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(共32张PPT)
29.1 圆的有关概念
29.1.2 过三点的圆
人教版 数学 九年级 上册
我们知道“两点确定一条直线”，那么几个点可以确定一个圆呢？
作圆的关键是什么？
　　作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小．
导入新知
2. 了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.
1. 理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握作图方法.
3. 了解反证法的证明思想.
素养目标
问题1 经过一个点A能不能作圆？这样的圆能作出多少个？
·
·
·
·
·
以点A以外任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径画圆即可；
可作无数个圆.
A
探究新知
过不共线三点作圆
知识点 1
问题2 经过两个点A，B能不能作圆？这样的圆能作出多少个？所作圆的圆心的位置有什么特点？
·
·
·
·
A
B
作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这一点和点A或点B的距离为半径画圆即可;
可作无数个圆.
圆心在线段AB的垂直平分线上.
探究新知
问题3： 经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？
A
B
C
D
E
G
F
●o
经过B，C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.
经过A，B，C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.
经过A，B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
探究新知
位置关系
有且只有
A
B
C
D
E
G
F
●o
探究新知
定理：
不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
例 已知：不在同一直线上的三点A，B，C.
求作： ⊙O，使它经过点A，B，C.
作法：1. 连接AB，作线段AB的垂直平分线MN；
2. 连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；
3. 以O为圆心，OB为半径作圆.
所以⊙O就是所求作的圆.
O
N
M
F
E
A
B
C
利用尺规法作圆
素养考点
探究新知
问题4:现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？
方法:
1. 在圆弧上任取三点A，B，C;
2. 作线段AB，BC的垂直平分线，其交点O即为圆心;
3. 以点O为圆心，OC长为半径作圆.
⊙O即为所求.
A
B
C
O
探究新知
如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心？
A
B
C
D
O
∵A，B两点在圆上，所以圆心与A，B两点的距离相等，
又∵和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，
∴圆心在CD所在的直线上，因此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径，它们的交点为圆心.
巩固练习
解:
已知△ABC，用直尺与圆规作出过A，B，C三点的圆.
A
B
C
O
探究新知
三角形的外接圆及外心
知识点 2
外接圆
经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆.
⊙O叫作△ABC的________，
△ABC叫作⊙O的____________.
到三角形三个顶点的距离相等.
三角形的外心：
定义：
外接圆　
内接三角形　
外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，
叫作三角形的外心.
作图：
三角形三边中垂线的交点.
性质：
●O
A
B
C
要
点
归
纳
探究新知
【练一练】 判断下列说法是否正确.
（1）任意的一个三角形一定有一个外接圆.( )
（2）任意一个圆有且只有一个内接三角形.( )
（3）经过三点一定可以确定一个圆. ( )
（4）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.( )
√
×
×
√
探究新知
画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
锐角三角形的外心位于三角形内，
直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点，
钝角三角形的外心位于三角形外.
A
B
C
●O
A
B
C
C
A
B
┐
●O
●O
探究新知
例1 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)．
（1）求∠DAO的度数；
解：∵∠ADO＝∠ABO＝60°，
∠DOA＝90°，
∴∠DAO＝30°.
探究新知
圆与平面直角坐标系相结合的问题
素养考点 1
（2）求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
解： ∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3.
在Rt△AOD中，∵∠DOA＝90°，∴AD为直径.
又∵∠DAO=30°，∴AD＝2OD＝6， OA＝ .
因此，圆的半径为3，
∴△AOB外接圆的面积是9π.
解题妙招：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外接圆的直径(或半径)长度．
探究新知
点A的坐标( ，0).
如图，已知直角坐标系中，点A(0，4)，B(4，4)， C(6，2).
（1）写出经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标.
（2）判断点D(5，-2)和圆M的位置关系.
巩固练习
解：（1）在方格纸中，线段AB和BC的垂直
平分线相交于点(2，0)，
所以圆心M的坐标为(2，0).
（2）圆的半径
线段DM 所以点D在圆M内.
M
例2 如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．
解：连接OB，过点O作OD⊥BC.
D
则OD＝5cm，
在Rt△OBD中，
即△ABC的外接圆的半径为13cm.
探究新知
考查三角形的外接圆的有关知识
素养考点 2
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离为(　　)
A.5 cm B.6 cm
C.7 cm D.8 cm
巩固练习
A
思考：经过同一条直线上的三个点，可以作一个圆吗？
l1
l2
A
B
C
P
探究新知
反证法
知识点 3
如图，假设经过同一条直线l上的A，B，C三点可以作一个圆.设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点.
而l1⊥l，l2⊥l，这与以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.
所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆．
反证法的定义
先提出与结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫作反证法．
反证法的一般步骤
假设命题的结论不成立（提出与结论相反的假设）;
从这个假设出发，经过推理，得出矛盾;
由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
探究新知
例 用反证法说明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角.
求证：∠A，∠B，∠C是中不能有两个角是直角.
证明：假设　　　　　　　　　　　　　　　　　，
设　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
则　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
这与　　　　　　　　　　　相矛盾，所以假设不成立．
因此，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．
∠A，∠B，∠C中有两个角是直角
∠A=∠B＝90°
三角形的内角和为180度
一个三角形中不能有两个角是直角
∠A+∠B+∠C >180°
探究新知
反证法的应用
素养考点
利用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（ ）
A.有一个锐角小于45°
B.每一个锐角都小于45°
C.有一个锐角大于45°
D.每一锐角都大于45°
巩固练习
D
1. （江苏南京中考）过三点A（2，2），B（6，2），C（4，5）的圆的圆心坐标为（ ）
A.（4，） B.（4，3） C.（5， ） D.（5，3）
2.（四川内江中考） 已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4 +10b，则△ABC的外接圆半径=　　．
A
链接中考
1. 如图，请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法.
A
B
C
O
课堂检测
基础巩固题
2.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则它的外接圆半径= .
5
课堂检测
解析：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴BA==10，
∴△ABC的外接圆的圆心在其斜边AB的中点处.
∴其外接圆的半径为5．
如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）
M
R
Q
A
B
C
P
A．点P B．点Q
C．点R D．点M
B
课堂检测
能力提升题
某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘要确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．
解：（1）在圆形瓷盘的边缘选A，B，C三点；
（2）连接AB，BC；
（3）分别作出AB，BC的垂直平分线；
（4）两垂直平分线的交点就是瓷盘的圆心.
A
B
C
课堂检测
拓广探索题
作圆
过一点可以作无数个圆
过两点可以作无数个圆
定理：
过不在同一直线上的三个点确定一个圆
注意：同一直线上的三个点不能作圆.
课堂小结
一个三角形的外接圆是唯一的
反证法
定义
步骤
假设，推理，得证
三角形的外心
定义
性质
在各类三角形中的位置
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
七彩课堂 伴你成长

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