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29.2 圆的有关性质
29.2.1 垂直于弦的直径
人教版 数学 九年级 上册
你知道赵州桥吗 它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
导入新知
3. 灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
1. 进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2. 理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.
素养目标
实践探究
　 把一个圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　
探究新知
圆的轴对称性
知识点 1
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
圆的对称性
圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.
●O
说一说
（2）如何来证明圆是轴对称图形呢？
探究新知
B
O
A
C
D
E
是轴对称图形．
大胆猜想
已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦， CD⊥AB，垂足为E．
【思考】左图是轴对称图形吗？
探究新知
满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？
证明：连接OA，OB.
则OA＝OB．
又∵CD⊥AB，
∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.
∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.
B
O
A
C
D
E
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
探究新知
如图，AB是⊙O的一条弦， 直径CD⊥AB， 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧 为什么
线段: AE=BE
弧: AC=BC， AD=BD
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⌒
⌒
理由：把圆沿着直径CD折叠时，
CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC，AD与BD重合．
⌒
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⌒
·
O
A
B
D
E
C
探究新知
垂径定理及其推论
知识点 2
垂径定理
·
O
A
B
C
D
E
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE，
⌒
⌒
AC =BC，
⌒
⌒
AD =BD.
推导格式：
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如.
探究新知
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
D
C
O
E
探究新知
A
B
O
E
C
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
C
A
B
O
D
C
探究新知
归纳总结
【思考】如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
一条直线
过圆心
垂直于弦
平分弦
平分线所对的优弧
平分弦所对的劣弧
具备其中两条
其余三条成立
探究新知
D
O
A
B
E
C
举例证明其中一种组合方法.
已知:
求证：
① CD是直径；
② CD⊥AB，垂足为E；
③ AE=BE；
④ AC=BC； ⑤ AD=BD.
⌒
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⌒
⌒
探究新知
证明猜想
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）
B
D
（2）由垂径定理，得AC =BC， AD =BD.
⌒
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⌒
⌒
（1）连接AO，BO，则AO=BO，
又∵AE=BE， OE=OE
∴△AOE≌△BOE（SSS）.
∴∠AEO=∠BEO=90°.
∴CD⊥AB.
证明举例
⌒
AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
⌒
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⌒
探究新知
D
O
A
B
E
C
证明：
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？
如不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论
·
O
A
B
C
D
特别说明：圆的两条直径是互相平分的.
探究新知
归纳总结
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10 cm，
OE=6 cm，则AB= cm.
·
O
A
B
E
解析：连接OA，∵ OE⊥AB，
∴ AB=2AE=16 cm.
16
∴
（cm）.
素养考点 1
垂径定理及其推论的计算
探究新知
如图， ⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
·
O
A
B
E
C
D
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
∴ .
设OC=x cm，则OD= x-2，根据勾股定理，得
解得 x=5，
即半径OC的长为5cm.
x2=42+（x-2）2，
巩固练习
例2 已知：⊙O中弦AB∥CD，
求证：AC＝BD.
⌒
⌒
.
M
C
D
A
B
O
N
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则AM＝BM，CM＝DM（垂直于弦的直径平分弦所对的弧），
AM－CM＝BM－DM.
∴AC＝BD.
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⌒
平行弦夹的弧相等.
利用垂径定理及推论证明相等
素养考点 2
探究新知
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距（垂线段），或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
归纳总结
探究新知
O
O
O
A
A
A
B
B
B
C
C
D
E
M
N
如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
求证: 四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
又∵AC = AB，
∴ AE = AD.
∴ 四边形ADOE为正方形.
证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC，
∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°.
∴四边形ADOE为矩形，AE= AC，AD= AB.
巩固练习
例3 根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出导入中赵州桥主桥拱半径的问题吗
素养考点 3
垂径定理的实际应用
探究新知
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37m，CD=7.23m.
解得 R≈27.3.
因此，赵州桥主桥拱半径长约为27.3m.
即R2=18.52+（R-7.23）2，
∴ AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.
探究新知
如图1，2，一弓形弦长为 　 cm，弓形所在的圆的半径为7 cm，则弓形的高为_____________.
C
D
C
B
O
A
D
O
A
B
图1
图2
5cm或12cm
巩固练习
在圆中有关弦长a，半径r， 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
弓形中重要数量关系
d+h=r
O
A
B
C
·
归纳总结
探究新知
A
B
C
D
O
h
r
d
（贵州安顺中考）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（　 ）
A．2cm B．4cm
C．2cm或4cm D．2cm或4cm
C
链接中考
1. 已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .
5cm
课堂检测
基础巩固题
2. ⊙O的直径AB=20cm， ∠BAC=30°则弦AC= .
10
3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN=12cm，EF=16cm，则弦MN和EF之间的距离为 .
14cm或2cm
课堂检测
已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点. 你认为AC和BD有什么关系？为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE.
∴ AE－CE＝BE－DE.
即 AC＝BD.
.
A
C
D
B
O
E
课堂检测
能力提升题
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600 m，E为弧CD上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m.求这段弯路的半径.
解:如图，连接OC.
● O
C
D
E
F
┗
设这段弯路的半径为Rm，则OF=（R-90）m.
根据勾股定理，得
即
解得R=545.
∴这段弯路的半径约为545m.
课堂检测
拓广探索题
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;
③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对优
弧;⑤平分弦所对的劣弧. “知二推三”
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：
连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
谢谢观看

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