10个小题，共78分．
15．（6分）先化简，再求值：，其中．
16．（6分）2025年春节联欢晚会在境内新媒体端的实时直播收视次数和互动量均创新记录，特别是魔术《画蛇添福》用意想不到的方式送上新春祝福．数学探究小组受到启发，准备了重量相等的筷子、杯子、勺子三样东西，将准备好的三样东西分别放在三个完全相同的盒子里（注：这三个盒子的形状、大小、质地、颜色等其他方面完全相同），任意摆放在桌子上，先从中随机抽取一个盒子打开，记下该盒子里面的东西的名称．再从剩下的两个盒子中随机抽取一个盒子打开，记下该盒子里面的东西的名称．用列表法或画树状图法中的一种方法，求抽到两个盒子里面分别是筷子和勺子的概率．
17．（6分）生物老师需要用洋葱进行生物课实验，已知上周生物老师用20元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因、本周洋葱单价上涨了20%，生物老师花了30元，但只比上周多购买了10斤洋葱．求本周生物老师购买的洋葱单价为每斤多少元？
18．（7分）如图，将两块完全相同的含有角的直角三角尺、（，）在同一平面内按如图方式摆放，其中点、、、在同一直线上，连接、．若四边形是菱形，当时，求的长．
（1）直接判断四边形是哪种特殊四边形；_____________；（不需要证明）
（2）已知，若四边形是菱形，求的长．
19．（7分）图①、图②、图③均是的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画图形．
（1）在图①中画一个直角三角形，使它的三边长均为有理数；
（2）在图②中画一个正方形，使其面积为10；
（3）在图③中画一个平行四边形，使其一条对角线长为，另一条对角线长为有理数．
20．（7分）为了解慧仁学校初中学生对DeepSeek等智能软件的使用情况，学校举办了智能软件使用技能竞赛、现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：
八年级抽取20名学生的竞赛成绩为：65，66，70，75，77，81，82，82，82，83，84，87，88，89，92，95，96，98，98，100．
九年级抽取20名学生的竞赛成绩在B组的数据是：81，82，85，86，87，88．
八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表
年级 八年级 九年级
平均数 84.5 84.5
中位数 83.5
众数 79
方差． 102.75 122.5
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：_______，_______；_______；
（2）请根据以上数据进行分析，你认为学校八、九年级中哪个年级学生的技能竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）学校八年级有320学生，九年级有200名学生，请估计八年级和九年级两个年级竞赛成绩为优秀（）的学生共有多少名？
21．（8分）甲、乙两辆满载水果的运输车同时从地出发前往地，甲车匀速行驶至距离地的地时发生故障原地维修，后维修完毕，甲车再次匀速行驶，经过到达地．乙车匀速行驶到达距离地的地，接着花费卸载水果，然后立即原路匀速返回地，乙车回到地时恰好甲车到达地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距离地的距离（单位：）与它们离开地的时间（单位：）之间的函数图象如图所示．
请结合图象信息，解答下列问题：
（1）图中的值为________，甲车维修后再次出发的速度为________；
（2）求乙车由地返回地的过程中，与的函数关系式；
（3）直接写出当甲、乙两车相距时的值．
22．（9分）
【问题背景】通过轴对称的性质，我们可知：对称轴上的任意一点到对称点的距离相等．利用这个结论，我们可以找到任意一对成轴对称关系的图形的对称轴．
【操作】如图①，点和点关于直线对称，请利用直尺和圆规作出直线（保留作图痕迹，不必写作法），并在直线上取一点（点不与点、点共线），连结线段和线段，直接写出和的数量关系：_____：
【探究】如图②，在矩形中，，，、分别为边、上的动点，且，将右侧的矩形沿所在直线进行翻折，的对应边记为，连接，交于点，试判断与的数量关系，并说明理由；
【拓展】如图③，在【探究】的条件下，连结，点在运动过程中，直接写出的最小值．
23．（10分）在中，，，点是射线上一点，过点作点，将绕点逆时针方向旋转到，旋转角记为（）．过点作直线于点，交直线于点，连接．
（1）点到的距离是_____；
（2）当时，_____；
（3）若，当落在所在直线上时，求的度数；
（4）若时，当点、、共线时，直接写出的长．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点和点（点在点的左侧）．连接，点为抛物线上一动点（不与点、、重合），其横坐标为．
（1）直接写出点和点的坐标：________，________；
（2）设抛物线上点与点之间的部分（包含点和点）为图象，当图象的最高点和最低点的纵坐标之差为8时，求的值；
（3）如图2，点在第四象限抛物线上，且四边形是轴对称图形时，求．
（4）连接，若的内角或中至少有一个角与相等，请直接写出点的坐标．

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