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30.1 直线与圆
30.1.2 圆的切线
（第1课时）
人教版 数学 九年级 上册
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？
导入新知
都是沿着圆的切线的方向飞出的．
3. 能运用圆的切线的性质定理和判定定理解决问题.
1. 会判定一条直线是不是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.
2. 理解并掌握圆的切线的性质定理及判定定理.
素养目标
思考： ⊙O的半径OA与过点A的切线l有什么关系？
A
l
O
探究新知
切线的性质定理
知识点 1
如图 ，设 P 为直线 l 上不同于点 A 的点，因为直线 l 与 ⊙O 只有一个公共点 A，所以点 P 在 ⊙O 外，从而 OP>OA，即半径 OA 是圆心 O 与直线 l 上的点的最短连线.因此，半径 OA 与直线 l 垂直，由此得到切线的性质.
P
A
l
O
∵直线l是⊙O 的切线，A是切点.
∴直线l ⊥OA.
切线的性质
圆的切线垂直于过切点的半径．
应用格式
探究新知
证明：假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M.
则OMC
D
B
O
A
所以AB与CD垂直.
M
证法1：反证法.
性质定理的证明
探究新知
C
D
O
A
证法2：构造法.
探究新知
作出小⊙O的同心圆大⊙O，CD切小⊙O于点A，且A点为CD的中点.连接OA，根据垂径定理，则CD ⊥OA，即圆的切线垂直于经过切点的半径．
利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.
探究新知
方法点拨
例1 如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B，C两点，∠P＝30°，连接AO，AB，AC.
(1)求证：△ACB≌△APO；
(2)若AP＝ ，求⊙O的半径．
分析：(1)根据已知条件我们易得∠CAB=∠PAO=90°，
由∠P=30°可得出∠AOP=60°，则∠C=30°=∠P，即AC=AP；这样就凑齐了角边角，可证得△ACB≌△APO；
O
A
B
P
C
(2)由已知条件可得△AOP为直角三角形，因此可以通过解直角三角形求出半径OA的长.
切线性质的应用
素养考点 1
探究新知
(1)求证：△ACB≌△APO；
O
A
B
P
C
在△ACB和△APO中，
∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，
∴△ACB≌△APO（ASA）.
证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，
又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，
又∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．
∴AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.
∴∠OAP＝90°.
探究新知
(2)若AP＝ ，求⊙O的半径．
O
A
B
P
C
∴AO＝1，
∴CB＝OP＝2，
∴OB＝1，
即⊙O的半径为1.
解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP = ，
探究新知
如图所示，点 A 是⊙O 外一点，OA 交⊙O 于点 B，AC 是⊙O 的切线，切点是 C，且∠A＝30°，BC＝1.求⊙O 的半径．
巩固练习
解：连接 OC.
∵ AC 是⊙O 的切线， ∴ ∠OCA ＝90°.
又∵ ∠A＝30°，
∴ ∠COB＝60°
∴ OBC 是等边三角形．
∴ OB＝BC＝1，即⊙O 的半径为 1.
如图，若直线l过半径OA的外端点A，且l⊥OA,那么圆心O到直线 l 的距离是多少？直线l是⊙O的切线吗？
这时圆心O到直线 l 的距离就是⊙O的半径．
A
l
o
由d=r 直线 l 是⊙O的切线．
探究新知
切线的判定定理
知识点 1
切线的判定方法
知识点 2
A
B
C
问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？
观察：（1） 圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系
（2）二者位置有什么关系？为什么？
O
探究新知
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
OA为⊙O的半径
BC ⊥ OA于点A
BC为⊙O的切线
Ｏ
A
B
C
切线的判定定理
应用格式
O
探究新知
下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
O.
A
O.
A
B
A
O
(1)
(2)
(3)
(1)不是，因为没有垂直.
(2)(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.
在切线的判定定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
注意
探究新知
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
l
A
l
O
l
r
d
要
点
归
纳
探究新知
例1 如图，AB是☉O上的直径，∠ABC=45°，AC=AB.
求证：AC是☉O的切线.
分析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.
证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°.
∴∠BAC=180°-∠ABC- ∠ACB=90°.
∵AB是☉O的直径，
∴ AC是☉O的切线.
A
O
C
B
通过证明角是90°判断圆的切线
素养考点 1
探究新知
如图 所示，线段 AB 经过圆心 O，交⊙O 于点 A，C，∠BAD＝∠B＝30°，边 BD 交圆于点 D.BD 是⊙O 的切线吗？为什么？
巩固练习
解：BD 是⊙O 的切线．理由如下：
连接 OD, ∵OD＝OA，∠A＝30°，
∴∠DOB＝60°.
∵∠B＝30°，∴∠ODB＝90°.
∴BD 是⊙O 的切线．
例2 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
O
B
A
C
证明：连接OC(如图).
∵ OA＝OB,CA＝CB,
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.　
∴ AB⊥OC.
∵ OC是⊙O的半径,
∴ AB是⊙O的切线.
通过证明垂直判断圆的切线
素养考点 2
探究新知
如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，⊙O 与AB 相切于E. 求证：AC 是⊙O 的切线．
B
O
C
E
A
分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE.
F
巩固练习
证明：连接OE ，OA，过O 作OF ⊥AC.
∵⊙O 与AB 相切于E ，
∴OE ⊥ AB.
又∵△ABC 中，AB ＝AC ，
O 是BC 的中点．
∴AO 平分∠BAC，
F
B
O
C
E
A
∴OE ＝OF.
∵OE 是⊙O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC.
∴AC 是⊙O 的切线．
又OE ⊥AB ，OF⊥AC.
巩固练习
如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB
求证：直线AB是⊙O的切线.
C
B
A
O
如图，OA＝OB=5，AB＝8， ⊙O的直径为6.
求证：直线AB是⊙O的切线.
C
B
A
O
对比思考
？
作垂直
连接
方法归纳
探究新知
(1) 有交点，连半径,证垂直;
(2) 无交点，作垂直,证半径.
证切线时辅助线的添加方法
例1
例2
有切线时常用辅助线添加方法
见切点，连半径，得垂直.
切线的其他重要结论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;
(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
要
点
归
纳
探究新知
1.（福建中考）如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C.AB∥PC，且交⊙O于点B.若∠P=30°，则∠PCB的大小为（ ）
A.30° B.45° C.60° D.75°
链接中考
C
O
.
P
A
B
C
2.（山东济南中考）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OPB=90°，连接PC.
（1）求证：PC与⊙O相切；
（2）若AO=3，OP=5，求AC的长.
链接中考
O
.
P
A
B
C
证明：如图，连接OC，
∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA.
∵OP∥AC，∴∠OAC=∠BOP，∠OCA=∠COP.
∴∠COP=∠BOP.
∵OP=OP，OC=OB，∴△COP≌△OBP（SAS）.
∴∠OCP=∠OBP=90°.∴OP⊥PC.
∴PC与⊙O相切.
链接中考
（1）求证：PC与⊙O相切；
O
.
P
A
B
C
解：如图，连接BC交OP于点D，
∵△COP≌△OBP，∴PC=PB.
又∵OC=OB，∴OP垂直平分BC.
∵AO=BO=3，OP=5，∠OBP=90°，
链接中考
（2）若AO=3，OP=5，求AC的长.
D
O
.
P
A
B
C
∵AB是⊙O的直径.
∴AB=2OA=6 ，∠ACB=90°.
链接中考
D
O
.
P
A
B
C
1.判断下列命题是否正确.
（1）经过半径外端的直线是圆的切线. （ ）
（2）垂直于半径的直线是圆的切线. （ ）
（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. （ ）
（4）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ）
（5）过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. （ ）
×
×
√
√
√
课堂检测
基础巩固题
2. 如图所示，A是☉O上一点，且AO=5，PO=13， AP=12，则PA与☉O的位置关系是 .
A
P
O
相切
课堂检测
3. 如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ）
A．40° B．35°
C．30° D．45°
P
O
D
A
B
C
C
课堂检测
4.如图，⊙O切PB于点B,PB=4， PA=2，则⊙O的半径多少？
O
P
B
A
解：连接OB，则∠OBP=90°.
设⊙O的半径为r，则OA=OB=r，
OP=OA+PA=2+r.
在Rt△OBP中，
OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2.
解得 r=3，
即⊙O的半径为3.
课堂检测
证明：连接OP.
∵AB=AC，∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB. ∴∠OBP=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP. ∴PE为⊙O的切线.
1. 如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，PE⊥AC于E. 求证:PE是⊙O的切线.
O
A
B
C
E
P
课堂检测
能力提升题
A
B
C
P
E
O
2. 如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．
证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，
∵⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC.
又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线
AC上一点，
∴OM＝ON，
∴CD与⊙O相切．
M
N
课堂检测
已知：△ABC内接于☉O，过点A作直线EF.
（1）如图1，AB为直径，要使EF为☉O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：
① _________ ；② _____________ .
（2）如图2，AB是非直径的弦，
∠CAE=∠B，求证：EF是☉O的切线.
BA⊥EF
∠CAE=∠B
A
F
E
O
A
F
E
O
B
C
B
C
图1
图2
课堂检测
拓广探索题
证明：连接AO并延长交☉O于D，连接CD，则AD为☉O的直径.
∴ ∠D+ ∠DAC=90 °，
∵ ∠D与∠B同对 ，
∴ ∠D= ∠B，
又∵ ∠CAE= ∠B，
∴ ∠D= ∠CAE，
∴ ∠DAC+ ∠EAC=90°，
∴EF是☉O的切线.
A
F
E
O
B
C
图2
D
课堂检测
切线的
性质
有1个公共点
d=r
性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
有切线时常用辅助线
添加方法：
见切线，连切点，得垂直.
课堂小结
切线的判定方法
定义法
数量关系法
判定定理
1个公共点，则相切
d=r，则相切
经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
证切线时常用辅助线添加方法：
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
谢谢观看

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