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大武口区2026年初中学业水平模拟考试
数学试题参考答案及评分标准
说明：
1．除本参考答案外，其它正确解法可根据评分标准相应给分．
2．涉及计算的题，允许合理省略非关键步骤．
3．以下答案中右端所注的分数，表示考生正确做到这步应得的累积分．
一、选择题（3分×8＝24分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D A B D C D
二、填空题（3分×8＝24分）
9．； 10．＞； 11．； 12．；
13.2； 14．； 15．； 16.8，12．
三、解答题（每小题6分，共36分）
17．解：原式 4
6
18．解：原方程变形为：
，
，
，
，
，
4
检验：当时，，
所以原分式方程的解为：． 6
19．解：（1）如图，点即为所求．
3
（2）如图，点即为所求．
6
20．解：（1）证明：由条件可知，即，
四边形是平行四边形，
根据作图可知：，
∴四边形是矩形； 3
（2）解：，，，
，
，
由条件可知， 4
，
，分别为，的中点，
∴， 5
∴ 6
21．（1）设辆型车载满葡萄一次可运送吨，辆型车载满葡萄一次可运送吨，
， 2
解得， 3
答：辆型车载满葡萄一次可运送吨，辆型车载满葡萄一次可运送吨．
（2）设租用车辆，
由题意可得，（）≥， 5
至少租用型车辆 6
22．（1）； 1
（2）由（1）知总人数为（人），
∴每周使用智能软件的时间在这一组的人数为：，
∴补全频数分布直方图为：
2
（3） 4
（4）×（人）， 6
四、解答题（23题、24题每题8分，25题、26题每题10分，共36分）
23．（1）证明：如图，过点作于点，则，
，，
，，
，
∴； 3
（2）， 5
（3）解：，，
，
由题意，得，且，
，
答：，两岛间的距离为． 8
24．（1）证明：如图，为的直径，为延长线上一点，过点作的切线，切点为．连接，
，，，
，
，
，
，
∴平分∠； 4
（2）解：如图，过点作于点，连接，，则，
∵过点作⊙的切线，切点为， 5
∴，即，
∵，
∴，
∴四边形为矩形， 6
∴，
∵，，
∴，
∵的直径为，
∴，
在直角三角形中，由勾股定理得，
∴． 8
25．（1）解：∵分别交轴、轴于、两点，
∴当时，，当时，，
∴、点的坐标为：（，），（，）． 2
将，代入得；
将，代入得，
解得．
∴抛物线解析式为：， 3
（2）解：如图，
设交轴于点，则，．
，．
，，
，
∴·∠（）×， 4
又点在抛物线上，且，
．
∴． 5
∴当时，有最大值． 6
（3）存在， 7
点坐标为（，），（，）或（，）． 10
26．解：（1）； 2
（2）解：项目组方案：如图，过点作于点，
则，
由折叠的性质可知，
，
．
，
，，
．
，
；
项目组方案：过作，交延长线于点，
则，，
由折叠的性质可知，
，
．
，
；
项目组方案：如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点，
则，
．
由折叠的性质可知，
，
，
，
． 6（选一种方案即可）
（3）证明：平分，
．
，
．
，，
．
，
． 8
．
，
．
由（2）知，
． 10大武口区2026年初中学业水平模拟考试
九年级数学试题
说明：
1．考试时间120分钟，满分120分．
2．考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生须在答题卡左侧划线处完整填写自己的信息，并将自己的准考证号填写清楚，在准考证号区域用2B铅笔填涂考号．要求粘贴条形码的市、县（区），考生应认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在指定位置上．
2．作答必须使用黑色中性（签字）笔或黑色墨迹钢笔书写，字体工整，笔迹清楚．
3．按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
4．保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损．
县区___________ 考 点___________
考场___________ 座位号___________
姓名___________ 准考证号_________
数学试题
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求）
1．我国是历史上最早认识和使用负数的国家．至迟成书于东汉早期的我国古代数学著作《九章算术》，在“方程”一章中提出了正数、负数的概念． 的倒数是（ ）
A． B．±
C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．年，搭载水质分析系统的“蛟龙号”深潜器在深海热泉口开展探测任务，传感器在采集的水样中，发现了一种未知的极端微生物，它的直径仅为．将数据用科学记数法表示应为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图是由个同样大小的小正方体摆成的几何体．将小正方体①移走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是（ ）
A．主视图不变，左视图不变 B．主视图改变，左视图改变
C．俯视图不变，主视图不变 D．主视图改变，俯视图改变
5．如图，在平面直角坐标系中，点，，都在格点上，将关于轴的对称图形绕原点旋转，得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
6．在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为．当时，的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
8．如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点．以下说法正确的是（ ）
①运动后，；
②的值随着运动时间的改变而改变；
③的值不变；
④当时，运动时间为．
A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．因式分解________．
10．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则（填“＞”“＜”或“”）．
11．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________．
12．如图，是的内接三角形，．若的半径为，则劣弧的长为________．（结果保留）
13．《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解，．类似地，方程的正整数解的个数是________．
14．在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为________．
15．如图，在菱形中，，对角线的长为，是的中点，是上一点，连接．若，则的长为________．
16．如图，在中，，，．动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图所示．
（1）________；（2）________．
三、解答题（本题共10道小题，其中17、18、19、20、21、22题每题6分，23、24题每题8分，25、26题每题10分，共72分）
17．计算：
18．解分式方程
19．如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图中找出的中点；
（2）点在的边上，且满足，请确定点的位置．
20．如图，在中，，分别为，的中点．是上一定点，按以下步骤尺规作图：
①以点为圆心，为半径作弧，交于另一点；
②分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；
③作射线，交于点，点在的延长线上，且．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，，，求的长．
21．2026年5月，贺兰山东麓葡萄酒正式入选“中欧地理标志协定”第二批保护名录，加快走向国际市场．某酒庄为赶制出口订单，需将一批酿酒葡萄运往加工厂．若用1辆A型车和2辆B型车载满葡萄一次可运走11吨；用2辆A型车和1辆B型车载满葡萄一次可运走13吨．根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车载满葡萄一次可分别运送多少吨？
（2）现有葡萄不少于32吨，计划同时租用A型、B型车共8辆，且每辆车都载满葡萄，请问至少租用A型车多少辆？
22．年月，在第五届全民阅读大会上发布的第二十三次全国国民阅读调查显示：年我国周岁未成年人数字化阅读方式接触率大幅提升，多数受访者认为智能软件在提供个性化推荐方面有帮助．某校科技小组受此启发，为了解本校学生使用智能软件的实际情况，开展了如下统计活动．
【收集数据】
科技小组设计了如下调查问卷，在全校随机抽取部分学生进行调查，收集得到“问题”和“问题”的数据．（被调查学生两个问题全部按要求作答并提交）
调查问卷
问题：你使用智能软件的主要目的是（ ）．（单选） A．学习管理 B．健康 C．时间管理 D．其他 问题：你每周使用智能软件的时间是________分钟．
【整理和表示数据】
第一步：将“问题”的数据进行整理后，绘制成如下的人数统计表；
第二步：将“问题”中每周使用智能软件的时间（分钟）整理分成组：①，②，③，④，并绘制成如下的频数直方图．
学生使用智能软件主要目的的人数统计表
目的 人数累计 人数
A 正正正正正正
B 正正丅
C 正正正
D
学生每周使用智能软件时间的频数直方图
（1）若将“问题”的数据绘制成扇形统计图，则目的“B”对应的扇形圆心角的度数为________°；
（2）补全频数直方图；
【分析数据，解答问题】
（3）已知“”这组的数据是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．被调查的全部学生每周使用智能软件时间的中位数为________；
（4）全校共有名学生，请你估计使用智能软件主要用于“学习管理”的人数．
23．综合与实践
【阅读材料】
如图，在中，，，的对边分别为，，．求证：．
证明：过点作于点
，，，，
，
．
（1）如图，在中，、、的对边分别为，，．求证：．
【初步应用】
（2）在中，，，分别是，，的对边．已知，，，则________．
【综合应用】
沙湖是宁夏回族自治区石嘴山市境内重要的生态湿地和级旅游景区，也是西北地区较大的人工与自然交汇型湖泊，兼具生态调节、休闲观光、候鸟栖息地保护等多重功能．某综合与实践小组计划绘制一幅沙湖局部区域平面示意图，在绘图过程中，需要精准获取湖中、两岛间的实际距离．由于沙湖部分水域芦苇丛生、地形复杂，且两岛间无直接通航路径，无法使用测距仪直接测量两岛距离．针对这一实际难题，该小组展开了测量方案的探究与设计．
【方案设计】
工具：测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）．
测量过程：
步骤：如图，在空旷地找一点；
步骤：利用无人机多次测量并取平均值，测得，；
步骤：利用测距仪多次测量并取平均值，测得．
（3）请你利用【阅读材料】中的结论，计算，两岛间的距离．（参考数据：，，，结果保留整数）
24．如图，为的直径，为延长线上一点，过点作的切线，切点为．过点作于点，交于点，连接．
（1）求证：平分；
（2）若的直径为，，求的长．
25．如图，一次函数分别交轴、轴于、两点，抛物线过、两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直轴的直线，在第一象限交直线于，交这个抛物线于．求当取何值时，有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，是否存在以、、、为顶点的平行四边形，若存在，请直接写出顶点的坐标．
26．（1）探索发现
年月，中国某纸艺品牌受邀参加联合国总部“文明互鉴·和美共生”传统工艺国际巡展，以风琴屏风等纸艺作品向世界展示东方纸艺的现代生命力．一张纸经过巧妙折叠，可形成从平面到立体的万千变化．某中学项目组在探究折纸与数学关系时发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图，请你帮助项目组判断与的数量关系为________．
（2）猜想验证
项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明．
（3）拓展应用
如图，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：．

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