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(共30张PPT)
30.2 三角形的内切圆
人教版 数学 九年级 上册
同学们，我们先来思考一个有趣的生活场景：
想象一下，你有一块美味的三角形蛋糕。现在，你想在蛋糕的正中央，放一个最大的圆形奶油装饰.
这个圆形装饰有一个特殊的要求：它必须刚刚好碰到蛋糕的三条边，不能多也不能少，不能偏也不能倚.
导入新知
3. 能运用三角形内心的性质证明或解决问题.
1. 了解三角形内切圆和内心的概念.
2.能用直尺和圆规作三角形的内切圆.
素养目标
小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
探究新知
三角形的内切圆及作法
知识点1
问题1: 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？
O
O
O
O
最大的圆与三角形三边都相切
探究新知
问题2: 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？
(1) 如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？
(2) 在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？
探究新知
圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r.
圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.
为什么呢？
三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等.
三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
M
N
D
作法：
1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC，垂足为D.
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
☉O就是所求的圆.
探究新知
做一做
A
C
B
1.与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆.
2.三角形内切圆的圆心叫作这个三角形的内心.
3.这个三角形叫作这个圆的外切三角形.
B
A
C
I
☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形.
探究新知
例 已知:△ABC(如图),
(1)求作△ABC的内切圆☉I(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,写出作法,不要求证明).
(2)在题(1)已经作好的图中,若∠BAC=88°,求∠BIC的度数.
三角形的内切圆的作法
素养考点
探究新知
解：(1)①以A为圆心、任意长为半径画圆,分别交AC,AB于点H,G;
②分别以H,G为圆心,以大于 HG的长为半
径画圆,两圆相交于K点,连接AK,则AK即为
∠BAC的平分线;
③同理作出∠ABC的平分线BF,交AK于点I,则I即为△ABC内切圆的圆心;
④过I作IM⊥BC于M,以I为圆心,IM为半径画圆,则☉I即为所求圆.
探究新知
(2)∵∠BAC=88°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-88°=92°,
∴∠IBC+∠ICB= (∠ABC+∠ACB)= ×92°=46°,
∴∠BIC=180°-46°=134°.
探究新知
△ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的面积.（提示：设内心为O，连接OA，OB，OC.）
解： 设AB = c，BC = a，AC = b.
O
r
C
A
B
D
M
N
r
r
则S△OBC= ar， S△OBA= cr，S△OAC= br，
S△ABC=S△OBC +S△OBA +S△OAC
= ar + cr + br
= r（a+c+b）
= lr.
巩固练习
B
A
C
I
问题1 如图，☉I是△ABC的内切圆，那么线段IA，IB ，IC有什么特点？
线段IA，IB ，IC 分别是∠A，∠B，∠C的平分线.
探究新知
三角形的内心的定义和性质
知识点2
问题2 如图，分别过点作AB，AC，BC的垂线，垂足分别为E，F，G，那么线段IE，IF，IG之间有什么关系？
B
A
C
I
E
F
G
IE=IF=IG
探究新知
三角形内心的性质
三角形的内心在三角形的角平分线上.
三角形的内心到三角形的三边距离相等.
B
A
C
I
E
F
G
IA，IB，IC是△ABC的角平分线，IE=IF=IG.
探究新知
例 如图，△ABC中，∠ B=43°，∠C=61 °，点I是△ABC的内心，求∠ BIC的度数.
解：连接IB，IC.
A
B
C
I
∵点I是△ABC的内心，
∴IB，IC分别是∠ B，∠C的平分线，
在△IBC中，
利用三角形内心的性质求角度
素养考点
探究新知
如图,在△ABC中,点P是△ABC的内心,则∠PBC+∠PCA+∠PAB= .
解析：∵点P是△ABC的内心,
∴PB平分∠ABC,PA平分∠BAC,PC平分∠ACB,
∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°.
巩固练习
90°
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接圆的圆心
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三边中垂线的交点
1.OA=OB=OC;
2.外心不一定在三角形的内部
三角形三条
角平分线的
交点
1.到三边的距离相等；
2.OA，OB，OC分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB;
3.内心在三角形内部
A
B
O
A
B
C
O
探究新知
1.（宁夏中考）如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠A=54°，则∠BOC= °.
解析：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
∵∠A=54°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=126°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°- （∠ABC+∠ACB）
=180°- ×126°
=117°.
117
链接中考
·
O
A
B
C
2.（青海西宁中考）如图，四边形ABCD是☉O的外切四边形，且AB=9，CD=15，则四边形ABCD的周长为 .
解析：∵四边形ABCD是☉O的外切四边形，
∴AE=AH，BE=BF，CF=CG，DH=DG，
∴AD+BC=AB+CD=24，
∴四边形ABCD的周长=AD+BC+AB+CD=48.
48
链接中考
·
A
B
C
D
O
·
A
B
C
D
O
H
E
F
G
3.（四川攀枝花中考）如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∠DOE=120°，∠EOF=150°．
（1）求△ABC的三个内角的大小；
（2）设⊙O的直径为d，证明：d=AB+AC-BC．
链接中考
A
B
C
E
D
F
O
（1）求△ABC的三个内角的大小；
解：∵⊙O是△ABC的内切圆， 与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AB⊥OD，BC⊥OE，CA⊥OF，
∴∠ODB=∠OEB=∠OEC=∠OFC=90°，
∵∠DOE=120°，∠EOF=150°，
∴∠B=360°-∠ODB-∠OEB-∠DOE=60°，∠C=360°-∠OEC-∠OFC-∠EOF=30°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=90°，
∴∠A，∠B，∠C的度数分别为90°，60°，30°．
链接中考
A
B
C
E
D
F
O
（2）设⊙O的直径为d,证明：d=AB+AC-BC．
证明：∵AD=AF，BD=BE，CF=CE，
∴BD+CF=BE+CE=BC，
∵AB+AC=AD+BD+CF+AF=2AF+BC，
∴2AF=AB+AC-BC，
∵∠ODA=∠OFA=∠A=90°，
∴四边形ADOF是矩形，∴OD=AF，
∵⊙O的直径为d，OD为⊙O的半径，
∴d=2OD=2AF，∴d=AB+AC-BC．
链接中考
A
B
C
E
D
F
O
A
B
C
O
110 °
课堂检测
基础巩固题
1.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °， ∠ACB= 80 °，则∠BOC= .
（3）若∠BIC=100 °，则∠A = °.
（2）若∠A=80 °，则∠BIC = °.
130
20
2.如图，在△ABC中，点I是内心，
（1）若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，∠BIC=_____.
A
B
C
I
（4）试探索： ∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？
120°
课堂检测
课堂检测
能力提升题
如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为M，N，Q，已知∠ABC=90°，CM=2，AM=3，则⊙O的半径为 ．
解析：连接ON，OQ.
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为M，N，Q，
∴ON⊥AB，OQ⊥BC，∴∠ONB=∠OQB=90°.
∵∠B=90°，∴四边形ONBQ为矩形，
∵ON=OQ，∴矩形ONBQ为正方形﹒
设⊙O的半径为r，则BN=BQ=ON=r﹒
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，CM=2，AM=3，∴CM=CQ=2，AM=AN=3，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：（r+2）2+（r+3）2=（2+3）2，
解得r=1或-6（不合题意，舍去），∴⊙O的半径为1﹒
1
N
Q
C
A
B
O .
M
如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DI＝DB.
证明：连接BI.
∵I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI.
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD.
∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴BD=ID．
课堂检测
拓广探索题
三角形的内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程
有关概念
内心及性质
应用
课堂小结
尺规作三角形内切圆
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
谢谢观看

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