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(共27张PPT)
27.2 反比例函数的图象和性质
（第1课时）
人教版 数学 九年级 上册
人教版 九年级 数学（上）
第二十七章 反比例函数
27.2 反比例函数的图象和性质
（第1课时）
导入新知
（2）试一试，你能在坐标系中画出这个函数的图象吗？
刘翔在2004 年雅典奥运会110 m 栏比赛中以 12.91s 的成绩夺得金牌，被称为中国“飞人” .如果刘翔在比赛中跑完全程所用的时间为 t s，平均速度为v m/s .
（1）你能写出用t 表示v 的函数表达式吗
2. 结合图象分析并掌握反比例函数的性质.
1. 会用描点法画出反比例函数的图象 .
学习目标
3. 体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法.
画出反比例函数与的图象.
探究新知
知识点
反比例函数的图象和性质
【想一想】
用“描点法”画函数图象都有哪几步？
列表
描点
连线
解：列表如下：
x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 …
… …
… …
探究新知
注：x的值不能为零，但可以以零为基础，左右均匀、对称地取值.
O
－2
描点：以表中各组对应值作为坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
5
6
x
y
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
－3
－4
－1
－5
－6
－1
－2
－3
－4
－5
－6
连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可
得的图象．
探究新知
O
－2
5
6
x
y
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
－3
－4
－1
－5
－6
－1
－2
－3
－4
－5
－6
观察这两个函数图象，回答问题：
【思考】
(1) 每个函数图象分
别位于哪些象限？
(2) 在每一个象限内，
随着x的增大，y 如何
变化？你能由它们的
解析式说明理由吗？
探究新知
x增大
y
减小
(3) 利用信息技术工具，画反比例函数 (k＞0)的k取不同值时的图象(如图)，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？
探究新知
（1）由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限，它们与x 轴、y 轴都不相交；
（2）在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
反比例函数 (k＞0)的图象和性质：
归纳：
探究新知
O
x
y
(1)函数 的图象在第_______象限，在每个象限内， y随x的增大而 ______.
一、三
减小
(2)已知反比例函数 在每一个象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是_____.
m＞2
探究新知
做一做：
观
察
与
思
考
当 k =－2，－4，－6时，反比例函数 的图象，有哪些共同特征？
y
x
O
y
x
O
y
x
O
探究新知
回顾上述过程，我们从特殊到一般、数形结合地研究了反比例函数 (k＞0)的图象和性质，你能用类似的方法研究反比例函数 (k＜0)的图象和性质吗？
y
x
O
y
x
O
y
x
O
探究新知
反比例函数 (k＜0) 的图象和性质：
（1）由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限，它们与x轴、y轴都不相交；
（2）在每一个象限内，y随x的增大而增大.
归纳：
探究新知
y
x
O
反比例函数的图象和性质
形状
位置
增减性
图象的发展趋势
对称性
由两支曲线组成的.因此称它的图象为双曲线;
当k>0时,两支双曲线分别位于第一、三象限内;
当k<0时,两支双曲线分别位于第二、四象限内;
当k>0时,在每一象限内, y随x的增大而减小;
当k<0时,在每一象限内, y随x的增大而增大.
反比例函数的图象无限接近于x、y轴,但永远不能到达
x、y轴.
（1）反比例函数的图象是轴对称图形.直线y=x和y=-x都是它的对称轴；（2）反比例函数与的图象关于x轴对称,也关于y轴对称.
探究新知
A. y1 > y2
B. y1 = y2
C. y1 < y2
D. 无法确定
C
反比例函数 的图象上有两点 A(x1，y1)，B(x2， y2)，且点A，B 均在该函数图象的第一象限部分，若 x1＞ x2，则 y1与y2的大小关系为 （　　）
解析：因为8＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的第一象限
部分，根据 x1＞x2，可知y1，y2的大小关系.
探究新知
利用反比例函数的性质比较大小
素养考点 1
已知点 A（－3，a），B（－2，b）在双曲线 上，则 a___b(填>、=或<).
>
巩固练习
已知点(-1,y1),(2,y2),(3,y3)在反比例函数 （k≠0) 的图象上,则下列结论中正确的是(　　)
A.y1>y2>y3　　B.y1>y3>y2 C.y3>y1>y2 D.y2>y3>y1
B
已知反比例函数 ，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大，求a的值.
解：由题意得a2+a－7=－1，且a－1<0．
解得 a=－3.
探究新知
利用反比例函数的图象和性质求字母的值
素养考点 2
已知反比例函数 在每个象限内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值．
解：由题意得 m2－10=－1，且 3m－8＞0．
解得m=3.
巩固练习
1.（广东广州中考）若|k|=-k(k≠0)，反比例函数的图象
在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
链接中考
C
2.（天津中考）若点A(-3,y1),B(1,y2),C(3, y3)都在反比例函数的图象上，则y1,y2,y3的大小关系是（ ）
A．y1C．y1D
1. 对于反比例函数 ，下列说法不正确的是（　　）
A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上
B．它的图象在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
C
课堂检测
基础巩固题
(1)
k＜1
3. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论：
(1) 经过点 (－1，12) 和点 (10，－1.2)；
(2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；
(3) 双曲线位于二、四象限.
其中正确的是 (填序号).
课堂检测
2.已知反比例函数 （k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是________．
(3)
1.已知点 都在反比例函数
的图象上,则 y1、y2与 y3的大小关系 (从大到小)为 .
A(-2,y1),B(-1,y2),C(4,y3)
y3 ＞y1＞y2
课堂检测
能力提升题
2. 已知反比例函数 y = mxm －5，它的两个分支分别在第一、第三象限，求 m 的值.
解：因为反比例函数 y = mxm －5 的两个分支分别在第一、
第三象限，
所以有
m2－5=－1，
m＞0，
解得 m=2.
课堂检测
点 (a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数 (k＞0) 的图象上，若y1＜y2，求a的取值范围.
解：由题意知，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小.
∴a－1＞a+1，无解；
②当这两点分别位于图象的两支上时，
∵y1＜y2，∴必有 y1＜0＜y2.
∴a－1＜0，a+1＞0， 解得－1＜a＜1.
故 a 的取值范围为－1＜a＜1．
课堂检测
拓广探索题
① 当这两点在图象的同一支上时，
∵y1＜y2，
解析式 图象 所在 象限
渐进性 k>0，
一、三象限
双曲线
k﹤0，
二、四象限
x
y
o
x
y
o
当k>0时,在每一象限
内, y随x的增大而减小
当k﹤0时,在每一象限
内, y随x的增大而增大
增减性
双曲线的两支无限靠近坐标轴，但无交点
对称性
是轴对称图形
与 的图象关于x轴对称,也关于y轴对称
课堂小结
或
或
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习(共46张PPT)
人教版 九年级 数学（上）
第二十七章 反比例函数
27.1 反比例函数的图象和性质
（第2课时）
二、四象限
一、三象限
函数 正比例函数 反比例函数
解析式
图象形状
k>0
k<0
位置
增减性
位置
增减性
y=kx ( k≠0 )
直线
双曲线
y随x的增大而增大
一、三象限
在每个象限， y随x的增大而减小
二、四象限
y随x的增大而减小
在每个象限， y随x的增大而增大
正比例函数和反比例函数的区别
用对比的方法去记忆效果如何？
导入新知
y
x
o
y
x
o
o
y
x
o
y
x
3. 深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法.
1. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中.
2.能解决反比例函数与一次函数的综合问题．
学习目标
已知反比例函数的图象经过点A(-2，4).
(1)这个函数的图象位于哪些象限 y随x的增大如何变化
(2)点B(1，-8)、C(， ）和D（2，4）是否在这个函数的图象上？
探究新知
知识点 1
利用待定系数法确定反比例函数解析式
解：（1）反比例函数图象的位置只有两种可能:位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限.因为点A（-2,4）在二象限，所以这个函数的图象位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大.
解：（2）设这个反比例函数的解析式为，
因为点A (-2，4)在其图象上，所以点A的坐标满足，即，解得 k =-8.
因为点 B，C 的坐标都满足，点D的坐标不满足，所以点 B，C 在函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.
因此，这个反比例函数的解析式为 .
探究新知
方法总结：已知反比例函数图象上一点，可以根据坐标确定点所在的象限，然后确定反比例函数的性质.或用待定系数法求出反比例函数的解析式，再判断图象性质；要判断所给的点是否在该图象上，可以将其坐标代入求得的反比例函数解析式中，若满足左边＝右边，则在；若不满足左边＝右边，则不在．
【讨论】已知反比例函数图象上的一点,如何确定其图象的性质 以及所给的点是否在该图象上
探究新知
已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3)．
(1) 求这个函数的解析式；
解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)，
∴ 把点 A 的坐标代入解析式，得 ，
　　
解得 k = 6.
∴ 这个函数的解析式为 .
　　
巩固练习
(2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的图象上，并说明理由；
解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点C的坐标满足该解析式，所以点 B 不在该函数的图象上，点C 在该函数的图象上．
巩固练习
(3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围．
解：∵ 当 x = －3时，y =－2；
当 x = －1时，y =－6，且 k > 0，
∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小，
∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2.
巩固练习
解：（１）因为这个函数的图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限.
因为这个函数的图象位于第一、第三象限，所以m－5＞0，
解得 m＞5．　
探究新知
知识点 2
如图是反比例函数 的图象一支，根据图象，回答下列问题:
（1）图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？
（2）在这个函数图象的某一支上任取点A（x1，y1）和B（x2，y2）,如果x1>x2，那 么y1和y2有怎样的大小关系？
反比例函数的综合性题目
（２）因为m－5＞0，所以在这个函数图象的任意一支上，y都随x的增大而减小，
因此当x1＞x2时，y1＜y2．
【思考】根据反比例函数的部分图象，如何确定其完整图象的位置以及比例系数的取值范围
注：由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数y随x的增减性就不能连续的看，一定要强调“在每一象限内”，否则，笼统说k＜0时，y随x的增大而增大，从而出现错误.
探究新知
如图，是反比例函数 的图象的一个分支，对于
给出的下列说法：
①常数k的取值范围是 ；
②另一个分支在第三象限；
③在函数图象上取点 和 ，
当 时， ；
④在函数图象的某一个分支上取点 和 ，
当 时， ．
其中正确的是____________（在横线上填出正确的序号）．
①
巩固练习
②
④
O
x
y
在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下页表格：
知识点 3
反比例函数中k的几何意义
探究新知
5
1
2
3
4
－1
5
x
y
O
P
S1
S2
P (2，2)
Q (4，1)
S1的值
S2的值
S1与S2的关系
猜想 S1，S2 与 k的关系
4
4
S1=S2
S1=S2=k
－5
－4
－3
－2
1
4
3
2
－3
－2
－4
－5
－1
Q
探究新知
S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想与k 的关系
P (－1，4) Q (－2，2)
若在反比例函数 中也用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格：
4
4
S1=S2
S1=S2=－k
y
x
O
P
Q
S1
S2
探究新知
由前面的探究过程，可以猜想：
若点P是 图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形AOBP 的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.
探究新知
y
x
O
P
S
我们就 k < 0 的情况给出证明：
设点 P 的坐标为 (a，b)
A
B
∵点 P (a，b) 在函数 的图
象上，
∴ ，即 ab=k.
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；
若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0，
若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0，
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=a· (－b)=－ab=－k.
B
P
A
综上，S矩形 AOBP=|k|.
自己尝试证明
k > 0的情况.
探究新知
点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA 垂直于 y 轴，作 QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ= .
推理：△QAO与△QBO的面积和 k 的关系是
.
Q
对于反比例函数 ，
A
B
|k|
y
x
O
反比例函数的面积不变性
探究新知
要
点
归
纳
如图，点B在反比例函数 (x>0）的图象上，横坐标是1，过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足为A、C，则矩形OABC的面积为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
B
巩固练习
如图，点A在反比例函数 的图象上，AC垂直 x 轴于点C，且 △AOC 的面积为2，求该反比例函数的解析式．
解：设点 A 的坐标为(xA，yA)，
∵点A在反比例函数 的图象上，
∴ xA·yA＝k.
.
∴反比例函数的解析式为
探究新知
通过图形面积确定k的值
∴
∴ k＝4.
素养考点 1
巩固练习
如图所示，过反比例函数 （x>0）的图象上一点A，作AB⊥x轴于点B，连接AO.若S△AOB=3,则k的值为（ ）
A.4 B.5
C.6 D.7
C
如图，P，C是函数 (x>0)图象上的任意两点，PA，CD 垂直于x 轴. 设△POA 的面积为S1，则 S1 = ；梯形CEAD 的面积为 S2，则 S1
与 S2 的大小关系是 S1 S2；
△POE 的面积 S3 和 S2 的大小
关系是S2 S3.
2
S1
S2
＞
＝
S3
探究新知
利用k的性质判断图形面积的关系
素养考点 2
A. SA >SB>SC B. SAC. SA =SB=SC D. SA如图，在函数 (x＞0)的图象上有三点A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为SA ，SB，SC，
则( )
y
x
O
A
B
C
C
巩固练习
y
D
B
A
C
x
如图，点 A 是反比例函数 (x＞0)的图象上任意一点，AB//x 轴交反比例函数 (x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则
S四边形ABCD =___.
3
2
5

探究新知
根据k的几何意义求图形的面积
方法总结：解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换，转化为较容易求面积的图形.
素养考点 3
如图，函数 y＝－x 与函数 的图象相交于A，B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为C，D，则
四边形ACBD的面积为 ( )
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
D
y
x
O
C
A
B
D
4
4
巩固练习
在同一坐标系中，函数 　和 y= k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？
k2 >0
b >0
k1 >0
k2 >0
b <0
k1 >0
①
x
y
O
x
y
O
②
探究新知
知识点 4
一次函数与反比例函数的组合图形
k2 <0
b <0
k1 <0
k2 <0
b >0
③
x
y
O
k1 >0
④
x
y
O
探究新知
在同一坐标系中，函数 　和 y= k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？
函数 y=kx－k与 的图象大致是( )
D.
x
y
O
C.
y
y
A.
x
B.
x
y
O
D
O
O
k＜0
k＞0
×
×
×
√
k＞0
k＜0
由一次函数增减性得k＞0
由一次函数与y轴交点知－k＞0，
则k＜0
x
提示：可对 k 的正负性进行分类讨论.
探究新知
根据k的值识别函数的图形
素养考点 4
在同一直角坐标系中，函数 与 y = ax+1 (a≠0)的图象 可能是 ( )
A.
y
x
O
B.
y
x
O
C.
y
x
O
D.
y
x
O
B
巩固练习
如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数 的图象，观察图象，
当 y1﹥y2 时，x 的取值范围为 .
－2
3
y
x
0
－2< x <0 或 x >3
解析：y1﹥y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，
探究新知
通过函数图形确定字母的取值范围
方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加简洁明了.
可知－2< x <0 或 x >3.
素养考点 5
1＜x＜5
巩固练习
如图，直线y=k1x+b与双曲线 交于A、B两点，
其横坐标分别为1和5，则不等式 的
解集是_________．
已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (－3，4).
试求出它们的解析式，并画出图象.
由于这两个函数的图象交于点 P (－3，4)， 则点P 的坐标分别满足这两个解析式.
解：设 y=k1x 和 .
所以 ， .
解得 ， .
探究新知
利用函数的交点解答问题
素养考点 6
则这两个函数的解析式分别为 和 ，
它们的图象如图所示.
这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？
【想一想】
探究新知
反比例函数 的图象与正比例函数 y = 3x 的图象的交点坐标为 ．
(2，6)，(－2，－6)
解析：联立两个函数解析式解方程得
巩固练习
解得
链接中考
1.(宁夏中考)函数和的部分图象如图所示，点A在的图象上，过点A作AB∥y轴交x轴于点C，交的图象于点B．若AC=3BC，则的值为（ ）
A.-3 B. C. D.3
解析：如图所示，连接OA,OB，
由题意得AC=3BC， OC⊥AB，∴S△OAC=3S△OBC.
∵ S△OAC=，∴ S△OBC=.
∵ S△OBC=， ∴
∵<0，
y
x
O
C
A
B
A
∴.
∴
2.(四川巴中中考)如图，直线与双曲线交于A(-2,6),B(-6,a)两点．
(1)求m和直线的解析式；
(2)根据函数图象直接写出不等式的解集；
(3)求△ABO的面积．
链接中考
y
x
O
A
B
解：（1）将点A(-2,6)代入，得，
∴m=-12.
将点B(-6,a)代入，得
∴点B坐标为(-6，2).
∵直线过点A,B，∴
∴直线的解析式为y=x+8.
∴双曲线解析式为.
解得
链接中考
y
x
O
A
B
解：（2）∵A(-2,6),B(-6,2)，
∴不等式的解集为-6（3）如图，设直线AB交x轴于点C.
∵直线解析式y=x+8，
令y=0，得x=-8，
∴C(-8,0).
∴S△ABO=S△ACO-S△BCO=
C
课堂检测
D
基础巩固题
1.已知点P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数 的图象上，且a＜0＜b，则下列结论一定正确的是（　　）
A．m+n＜0 B．m+n＞0 C．m＜n D．m＞n
y1＜y2
课堂检测
2. 已知A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是反比例函数 图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为_________．
k>9
3. 在反比例函数 图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是_______．
1.如图，正比例函数 与反比例函数 的图象
交于点A（2，3）．
（1）求k、m的值；
（2）写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．
（2）由图象可知，正比例函数值大于反比例函数值时，x＞2.
能力提升题
课堂检测
解：（1）将A（2，3）分别代入 y=kx 和
可得 3=2k 和 ，
解得 ，m=6.
课堂检测
2. 如图，已知反比例函数 （x＞0）的图象与一次函数 的图象交于A和B（6，n）两点．
（1）求 k和n的值；
（2）若点C（x，y）也在反比例函数 （x＞0）的图象上，
求当2≤ x ≤6时，函数值 y的取值范围．
课堂检测
解：（1）当x=6时， ，
∴点B的坐标为（6，1）．
∵反比例函数 过点B（6，1），
∴k=6×1=6．
（2）∵k=6＞0，
∴当x＞0时，y随x值增大而减小，
∴当2≤ x ≤6时，1≤ y ≤3．
A
y
O
B
x
如图，反比例函数 与一次函数 y =－x + 2 的图象交于 A，B 两点.
(1) 求 A，B 两点的坐标；
解：
y=－x + 2 ，
解得
x = 4，
y =－2
所以A(－2，4)，B(4，－2).
或
x = －2，
y = 4.
课堂检测
拓广探索题
作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，
则AC=4，BD=2.
(2) 连接OA,OB求△AOB的面积.
解：设直线AB与x轴的交点为M，
∵直线解析式为y=-x+2,令x=0,得y=2，
则M (2，0)，∴OM=2.
O
A
y
B
x
M
C
D
∴S△OMB=OM·BD=×2×2=2.
∴S△OMA=OM·AC=×2×4=4.
∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6.
课堂检测
面积问题
与一次函数的综合
课堂小结
面积不变性
在求不等式解集或图形面积时可以通过双曲线和直线的交点坐标，结合图象进行分析
判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意b 的正负
反比例函数图象和性质的综合运用
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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