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29.1 圆的有关概念
29.1.1 圆的有关概念
人教版 数学 九年级 上册
观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形.
导入新知
骑车运动
看了此画，你有何想法
导入新知
【思考】车轮为什么做成圆形 做成三角形、正方形可以吗？
3. 掌握弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.
1. 认识圆，理解圆的定义.
素养目标
2. 理解并掌握点与圆的三种位置关系.
一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开．这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？
探究新知
圆的定义
知识点 1
甲
丙
乙
丁
为了使游戏公平，在目标周围围成一个圆排队.
因为圆上各点到定点（圆心）的距离都等于半径.
探究新知
·
r
O
P
圆的旋转定义（描述性定义）
在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫作圆．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.
有关概念
固定的端点O叫作圆心，线段OP叫作半径，一般用r表示．
观察画圆的过程，你能从点的运动的角度描述圆是怎样形成的吗？
探究新知
一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．
确定一个圆的要素
同心圆
等圆
半径相同，圆心不同
圆心相同，半径不同
探究新知
圆可以看成到定点距离等于定长的所有点组成的.
满足什么条件的？
有间隙吗？
圆也可以看成是由多个点组成的
到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上吗？
探究新知
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于 ．
（2）到定点的距离等于定长的点都在 ．
圆心为O、半径为r的圆可以看成平面内所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
O
·
A
C
E
r
r
r
r
r
D
定长（半径r）
同一个圆上
圆的集合定义
【想一想】从画圆的过程可以看出什么呢？
探究新知
B
圆的基本性质
o

同圆半径相等.
探究新知
【想一想】 圆是一条曲线，还是一个曲面
提示:圆是一条封闭的曲线，它是由到圆心的距离等于半径的点组成的曲线，而不是曲面.
探究新知
例 矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.
求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC，OB=OD.
又∵AC=BD，
∴OA=OB=OC=OD.
∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心，OA为半径的圆上.
圆的定义的应用
素养考点1
探究新知
如图，☉O的半径OA，OB分别交弦CD于点E，F，且CE=DF.求证:△OEF是等腰三角形.
巩固练习
分析：作辅助线构造△OCE和△ODF，然后证明两个三角形全等，最后根据全等的性质得出结论.
解：如图，连接OC，OD，
∵OC=OD，∴∠C=∠D，
∵CE=DF.∴△OCE≌△ODF（SAS）.
∴OE=OF.
∴△OEF是等腰三角形.
问题1：观察下图中点与圆的位置关系有哪几种？
.
o
.
C
.
.
.
. B
.
.A
.
点与圆的位置关系有三种：
点在圆外，点在圆上，点在圆内.
探究新知
点与圆的位置关系
知识点 2
问题2：设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，量一量在点与圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？
点P在⊙O内
点P在⊙O上
点P在⊙O外
d
d
d
r
P
d
P
r
d
P
r
d
＜
r
r
=
＞
r
反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？
探究新知
r
P
d
P
r
d
P
r
d
点P在⊙O内
d点P在⊙O上
d=r
点P在⊙O外
d>r
数形结合：
位置关系
数量关系
探究新知
点与圆的位置关系
例 如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.
（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何？
解：AD=4=r，故D点在⊙A上；
AB=3AC=5>r，故C点在⊙A外.
判定点与圆的位置关系
素养考点
探究新知
（2）若以A点为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围？（直接写出答案）
解： ⊙A的半径r的取值范围是3≤r≤5.
探究新知
⊙O的半径为10cm，A，B，C三点到圆心的距离分别为8cm，10cm，12cm，则点A，B，C与⊙O的位置关系是：点A在 ；点B在 ；点C在 .
圆内
圆上
圆外
如图，圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP= ，则点P在（ ）
A.大圆内 B.小圆内
C.小圆外 D.大圆内，小圆外
o
D
巩固练习
弦:
·
C
O
A
B
连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫作弦.
经过圆心的弦（如图中的AB）叫作直径．
1.弦和直径都是线段.
2.直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.
3.直径长是半径长的2倍（AB＝2OA＝2OB）.
探究新知
圆的有关概念
知识点 3
注意
O
A
B
O
A
B
探索：圆中最长的弦是什么？为什么？
O
A
B
C
C
D
C
D
O
A
B
C
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
【发现】直径是最长的弦
探究新知
弧:
·
C
O
A
B
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆．
劣弧与优弧
·
C
O
A
B
半圆
圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧．以A，B为端点的弧记作 AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”．
（
小于半圆的弧叫作劣弧.如图中的AC ;
（
大于半圆的弧叫作优弧.如图中的ABC.
（
劣弧用两个字母表示，优弧用三个字母表示.
探究新知
等圆:
·
C
O
A
能够重合的两个圆叫作等圆.
·
C
O1
A
容易看出，同圆或等圆的半径相等；反过来，半径相等的两个圆是等圆
等弧:
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧.
探究新知
【结论】等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
可见这两条弧不可能完全重合
实际上这两条弧弯曲程度不同
“等弧”要区别于“长度相等的弧”
如图，如果AB和CD的拉直长度都是10cm，平移并调整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？
︵
︵
C
【想一想】长度相等的弧是等弧吗？
探究新知
A
B
C
D
例1 如图.
（1）请写出以点A为端点的优弧及劣弧;
（2）请写出以点A为端点的弦及直径；
弦AF，AB，AC.其中弦AB又是直径.
（3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.
答案不唯一，如：弦AF，它所对的弧是 和 .
A
B
C
E
F
D
O
劣弧：
优弧：
AF，
（
AD，
（
AC，
（
AE.
（
AFE，
（
AFC，
（
ADE，
（
ADC.
（
AF
（
圆的有关概念的识别
ABF
（
素养考点 1
探究新知
在以下所给的命题中:①半圆是弧;②弦是直径;③如图所围成的图形是半圆.
其中正确的命题有　　　.
巩固练习
解析：
①
弧不但包括半圆，还包括优弧、劣弧，所以①正确，③不正确；
弦包括经过圆心的弦（ 即直径 ）与不经过圆心的弦所以②不正确.
例2 如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD的顶点A，D在半圆上，顶点B，C在直径MN上.（1）求证：OB=OC.
连接OA，OD，同圆的半径相等.
Ⅰ
Ⅱ
10
？
x
2x
（2）设OB=x，则AB=2x，
在Rt△ABO中， ，
（2）设⊙O的半径为10，则正方形ABCD的边长为 .
圆的有关概念的应用
解：（1）连接OA，OD，
证明Rt ABO≌Rt DCO.
，解得 .
素养考点 2
探究新知
所以边长为 .
CD为⊙O的直径，∠EOD=72°，AE交⊙O于B，且AB=OC，则∠A=_______.
24°
解析：∵OB=OC，AB=CO，
∴AB=OB，∴∠A=∠BOA.
又∵OB=OE，∴∠E=∠EBO，∵∠EBO=2∠A，∴∠E=2∠A，
又∵∠EOD=∠E+∠A，∴3∠A=∠EOD，
∵∠EOD=72°，∴∠A=24°.
巩固练习
A
C
O
D
B
E
1.（湖南永州中考）对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（　　）
A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理
B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理
C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理
D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理
B
链接中考
连接中考
2. （内蒙古赤峰中考） 如图，⊙O的半径为1，分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O1，O2为圆心，为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π B．0.5π C．0.25π D．2π
B
链接中考
连接中考
3. （云南中考）已知⊙O的半径为5cm.若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为____cm.
5
链接中考
1.填空：
（1）______是圆中最长的弦，它是______的2倍．
（2）图中有 条直径， 条非直径的弦，
圆中以A为一个端点的优弧有 条，
劣弧有 条．
直径
半径
一
二
四
四
课堂检测
基础巩固题
A
B
C
D
O
F
E
3. 一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远的距离为10cm， 则这个圆的半径是 .
2. 正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A ；点C在⊙A ；点D在⊙A .
上
上
外
4.⊙O的半径r为5cm，O为原点，点P的坐标为（3，4），则点P与⊙O的位置关系为 （ ）
A.在⊙O内 B.在⊙O上 C.在⊙O外 D.在⊙O上或⊙O外
B
课堂检测
7cm或3cm
5.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例.
（1）弦是直径；
（2）半圆是弧；
（3）过圆心的线段是直径；
（4）过圆心的直线是直径；
（5）半圆是最长的弧；
（6）直径是最长的弦；
（7）长度相等的弧是等弧.
课堂检测
1.一根5m长的绳子，一端栓在柱子上，另一端栓着一只羊，请画出羊的活动区域．
5m
课堂检测
能力提升题
·
3cm
2. 画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形.
课堂检测
求证：直径是圆中最长的弦.
证明：如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，半径是r.
CD是不同于AB的任意一条弦.
连接OC，OD，
则OA+OB=OC+OD=2r，即AB=OC+OD.
在△OCD中，OC+OD＞CD，
∴AB＞CD.即直径是圆中最长的弦.
课堂检测
拓广探索题
圆
定义
旋转定义
（描述性定义）
要画一个确定的圆，关键是确定圆心和半径
集合定义
同圆半径相等
有关
概念
弦（直径）
直径是圆中最长的弦
弧
半圆是特殊的弧
劣弧
半圆
优弧
同心圆
等圆
同圆
等弧
能够互相重合的两段弧
课堂小结
点与圆的位置关系
点在圆外
点在圆上
点在圆内
d>r
d=r
d点P在圆环内
r≤d≤R
R
r
P
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
谢谢观看

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