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29.2 圆的有关性质
29.2.3 圆周角
人教版 数学 九年级 上册
问题1: 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角, ∠BOC.
问题2: 如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点
A
∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B，C两点.
导入新知
1. 理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
3. 理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程.
2. 掌握圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定
理解决简单的几何问题.
4. 掌握圆内接多边形的概念及圆内接四边形的性质并能运用其性质进行计算.
素养目标
顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫作圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
探究新知
圆周角的概念
知识点 1
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
练一练：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
（2）
（1）
（3）
（5）
（6）
顶点不在圆上
顶点不在圆上
边AC没有和圆相交
√
√
√
探究新知
（4）
如图，连接BO，CO，得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.
探究新知
圆周角定理及其推论
知识点 2
测量与猜想
圆心O 在∠BAC 的 内部
圆心O在∠BAC的一条边上
圆心O在∠BAC
的外部
探究新知
推导与论证
圆心O在∠BAC的一条边上（特殊情形）
OA＝OC
∠A＝ ∠C
∠BOC＝ ∠ A+ ∠C
证明：
探究新知
O
A
B
C
D
圆心O在∠BAC的内部
证明：连接AO并延长交⊙O于D.
探究新知
B
C
O
A
D
圆心O在∠BAC的外部
证明：连接AO并延长交⊙O于点D.
探究新知
探究新知
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
问题1 如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A ,D 是上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由.
D
∴∠BAC＝∠BDC.
答：相等.
证明：在⊙O中，∵
探究新知
互动探究
D
A
B
O
C
E
F
问题2 如图，若CD＝EF，∠A与∠B相等吗？
答：相等.
想一想：（1）反过来，若∠A＝∠B，那么CD＝EF成立吗？
（2）若CD是直径，你能求出∠A的度数吗？
证明：连接OC，OE，OD，OF，
∵CD＝EF，
成立
90°
探究新知
⌒ ⌒
⌒ ⌒
⌒ ⌒
A1
A2
A3
探究新知
圆周角定理的推论
同弧或等弧所对的圆周角相等.
试一试
如图，点A，B，C，D在☉O上，点A与点D在点B，C所在直线的同侧，∠BAC＝35 .
（1）∠BOC＝ ，理由
是 ;
（2）∠BDC＝ ，理由是 .
70
35
同弧所对的圆周角相等
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
探究新知
如图，线段AB是☉O的直径，C是 ☉O上的任意一点（除点A，B外），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？
·
O
A
C
B
解：∵OA＝OB＝OC，
∴△AOC，△BOC都是等腰三角形.
∴ ∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB.
又∵ ∠OAC+∠OBC+∠ACB＝180°.
∴ ∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝180°÷2＝90°.
探究新知
探究新知
圆周角和直径的关系
半圆或直径所对的圆周角是直角，
90°的圆周角所对的弦是直径.
例1 如图，AB是☉O的直径，∠A＝80°.求∠ABC的大小.
O
C
A
B
解： ∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB＝90°
∴∠ABC＝180°-∠A-∠ACB
＝180°-90°-80°＝10°.
利用圆周角定理及推论求角的度数
素养考点 1
探究新知
如图，AB是⊙O的直径，∠A＝10°，则∠ABC＝______．
巩固练习
80°
例2 如图，分别求出图中∠x的大小.
60°
x
30°
20°
x
解：（1）∵同弧所对圆周角相等，∴∠x＝60°.
A
D
B
E
C
（2）连接BF，
F
∵同弧所对圆周角相等，
∴∠ABF＝∠D＝20°，∠FBC＝∠E＝30°.
∴∠x＝∠ABF+∠FBC＝50°.
60°
x
A
B
D
C
探究新知
如图,正方形ABCD的顶点都在☉O上，P是弧DC上的一点，则∠BPC＝_____.
解析：连接BD,则BD是直径,
∴△BCD是等腰直角三角形,
∴∠BDC＝45°,
∴∠BPC＝∠BDC＝45°.
巩固练习
45°
例3 如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.
（1）求DC的长；
（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B, 求AB，
BC的长．
B
解：（1）∵AC是直径，
∴ ∠ADC＝90°.
在Rt△ADC中，
利用圆周角定理及推论进行计算及证明线段相等
素养考点 2
探究新知
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
（2）∵ AC是直径,
∴ ∠ABC＝90°.
∵BD平分∠ADC,
∴∠ADB＝∠CDB.
又∵∠ACB＝∠ADB ,∠BAC＝∠BDC .
∴ ∠BAC＝∠ACB,
∴AB＝BC.
B
解题妙招
在圆周角问题中，若题干中出现“直径”这个条件，则找直径所对的圆周角，通过构造直角三角形来解决.
探究新知
∴
如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
C
巩固练习
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作圆的内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆.
探究新知
圆内接四边形
知识点 3
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.
猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为：
∠A+∠C＝180 ，
∠B+∠D＝180 .
想一想：如何证明你的猜想呢？
探究新知
探究性质
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
同理∠B＋∠D＝180°，
推论：圆内接四边形的对角互补.
证明：
探究新知
C
O
D
B
A
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
同理∠B＋∠D＝180°，
E
∵∠BCD＋∠DCE＝180°.
∴∠A＝∠DCE.
想一想：图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
探究新知
推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
C
O
D
B
A
E
探究新知
例 如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，
∴∠FGD＝∠ACD.
又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，
∴AB垂直平分CD，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠FGD＝∠ADC.
素养考点3
圆内接四边形性质的应用
素养考点
探究新知
如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是(　　)
A．120° B．100° C．80° D．60°
A
巩固练习
1.（山东聊城中考）如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是（　　）
A．25° B．27.5° C．30° D．35°
D
链接中考
2. （山东济宁中考）如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（ ）
A．50° B．60° C．80° D．100°
解析：圆上取一点A，连接AB，AD，
∵点A，B，C，D在⊙O上，∠BCD＝130°，
∴∠BAD＝50°，
∴∠BOD＝100°.
D
链接中考
3.（陕西中考）如图，AB为⊙O 的直径，BC＝BD，∠CDB＝24°，则∠ACD的度数为_________.
66°
链接中考
⌒ ⌒
解析：连接BC，
∴∠BCD＝∠CDB＝24°.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∴∠ACD＝90°－24°＝66°．
1.判断.
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等.（ ）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等.（ ）
（3）同弦所对的圆周角相等.（ ）
√
×
×
课堂检测
基础巩固题
2. 如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD＝60°，则∠DBC的度数为（ ）
A.30° B.40° C.50° D.60°
A
课堂检测
3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，如∠BOD＝130°，则∠BCD的度数是（ ）
A. 115° B. 130° C. 65° D. 50°
A
B
C
D
O
C
课堂检测
4.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC＝50°,
∠ABC＝47°, 则∠AOB＝ ．
B
A
C
O
166°
课堂检测
A
O
B
C
∴∠ACB＝2∠BAC.
证明：
如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC.
求证：∠ACB＝2∠BAC.
∠AOB＝2∠BOC，
课堂检测
能力提升题
∵
船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁，如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系？
课堂检测
拓广探索题
解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即⊙O外） ，与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”.
即在⊙O中，∠ACB＝∠AEB
∠AEB＞∠α
∠ACB＞∠α.
课堂检测
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
圆周角定理
圆周角定理的推论
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等
1.90°的圆周角所对的弦是直径；
2.圆内接四边形的对角互补
1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备）
圆周角与直
径的关系
半圆（或直径）所对的圆周角是直角
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
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