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(共28张PPT)
30.1 直线与圆
30.1.2 圆的切线
（第2课时）
人教版 数学 九年级 上册
同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？
导入新知
2. 初步学会运用切线长定理进行计算与证明.
1. 掌握切线长的定义及切线长定理.
素养目标
问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
P
O
B
A
探究新知
切线长定理及应用
知识点
用直尺和圆规作出圆外一点的圆的切线的步骤：
（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN，与OP 交于点C；
（2）以点C为圆心，CO 为半径作圆，与⊙O 相交于A，B两点；
（3）作直线PA，PB，即所求作的切线.
探究新知
O.
P
A
B
M
N
C
P
1.切线长的定义：
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长．
A
O
①切线是直线，不能度量.
②切线长是切线上一条线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
2.切线长与切线的区别在哪里？
探究新知
问题2 PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．
OB是☉O的一条半径吗？
PB是☉O的切线吗？
（利用图形轴对称性解释）
PA、PB有何关系？
∠APO和∠BPO有何关系？
O.
P
A
B
探究新知
B
P
O
A
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
PA，PB分别切☉O于点A，B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
几何语言:
探究新知
O.
P
已知，如图，PA，PB是☉O的两条切线，A，B为切点.
求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.
证明：∵PA切☉O于点A，
∴ OA⊥PA.
同理可得OB⊥PB.
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
推理验证
A
B
探究新知
想一想：若连接两切点A，B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论 并给出证明.
OP垂直平分AB.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,A，B是切点,
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB.
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线,
∴OP垂直平分AB.
O.
P
A
B
M
探究新知
想一想：若延长PO交⊙O于点C，连接CA，CB，你又能得出什么新的结论 并给出证明.
证明：∵PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点,
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB.
又∵PC=PC，
∴ △PCA ≌ △PCB（SAS）.
∴AC=BC.
CA=CB
O.
P
A
B
C
探究新知
例1 如图，PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 是切点，连接 AB，若∠APO=30°，OP=2，求△PAB 的周长.
·
A
B
O
P
切线长定理的应用
素养考点 1
探究新知
分析 根据切线长定理可证明△PAB 是等边三角形，根据切线的性质，可连接切点和圆心得垂直，即PA⊥AO，根据直角三角形的性质求边长，即可求解.
·
A
B
O
解：如图 ，连接 OA.
P
探究新知
∵ PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 是切点，
∴ PA=PB，∠APO=∠BPO，OA⊥PA.
又 ∠APO=30°，
∴ ∠APB=60°.
∴ △PAB 是等边三角形.
∴ AB=PA=PB.
又 在 Rt△POA 中，∠APO=30°，OP=2，
∴ OA=1，PA== ．
∴ △PAB 的周长为 3 ．
B
P
O
A
PA，PB是☉O的两条切线，A，B是切点，OA=3.
（1）若AP=4,则OP= ;
（2）若∠BPA=60 °,则OP= .
5
6
巩固练习
例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径．
分析：欲求半径OP，取圆的圆心为O，连OA、OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半径．
O
切线长定理在生活中的应用
素养考点 2
探究新知
B
C
在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，
O
Q
解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP，OA.
∵AP，AQ为⊙O的切线，
∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.
又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.
即铁环的半径为
探究新知
B
C
如图,小敏家厨房一墙角处有一自来水管,装修时为了美观,准备用木板从AB处将水管密封起来,互相垂直的两墙面与水管分别相切于D,E两点,经测量发现AD和BE的长恰是方程x2-25x+150=0的两根(单位:cm),则该自来水管的半径为 cm(AD解析：设圆心为O,连接OD,OE,x2-25x+150=0,(x-10)(x-15)=0,
解得x1=10,x2=15,∵AD设半径为r,又AB=AD+BE=25,∴(AD+r)2+(BE+r)2=AB2,
∴(10+r)2+(15+r)2=252,解得r=5.
巩固练习
（黑龙江龙东地区中考）如图，PA，PB是圆O的切线，A，B为切点，AC是直径，∠BAC=35°，∠P= ．
解析：∵PA是切线，∴PA⊥AC，即∠PAC=90°.
∵∠BAC=35°，∴∠PAB=∠PAC-∠BAC=55°.
∵PA，PB是圆O的切线，∴PA=PB.
∴∠PBA=∠PAB=55°.
∴∠P=180°-∠PBA-∠PAB= 180°-55°-55°=70° ．
70°
链接中考
O
.
P
A
B
C
1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A，B，如果AP=4，∠APB= 40 ° ，则∠APO= ，PB= .
B
P
O
A
20 °
4
课堂检测
基础巩固题
20
课堂检测
2.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，PA=10，CD是⊙O的切线，交PA于点C，交PB于点D，则△PCD的周长是 ．
O
P
A
D
C
B
如图，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.
证明：连接OD，
∵AC切⊙O于点D，∴OD⊥AC，
∴∠ODC=∠B=90°.
在Rt△OCD和Rt△OCB中，OD＝OB ，OC＝OC ,
∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），
∴∠DOC=∠BOC.
∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，
∵∠DOB=∠ODE+∠OED，
∴∠BOC=∠OED，∴DE∥OC.
课堂检测
能力提升题
如图，PA，PB，CD是⊙O的切线，点A，B，E为切点．
（1）如果△PCD的周长为10，求PA的长；
（2）如果∠P=40°，
①求∠COD；
②连接AE，BE，求∠AEB．
课堂检测
拓广探索题
O
E
D
C
B
A
P
（1）如果△PCD的周长为10，求PA的长；
解：∵PA，PB，CD是⊙O的切线，点A，B，E为切点，
∴PA=PB，AC=CE，ED=BD，
∵△PCD的周长为10，
∴PC+CD+PD=10，
∴PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+BD=PA+PB=2PA=10，
∴PA=5.
课堂检测
O
E
D
C
B
A
P
（2）如果∠P=40°，①求∠COD；
证明：∵∠P=40°，
∴∠PCD+∠PDC=180°-40°=140°，
∴∠ACD+∠BDE=360°-140°=220°，
∵PA，PB，CD是⊙O的切线，点A，B，E为切点，
∴∠ACO=∠DCO= ∠ACD，∠BDO=∠EDO= ∠BDE.
∴∠OCD+∠ODC= ×220°=110°.
∴∠COD=180°-110°=70°.
课堂检测
O
E
D
C
B
A
P
（2）如果∠P=40°，
②连接AE，BE，求∠AEB．
证明：∠AEB=180°-∠AEC-∠BED
=180°- -
=180°-90°+ ∠ACD-90°+ ∠BDE
= ×220°=110°．
课堂检测
O
E
D
C
B
A
P
切线长
切线长定理
作用
图形的轴对称性
原理
提供了证线段和角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
谢谢观看

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