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30.1 直线与圆
30.1.1 直线与圆相离、相切、相交
人教版 数学 九年级 上册
如图，在太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？我们
把太阳看作一个圆，
地平线看作一条直线，
由此你能得出直线和
圆的位置关系吗？
导入新知
2. 会从公共点的个数或d和r的数量关系判定直线与圆的位置关系.
1. 知道直线与圆的位置关系及有关概念.
素养目标
问题1 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？
探究新知
用公共点个数判断直线与圆的位置关系
知识点 1
探究新知
问题2 如图，在纸上画一条直线 l，把钥匙环看作一个圆，在纸上移动钥匙环，在移动钥匙环的过程中，圆与直线l会 有几种位置关系？它们的公共点个数又是如何变化的？
问题3 请同学在纸上画一条直线l，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？
●
●
●
l
0
2
探究新知
探究新知
如图1，直线与圆没有公共点，这时称这条直线与圆相离.
如图2，直线与圆只有一个公共点，这时称这条直线与圆相切，这条直线叫作圆的切线，这个点叫作切点.
如图3，直线与圆有两个公共点，这时称这条直线与圆相交，这条直线叫作圆的割线.
l
O
探究新知
直线与圆的相关定义
l
O
l
O
图1
图2
图3
直线与圆的 位置关系
图形
公共点个数
公共点名称
直线名称
2个
交点
1个
切点
切线
0个
相离
相切
相交
位置关系
公共点个数
归纳总结
探究新知
割线
（1）直线与圆最多有两个公共点.
（2）若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上.
（3）若A是⊙O上一点，则直线AB与⊙O相切.
（4）若C为⊙O外一点，则过点C的直线与⊙O相交或相离.
（5）直线a 和⊙O有公共点，则直线a与⊙O相交.
练一练：判断正误.
√
×
×
×
×
探究新知
问题1 同学们用直尺在圆上移动的过程中，除了发现公共点的个数发生了变化外，还发现有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢？
探究新知
用数量关系判断直线与圆的位置关系
知识点 2
知识链接：
点到直线的距离是指从直线外一点（A）到直线（l）的垂线段（OA）的长度.
l
A
O
问题2 怎样用d(圆心与直线的距离)来判别直线与圆的位置关系呢？
O
d
探究新知
直线和⊙O相交
直线和⊙O相离
直线和⊙O相切
d＜r；
d = r.
d＞r；
根据直线和圆相交、相切、相离的定义：
·
活动:根据直线和圆相切的定义，经过点A用直尺近似地画出⊙O的切线.
O
探究新知
A
直线与圆相交
d< r
直线与圆相切
d= r
直线与圆相离
d> r
数形结合：
位置关系
数量关系
合作探究
r
d
∟
r
d
∟
r
d
（用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分）
o
o
o
公共点个数
要
点
归
纳
两个
一个
0个
探究新知
B
C
A
4
3
例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？
(1) r=2cm；(2) r=2.4cm； (3) r=3cm．
分析：要了解AB与⊙C的位置关系，只要知道圆心C到AB的距离d与r的关系．已知r，只需求出C到AB的距离d.
D
利用r和d的大小关系识别直线与圆的位置关系
素养考点
探究新知
解：过C作CD⊥AB，垂足为D.
在△ABC中，
AB=
5（cm）.
根据三角形的面积公式有
∴
即圆心C到AB的距离d=2.4cm.
所以 (1)当r=2cm时,
有d >r,
因此⊙C和AB相离.
B
C
A
4
3
D
d
记住：斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边.
探究新知
（2）当r=2.4cm时,有d=r.
因此⊙C和AB相切.
B
C
A
4
3
D
d
（3）当r=3cm时，有d因此，⊙C和AB相交.
B
C
A
4
3
D
d
探究新知
A
B
C
A
D
4
5
3
Rt△ABC,∠C=90°AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心画圆，当半径r为何值时，圆C与直线AB没有公共点？
当0cm＜r＜2.4cm或r＞4cm时,
⊙C与线段AB没有公共点.
巩固练习
解:
Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心画圆，当半径r为何值时，圆C与线段AB有一个公共点？当半径r为何值时，圆C与线段AB有两个公共点？
A
B
C
A
D
4
5
3
当r=2.4cm或3cm ＜r≤4cm时,⊙C与线段AB有一个公共点.
当2.4cm＜r≤3cm 时,⊙C与线段AB有两公共点.
巩固练习
解:
圆的直径是13，如果圆心与直线的距离分别是
（1）4.5；（2） 6.5；（3） 8.
那么直线与圆的位置关系分别是什么？ 有几个公共点？
（3）圆心距 d=8＞r = 6.5 直线与圆相离，
有两个公共点；
有一个公共点；
没有公共点.
A
B
·
6.5
d=4.5
O
M
（2）圆心距d=6.5 = r = 6.5 直线与圆相切，
·
N
O
6.5
d=6.5
解:（1） 圆心距d=4.5＜ r = 6.5 直线与圆相交，
D
·
O
6.5
d=8
巩固练习
例2 如图，Rt△ABC的斜边AB=10cm，∠A=30°.
以点C为圆心，当半径为多少时，AB与☉C相切？
A
C
B
解：过点C作边AB上的高CD.
D
∵∠A=30°，AB=10cm,
在Rt△BCD中，有
当半径为 时，AB与☉C相切.
探究新知
如图，∠AOB=30 °，M为OB上一点，且 OM=5，判断直线OA 与以点M为圆心，下列r为半径的圆与的位置关系：
(1) r=2；
(2) r=4；
(3) r=2.5.
M
O
A
B
．
D
答案： (1)相离
(2)相交
(3)相切
巩固练习
1.（浙江中考）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O的半径为2cm，线段OA=3cm，OB=2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（　　）
A．相离 B．相交
C．相切 D．相交或相切
D
链接中考
2.（上海中考）在锐角三角形ABC中，AB=AC，BC=8，它的外接圆O的半径长为5，若点D是边BC的中点，以点D为圆心的圆和⊙O相交，那么⊙D的半径长可以是（ ）
A.2 B.5 C.8 D.10
链接中考
B
O.
C
A
B
.O
.O
.O
.O
.O
1.看图判断直线l与☉O的位置关系？
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
相离
相交
相切
相交

注意：直线是可以无限延伸的．
相交
课堂检测
基础巩固题
2．直线和圆相交，圆的半径为r，且圆心到直线的距离为5，则有（ ）
A. r < 5 B. r > 5 C. r = 5 D. r ≥ 5
B
课堂检测
3. ☉O的最大弦长为8，若圆心O到直线l的距离为d=5，则直线l与☉O .
相离
4. ☉O的半径为5，直线l上的一点到圆心O的距离是5，则直线l与☉O的位置关系是（ ）
A. 相交或相切 B. 相交或相离
C. 相切或相离 D. 上三种情况都有可能
A
课堂检测
如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点．若点M的坐标是(－4，－2)，则点N的坐标为(　　)
A．(－1，－2) B．(1，2)
C．(－1.5，－2) D．(1.5，－2)
A
课堂检测
能力提升题
已知☉O的半径r=7cm，直线l1 // l2，且l1与☉O相切，圆心O到l2的距离为9cm.求l1与l2的距离.
o
l1
l2
A
B
C
l2
解：（1） l2与l1在圆的同一侧：
m=9-7=2 cm.
（2）l2与l1在圆的两侧：
m=9+7=16 cm.
课堂检测
拓广探索题
直线与圆的位置关系
定义
性质
判定
相离
相切
相交
公共点的个数
d与r的数量关系
定义法
性质法
相离:0个;相切：1个;
相交：2个
相离:d>r;相切:d=r
相交:d0个：相离；1个：相切；2个：相交
d>r：相离;d=r:相切
d课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
谢谢观看

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