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2026年春期九年级中招模拟训练
数学试卷（二）
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．点A、B、C、D在数轴上的位置如图，则表示的相反数的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
2．把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以得到的几何体是（ ）
A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥
3．下列运算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．日常生活中，我们观察到的池塘水深比实际情况浅一些．如图，眼睛看到的点实际是在更深处的池底点处（点A，，O在一条竖直直线上）．若，则的度数为（ ）
A． B．
C． D．
5．据报道，研究人员发现迄今最远的超陡频谱射电晕，位于星系团的中心，该星系团距离地球约70亿光年，质量约为太阳的1000万亿倍．已知太阳的质量约为千克，则该星系团的质量用科学记数法表示，约为（ ）
A．千克 B．千克
C．千克 D．千克
6．某校美术社团进行阶段性成果考核，分别从专家组、教师组、学生组三个维度打分（满分均为100分），规定专家组评分按50%、教师组评分按30%、学生组评分按20%计入总成绩．若小华的三项得分依次为80分、85分、90分，则他的最终考核成绩是（ ）
A．82.5分 B．83.5分 C．85分 D．87.5分
7．如图，矩形内接于，点E是上一点，连接、，若，则的度数为（ ）
A． B．
C． D．
8．关于x的一元二次方程，则下列分析正确的是（ ）
A．当时，方程有两个不相等的实数根
B．当时，方程有两个相等的实数根
C．当时，方程没有实数根
D．方程的根的情况与p的值无关
9．如图，在中，，，以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点E，连接，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图1，在等腰三角形中，P为的中点，点Q从点P出发，沿的方向运动．设点Q运动的路径长是x，线段的长为y．图2是点P运动时，y随x的变化而变化的关系图象，E是曲线部分的最低点，则的长为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．九（1）班小颖统计了本班同学“五一”参与劳动的人数：男生有人，女生人数比男生的2倍多1人，则本班“五一”参加劳动的总人数是________．
12．一个正五边形每个内角的度数是________．
13．八段锦是一种中国传统健身功法，起源于北宋，其名称源自动作如锦缎般柔美流畅，且整套功法共分八式．体育课上，王老师制作了如图所示的圆形转盘（转盘被平均分成三份）．每位同学转一次转盘，转到哪一式就做出这一式的动作（若指针指在分界线上，则重转）．小兵、小丽转过转盘后做出动作，则他俩做出的动作不同的概率是________．
14．正方形在平面直角坐标系中的位置如图，、分别在轴、轴上，点在边上，点是点关于轴的对称点，与交于点，若，点的坐标为，则点的坐标为________．
15．在中，，，点绕点在平面内旋转，其对应点为点，点到点的最小距离为1，最大距离为7，则当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，的长为________．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：．
（2）化简：．
17．（9分）为深入落实科教兴国、人才强国战略，切实培育青少年科学素养与创新意识，激发广大青少年崇尚科学、探索未知、勇于创新的科学精神，某校开展了科技主题研学活动，活动结束后，学校以自愿报名的形式组织了校园科学知识竞赛，竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（均为5的倍数，单位：分，满分100分）中各随机抽取10名学生的成绩进行整理分析，并绘制了如下统计图表．
七、八年级所抽取学生成绩折线统计图
七、八年级所抽取学生成绩的统计量如下表：
平均数 众数 中位数 方差
七年级 92 90
八年级 92 90
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表格中的________，________，________（填“”“”“”）；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生科学知识掌握较好？请说明理由．
18．（9分）如图，小丽将两个分别含角和角的三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，重合的斜边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将三角板向下平移个单位，其顶点恰好落在反比例函数图象上，求的值．
19．（9分）如图，中，，为的中点．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，交于点．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，在的延长线上取一点，使，连接．求证：四边形为菱形．
20．（9分）为深入推进“书香校园”建设，营造浓厚读书氛围，某学校决定于5月中旬举办“校园读书节”，现需采购A，B两种图书．已知购买2本A种图书和3本B种图书共需170元，购买4本A种图书比购买5本B种图书多10元．
（1）求A，B两种图书的单价；
（2）该校计划购买A，B两种图书共50本，且B种图书的数量不超过A种图书数量的一半，通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少，并计算最少费用．
21．（9分）综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度．如图所示是护城河的一段，两岸，河岸上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米．小明先用测角仪在河岸的处测得，然后沿河岸走50米到达点，测得．请你根据这些数据帮小明他们算出河宽（结果保留整数）．
（参考数据：，，，，，）
22．（10分）某科学小组自行设计了一款火箭模型，并模拟了火箭的发射（竖直发射）过程，进一步探究发现，火箭的飞行高度与飞行时间满足二次函数关系，在一次模拟发射过程中，与之间的函数关系式为．
（1）当火箭离地面的高度为9 m时，飞行时间为________s；
（2）求火箭飞行多少秒时，离地面的高度最大？最大高度为多少米？
（3）若在火箭发射一段时间后，再将另一个完全相同的火箭以相同的速度从地面竖直发射，这两个火箭在某一时刻离地面的高度均为21 m，求两次发射相隔的时间．
23．（10分）综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验，对“勾股四边形”进行研究．
定义：存在相邻两边的平方和等于其中一条对角线的平方的四边形叫做“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
特例感知
（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“勾股四边形”的是________；
性质探究
（2）如图1，，，，．
①求证：无论取何度数，四边形一定为“勾股四边形”．
②若四边形也为“勾股四边形”，且，为勾股边，直接写出的度数．
拓展应用
（3）如图2，在中，，，，是边的三等分点，是边的中点，在边上取一点，使得四边形是“勾股四边形”．当和是勾股边时，请直接写出的长．九年级中招模拟测试数学试卷（二）参考答案
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．D； 2．A； 3．C； 4．A；5．D； 6．B；7．C； 8．A； 9．B； 10．B．
二．填空题（每题3分，共15分）
11． (3a+1)人； 12．108°； 13．； 14．(1,2)； 15．5或．解法如图：
三．解答题（本大题8个小题，共75分）
16．(10分)解：(1)； (2)
17．(9分)解：(1)100，90，>…………………………………………………………6分(每空2分)
(2)八年级学生科学知识掌握较好. ……………………………………………………………7分
理由:在平均数和中位数相等的情况下，八年级这10名学生成绩的方差较小，即成绩波动较小，比较稳定.(答案不唯一，言之有理即可)…………………………………………………9分
18．(9分)解：(1)将A的坐标(2，-2)代入反比例函数y＝(x>0)得
k=2×(﹣2) = ﹣4.
∴反比例函数的解析式为y=﹣ ………………………………………………………………3分
(2)作AD丄OC于点D，作BE丄OC于点E
∵三角板OAC为等腰直角三角形，点A的坐标为(2，﹣2)
∴OC=2OD=4…………………………………………………4分
在Rt△BOC中，cos∠BOC=cos60°= =
∴OB=4×=2……………………………………………………5分
在Rt△BOE中，cos∠BOE=cos60°= = ，∴OE=2×=1
sin∠BOE=sin60°= = ，∴BE=2×=
∴点B的坐标为(1，)………………………………………………………7分(其它方法均可)
当x=1时，y=﹣ =﹣4…………………………………………………………………………8分
∴m=﹣(﹣4)=+4…………………………………………………………………………9分
19．(9分)解：(1)如图所示：……………………………………………………………………3分
(2)证明：由(1)知∠ADE=∠B
∴DF//BC……………………………………………………………4分
又D为AB的中点
∴DE=BC…………………………………………………………5分
又F在DE的延长线上，且EF=DE
∴DF=BC……………………………………………………………6分
又DF//BC
∴四边形DBCF为平行四边形. ……………………………………………………………7分
∵AB=2BC，D为AB的中点
∴BC=BD ……………………………………………………………………………………8分
∴四边形DBCF为菱形………………………………………………………………………9分
20.(9分)解:(1)设A，B两种图书的单价分别为x元，y元，根据题意，得:
………………………………………………………………………………2分
解得 …………………………………………………………………………………4分
答：A，B两种图书的单价分别为40元，30元.
…………………………………………………………………………………………………5分
(2)设购买A种图书m本，总费用为w元，根据题意得:
50-m≤m，解得m ≥ ……………………………………………………………………6分
∵m为正整数，∴m最小取34，
w=40m+30(50-m)=10m+1500，………………………………………………………………7分
∵10>0，w随m的增大而增大，
∴m =34时，总费用最少.……………………………………………………………………8分
此时50-34=16，w=10×34+1500=1840
答：购买A种图书34本，B种图书16本，总费用最低，最低为1840元.
………………………………………………………………………………………………9分
21.(9分)解：(1)如图,作FG//EM交CD于点G.可得 EMGF
则MG=EF=20米,
∠FGN=∠α=36°.……………………………………2分
∴∠GFN=∠β-∠FGN=72°-36°=36°
∴∠FGN=∠GFN, …………………………………4分
∴FN=GN=50-20=30米.……………………………5分
在Rt△FNR 中,
FR=FN·sinβ=30·sin 72°≈30×0.95≈29(米).…………………………………………………8分
答：河宽FR约为29米.……………………………………………………9分(其它方法均可)
22.(10分)解： (1)1或9……………………………………………………………………………2分
(2)h=﹣t2+10t=﹣(t﹣5)2+25……………………………………………………………………4分
∵-1<0.∴当t=5时,h取最大值,最大值为25.………………………………………………5分
答：火箭飞行5s时，离地面的高度最大，最大高度为25m.……………………………6分
(3)对于h=﹣t2+10t
令h=21,则﹣t2+10t=21,解得t1=3,t2=7,………………………………………………………8分
7﹣3=4s………………………………………………………………………………………9分
答：两次发射相隔的时间为4s.……………………………………………………………10分
23.(10分)解：(1)矩形，正方形 …………………………………………………………………2分
(2)①证明:作OE丄CD于点E
∵OC=OD，∴∠DOE=∠COD=×2θ=θ，
又∵∠BDO=θ，∴∠BDO=∠DOE
∴BD//OE ∴∠BDC=90°，∴BD2+CD2=BC2
∴四边形OBDC一定为“勾股四边形”.……………5分(其它方法均可)
②30°......................................................................................................7分
解法提示：
∵∠AOB=∠COD=2θ,∴∠AOD=∠BOC.
在△AOD 与△BOC中,
∴△AOD≌△BOC
∴AD=BC,.
由①知BD2+CD2=BC2，∴BD2+CD2=AD2
∵四边形 ABDO为"勾股四边形"，且BD，OD为勾股边，∴BD2+OD2=AD2
∴CD=OD
又OC=OD,∴△DOC是等边三角形，
∴∠CDO=2θ=60°，∴θ=30°
(3)或2…………………………10分(写对一个得2分)
解法提示：
当DE2+EF2=DF2时，∠DEF=90°，解法如图示
当DE2+EF2=AE2时，()2+EF2=()2，
解得EF=2(负值已舍)

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