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(共32张PPT)
29.3 弧长和扇形的面积
（第1课时）
人教版 数学 九年级 上册
问题1 如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？
问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？
因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.
导入新知
2. 知道公式中字母的含义，并能正确运用这些公式进行相关计算.
1. 能推导弧长和扇形面积的计算公式.
素养目标
问题1 半径为R的圆，周长是多少？
O
R
问题2 （1）360°的圆心角所对的弧长是多少？
（2）1°的圆心角所对的弧长是多少？
（3）n°的圆心角所对的弧长是多少？
探究新知
弧长计算公式及相关的计算
知识点 1
弧长 ＝ ·2πR
＝
弧长 ＝ ·2πR
＝
弧长 ＝ ·2πR
＝
弧长＝ ·2πR
＝
问题3 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几 弧长是多少？
O
R
180°
O
R
90°
O
R
45°
O
R
n°
探究新知
用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
注意
算一算 已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧长为____.
弧长公式
探究新知
例 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB的长
因此所要求的展直长度l≈2×700+1570＝2 970（mm）.
答：管道的展直长度约为2 970mm．
700mm
700mm
R＝900mm
(
100 °
A
C
B
D
O
700mm
弧长公式的应用
素养考点
探究新知
解：设半径OA绕轴心O逆时针方向旋转的度数为n°.
解得 n≈90°.
因此，滑轮旋转的角度约为90°.
一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径r＝10cm，当重物上升15.7cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O逆时针方向旋转多少度（假设绳索与滑轮之间没有滑动， 取3.14）？
巩固练习
·
O
A
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形.
如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
半径
半径
O
B
A
圆心角
弧
O
B
A
扇形
探究新知
扇形面积计算公式及相关的计算
知识点 2
下列图形是扇形吗？
判一判
√
×
×
×
√
探究新知
问题1 半径为R的圆，面积是多少？
O
R
问题3 下页图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢
问题2 （1）360°的圆心角所对扇形的面积是多少？
（2）1°的圆心角所对扇形的面积是多少？
（3）n°的圆心角所对扇形的面积是多少？
探究新知
S=πR2
圆心角占
周角的比例 扇形面积占
圆面积的比例 扇形的
面积
O
R
180°
O
R
90°
O
R
45°
O
R
n°
探究新知
πR2
πR2
πR2
πR2
扇形面积公式
半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形的面积
①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
注意
探究新知
S扇形＝πR2
大小不变时，对应的扇形面积与 有关，
越长，面积越大.
圆心角
半径
半径
圆的 不变时，扇形面积与 有关， 越大，面积越大.
圆心角
半径
圆心角
总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.
O ●
A
B
D
C
E
O ●
A
B
C
D
问题 扇形的面积与哪些因素有关？
探究新知
问题 扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
想一想 :扇形的面积公式与什么公式类似？
A
B
O
O
探究新知
S扇形＝
l＝
S扇形＝＝·lR
S扇形lR
例1 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长（精确到0.01cm2和0.01cm）.
O
R
60°
解：∵n＝60，r＝10cm，
∴扇形的面积为
扇形的周长为
探究新知
扇形面积公式的应用
素养考点 1
已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积S扇＝ ．
已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S扇＝ .
巩固练习
例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高0.3 m.求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）.
（1）
O .
B
A
C
讨论：（1）截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？
阴影部分.
探究新知
求阴影部分的面积
素养考点 2
O.
B
A
C
D
（2）
O.
B
A
C
D
（3）
（2）水面高0.3 m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？
线段DC.过点O作OD垂直于AB并交圆O于C.
（3）要求图中阴影部分面积，应该怎么办？
阴影部分面积＝扇形OAB的面积－ △OAB的面积.
探究新知
解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交AB于点C，连接AC.
∵ OD＝OC- DC，OC＝0.6，DC＝0.3，
∴ OD＝0.3.
∴ OD＝DC.
又 ∵AD ⊥OC，
∴AD是线段OC的垂直平分线，
∴AC＝AO＝OC.
　从而 ∠AOD＝60 ，∠AOB＝120 .
O.
B
A
C
D
（3）
探究新知
　　则有水部分的面积
S＝S扇形OAB - SΔOAB
⌒
O
O
弓形的面积＝扇形的面积±三角形的面积
S弓形＝S扇形-S三角形
S弓形＝S扇形+S三角形
弓形的面积公式
探究新知
2π
如图 ，扇形 OAB 的圆心角为 60°，半径为 6 cm，C，D 是弧 AB 的三等分点，则图中阴影部分的面积和是_____．
解析：阴影部分的面积就是扇形OAC的面积，由题意，得
∠AOC＝60°÷3＝20°.
S扇形OAC＝ ＝2π.
巩固练习
2π
1.（湖北黄石中考）如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，BO＝4，则劣弧 的长为（　　）
A． B． C． 2π D．
解析：如图，连接OD，∵∠ABD＝30°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝60°.
∴∠BOD＝120°.
∴ 的长＝ ＝ .
D
链接中考
⌒
2. （四川成都中考）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．π B．2π C．3π D．6π
C
解析：在平行四边形ABCD中，
∵∠B＝60°，
∴∠C＝120°，
又∵⊙C的半径为3，
∴图中阴影部分的面积是 ＝3π.
链接中考
2.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，O，H分别为AB，AC的中点，将△ABC顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为 （ ）
B．
C. D.
1.已知弧所对的圆心角为90°，半径是4，则弧长 .
C
A
B
C
O
H
C1
A1
H1
O1
课堂检测
基础巩固题
3. 如图，☉A，☉B， ☉C， ☉D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是 .
A
B
C
D
课堂检测
1. 如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝ ，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．
A1
A2
C1
课堂检测
能力提升题
l
O
2. 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.
A
B
D
C
E
解：
课堂检测
解: 由图可知，由于∠A'CB'＝60°，则等边三角形木板绕点C按顺时针方向旋转了120°，即∠ACA' ＝120°，这说明顶点A经过的路程长等于弧AA' 的长.
∵等边三角形ABC的边长为10cm，
∴弧AA' 所在圆的半径为10cm.
∴l弧AA'
如图，一个边长为10cm的等边三角形模板ABC在水平桌面上绕顶点C按顺时针方向旋转到△A'B'C的位置，求顶点A从开始到结束所经过的路程为多少.
A
B
A'
B'
C
答：顶点A从开始到结束时所经过的路程为
课堂检测
拓广探索题
弧长
计算公式：
扇形
定义
公式
阴影部分面积求法：整体思想
弓形
公式
S弓形＝S扇形-S三角形
S弓形＝S扇形+S三角形
割补法
课堂小结
S扇形lR
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
课后作业
谢谢观看

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