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29.2 圆的有关性质
29.2.2 圆心角
人教版 数学 九年级 上册
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？分成八块呢？
导入新知
3. 理解圆心角、弧、弦关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义.
1. 理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性.
2. 探索圆心角、弧、弦之间的关系并利用其解决相关问题.
素养目标
【思考】 圆是中心对称图形吗 它的对称中心在哪里
探究新知
圆心角的概念
知识点 1
圆是中心对称图形
.
O
A
B
180°
【观察】1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
探究新知
2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？
O
α
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.
·
探究新知
·
O
B
A
·
O
B
A
观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？
顶点在圆心上
探究新知
O
A
B
M
1. 圆心角：顶点在圆心的角，如∠AOB .
3. 圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
任意给圆心角，对应出现三个量：
圆心角
弧
2. 圆心角 ∠AOB 所对的弧为 AB.
⌒
弦
探究新知
练一练：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
①
②
③
④
顶点在圆内，但不是圆心，不是圆心角
顶点在圆外，不是圆心角
顶点在圆周上，不是圆心角
圆心角
探究新知
∠AOB＝∠A′OB′
·
O
A
B
A′
B′
如图，在⊙O中，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A'OB'的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
得到：
AB =A＇B＇
探究新知
圆心角、弧、弦之间的关系
知识点 2
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，AB与CD，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？
⌒
⌒
C
·
O
A
B
D
由圆的旋转不变性，可得：
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，
那么， AB与CD ，弦AB=弦CD
归纳
探究新知
在同圆中探究
⌒
⌒
·
O
A
B
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
·
O ′
C
D
通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，可得：
如果∠AOB=∠COD，
那么，AB=CD，
弦AB=弦CD.
归纳
⌒
⌒
在等圆中探究
探究新知
在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等．
①∠AOB=∠COD
②AB=CD
⌒ ⌒
③AB=CD
A
B
O
D
C
弧、弦与圆心角的关系定理
探究新知
【想一想】定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
A
B
O
D
C
探究新知
如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等
弧所对的弦相等
如果弦相等
那么
弦所对应的圆心角相等
弦所对应的优弧相等
弦所对应的劣弧相等
如果圆心角相等
那么
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等
在同圆或等圆中
题设
结论
探究新知
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．
探究新知
弧、弦与圆心角关系定理的推论
关系结构图
探究新知
解：
∵BC=CD=DE，
例1 如图，AB是⊙O 的直径，BC=CD=DE.∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
·
A
O
B
C
D
E
素养考点 1
利用弧、弦、圆心角的关系求角度
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
探究新知
×
×
（1）等弦所对的弧相等. （ ）
（2）等弧所对的弦相等. （ ）
（3）圆心角相等，所对的弦相等. （ ）
×
巩固练习
判断正误.
证明：
∴ AB=AC，△ABC是等腰三角形.
又∵ ∠ACB=60°，
∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
·
A
B
C
O
例2 如图，在⊙O中， AB=AC ,∠ACB=60°.
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
⌒ ⌒
∵AB=CD，
⌒ ⌒
利用弧、弦、圆心角的关系证明相等
素养考点 2
探究新知
填一填.
如图，AB，CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么___________， _______________．
（2）如果 ，那么____________，_____________．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么__________，_________．
·
C
A
B
D
E
F
O
AB=CD
AB=CD
AB=CD
(
(
∠AOB= ∠COD
∠AOB= ∠COD
AB=CD
(
(
AB=CD
(
(
巩固练习
（4）如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，OE与OF相等吗？为什么？
·
C
A
B
D
E
F
O
解：OE=OF.
巩固练习
（浙江中考）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则∠BOC的度数是（　　）
A．120° B．135° C．150° D．165°
解析：如图所示，连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，
由题意，得EO= BO，AB∥DC，
可得∠EBO=30°，
故∠BOD=30°，则∠BOC=150°．
C
链接中考
1．如果两个圆心角相等，那么 （ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
D
课堂检测
基础巩固题
2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 　.
60 °
3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则AB与CD的关系是（ ）
⌒ ⌒
A
A. AB=2CD
⌒ ⌒
B. AB＞CD
⌒ ⌒
C. AB＜CD
⌒ ⌒
D. 不能确定
课堂检测
如图，已知AB，CD为⊙O的两条弦，AD=BC.
求证：AB＝CD.
.
C
A
B
D
O
课堂检测
能力提升题
⌒ ⌒
⌒ ⌒
AD=BC，
∵
如图，在⊙O中，2∠AOB=∠COD，那么CD=2AB成立吗？CD=2AB也成立吗？请说明理由；如不是，那它们之间的关系又是什么？
⌒ ⌒
解：CD=2AB成立，CD=2AB不成立.
取CD的中点E,连接OE.
那么∠AOB=∠COE=∠DOE,所以 AB=CE=DE ，
CE+DE=2AB，在△CDE中，CE+DE>CD,即CD＜2AB.
⌒ ⌒
A
B
C
E
O
易错点拨：在同圆或等圆中，由弧相等可推出对应的弦相等；但当弧有倍数关系时，弦不具备此关系.
课堂检测
⌒
⌒
⌒
⌒
拓广探索题
D
得CD=2AB.
⌒ ⌒
圆心角
圆心角
相等
弧
相等
弦
相等
弦、弧、圆心角的关系定理
在同圆或等圆中
概念：顶点在圆心的角
解题指导
①注意前提条件；
②注意灵活转化.
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
谢谢观看

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