资源简介 第1节 平面向量的概念及线性运算（时间：45分钟，满分：77分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]1.＋－－＝（ ）A. B.0C. D. 2.下列命题中正确的是（ ）A.｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜ a与b方向相反B.平行向量不一定是共线向量C.若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反D.如果非零向量a，b的方向相同或相反，那么a＋b的方向与a，b之一的方向一定相同 3.〔一题多解〕在△ABC中，D为AB的中点，E为CD的中点，设＝a，＝b，则＝（ ）A.a＋b B.a－bC.a＋b D.a－b 4.（2026·北京顺义月考）设O，A，B，C为同一平面上四个不同的点，且它们满足3＋＝4，则（ ）A.A，B，C三点共线 B.O，B，C三点共线C.A，O，C三点共线 D.A，B，O三点共线 5.（2026·江苏连云港模拟）已知向量a，b不共线，若向量a＋λb与b＋λa的方向相反，则λ的值为（ ）A.1 B.0C.－1 D.±1 6.〔多选〕如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且＝3，F为AE的中点，则（ ）A.＝－＋B.＝＋C.＝－＋D.＝－ 7.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，且＝λ＋μ，则λ＋μ＝ . 8.已知O为△ABC内一点，且2＝＋，＝t，若B，O，D三点共线，则实数t的值为 . 9.（2026·辽宁辽阳模拟）在平行四边形ABCD中，｜＋｜＝｜－｜＝4，且∠BAC＝∠CAD，则平行四边形ABCD的面积为 . 10.已知点O为△ABC的外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A＝（ ）A.30° B.45°C.60° D.90° 11.（2026·江苏盐城模拟）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，CD上，且满足＝，＝2，则｜＋｜＝（ ）A.1 B.2C.3 D.4 12.〔多选〕设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）A.若＝，则＝＋B.若＝2－3，则M，B，C三点共线C.若点M是△ABC的重心，则＋＋＝0D.若＝x＋y且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的 13.在直角梯形ABCD中，A＝90°，B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是 . 14.（2026·福建福州模拟）如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.若＝m，＝n，m＞0，n＞0，则＋的最小值为 . 15.〔创新设问〕设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，｜b＋ta｜的最小值为1，则（ ）A.若θ确定，则｜a｜唯一确定B.若θ确定，则｜b｜唯一确定C.若｜a｜确定，则θ唯一确定D.若｜b｜确定，则θ唯一确定 第1节 平面向量的概念及线性运算1.B 2.C 3.C 4.A 5.C 6.ABC 7.4 8.9.8 解析：在平行四边形ABCD中，＋＝，－＝，因为｜＋｜＝｜－｜＝4，所以｜｜＝｜｜＝4，所以四边形ABCD为矩形.又∠BAC＝∠CAD，所以四边形ABCD为正方形，所以四边形ABCD的面积为×4×4＝8.10.A 由＋＋＝0，得＋＝.又O为△ABC的外接圆的圆心，根据向量加法的几何意义，知四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，因此∠CAB＝30°.故选A.11.C 因为＝，所以＝＋＝＋，又因为＝2，所以＝＋＝＋，所以｜＋｜＝｜＋｜＝｜｜，又因为∠BAD＝120°，所以∠ADC＝60°，所以△ADC为等边三角形，所以AC＝AD＝2，所以｜＋｜＝｜｜＝×2＝3.12.ACD 对于A，＝＋＝＋＝＋＝＋，故A正确；对于B，假设M，B，C三点共线，则＝λ，即－＝λ（－），整理得＝－λ＋（1＋λ），故当λ＝－2时，即＝2－，与条件中的＝2－3不一致，所以M，B，C三点不共线，故B错误；对于C，如图，取BC中点H，连接AH，若点M是△ABC的重心，则点M在AH上，且MA＝2MH，则＋＝2，则＋＋＝0，故C正确；对于D，由于＝x＋y且x＋y＝，所以3＝3x＋3y，其中3x＋3y＝1，不妨设＝3，则点Q在直线BC上，由于△MBC与△ABC同底，而高线之比等于MQ与AQ的比，即比值为2∶3，所以△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确.故选A、C、D.13.［0，］ 解析：由已知得AD＝1，CD＝，所以＝2.因为点E在线段CD上，所以＝λ（0≤λ≤1）.因为＝＋＝＋λ＝＋，又＝＋μ，所以μ＝.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤.14. 解析：根据题意，可得＝，所以＝，如图，连接AO，则有＝＋＝＋＝＋（－）＝＋.又＝m，＝n，所以＝＋，因为M，O，N三点共线，所以＋＝1.因为m＞0，n＞0，所以＋＝（ ＋）（ ＋）＝＋＋≥＋2＝，当且仅当即时取等号，所以＋的最小值为.15.B 设a＝，b＝，过点B作OA的平行线l，设＝ta，则点P在l上 ，即＝b＋ta，显然当⊥时，｜｜最小.此时｜｜＝｜b｜sin θ（图1），或者｜｜＝｜b｜sin（π－θ）（图2），即1＝｜b｜sin θ，所以若θ确定，则｜b｜唯一确定；若｜b｜确定，则θ可能有两解.故选B.1 / 1第1节 平面向量的概念及线性运算1.理解平面向量的意义、几何表示及两个向量相等的含义. 2.掌握平面向量加、减运算、数乘运算及运算规则，理解其几何意义及两个平面向量共线的含义. 3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.知识梳理1.向量的有关概念名称 概念向量 既有大小又有 的量叫做向量，向量的大小称为向量的 （或称 ）零向量 长度为 的向量，记作 单位向量 长度等于 的向量平行向量 方向相同或 的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量 相等向量 长度相等且方向 的向量相反向量 长度相等且方向 的向量提醒：单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与非零向量a平行的单位向量有两个，即向量和－.2.向量的线性运算向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律加法 求两个 向量和 的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：（a＋b）＋c＝ 减法 求两个 向量差 的运算 a－b＝a＋（－b）数乘 求实数λ与向量a的积的运算 ｜λa｜＝｜λ｜｜a｜，当λ＞0时，λa的方向与a的方向 ； 当λ＜0时，λa的方向与a的方向 ； 当λ＝0时，λa＝0 λ（μa）＝ ； （λ＋μ）a＝λa＋μa； λ（a＋b）＝λa＋λb提醒：多个向量相加，利用向量加法的三角形法则，首尾顺次连接，a＋b＋c表示从始点指向终点的向量.3.共线向量定理向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 .提醒：只有a≠0才能保证实数λ的存在性和唯一性.1.若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝（＋）. 2.若G为△ABC的重心，则＋＋＝0；＝（＋）. 3.＝λ＋μ（λ，μ为实数），若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1. 4.对于任意两个向量a，b，都有｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜.诊断自测1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）｜a｜与｜b｜是否相等，与a，b的方向无关.（ ）（2）若向量a与b同向，且｜a｜＞｜b｜，则a＞b.（ ）（3）若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.（ ）（4）当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.（ ）2.如图，在正△ABC中，D，E，F均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（ ）A. B.C. D.3.在△ABC中，D是边AB上的中点，则＝（ ）A.2＋ B.－2C.2－ D.＋24.化简：（1）（＋）＋＋＝ ；（2）＋＋－＝ .5.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝ .平面向量的有关概念（基础自学过关）1.下列命题中的真命题是（ ）A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点也相同B.与是两平行向量C.若a∥b，b∥c，则a∥cD.a＝b的充要条件是｜a｜＝｜b｜且a∥b2.下列说法正确的是（ ）A.若｜a｜＝｜b｜，则a＝b或a＝－bB.若a为平面内的某个向量，a0为单位向量，则a＝｜a｜a0C.若ma＝mb，m∈R，则a＝bD.若ma＝0，m∈R，则m＝0或a＝03.设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是（ ）A.a＝－b B.a∥bC.a＝2b D.a∥b且｜a｜＝｜b｜4.〔多选〕（2026·山东滨州模拟）如图，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论一定成立的是（ ）A.｜｜＝｜｜ B.与共线C.与共线 D.＝平面向量有关概念的四个关注点 （1）非零向量的平行具有传递性； （2）共线向量即为平行向量，它们均与起点无关； （3）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量； （4）是与非零向量a同方向的单位向量.平面向量的线性运算（定向精析突破）考向1 向量加、减法的几何意义（1）给出下列不等式或等式：①｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜；②｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜；③｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜；④｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜.其中，一定不成立的个数是（ ）A.0 B.1C.2 D.3（2）若向量a≠0，b≠0，且｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，则向量a与向量a＋b所在直线的夹角是 .听课记录考向2 向量的线性运算教材母题：〔人A必修二P14例6〕如图， ABCD的两条对角线相交于点M，且＝a，＝b，用a，b表示，，和.细研教材：由教材例题可知：在△ABC中，若D为边AB的中点，则＝＋.将“D为边AB的中点”改为“D在边AB上且＝λ”，则＝＋＝＋λ＝＋λ（－）＝λ＋（1－λ）.变式1 〔链接高考〕〔一题多解〕（2022·新高考Ⅰ卷3题）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝（ ）A.3m－2n B.－2m＋3nC.3m＋2n D.2m＋3n变式2 在△ABC中，D是线段AB上靠近B的四等分点，E是线段CD上靠近D的三等分点，则＝（ ）A.－＋ B.－C.－＋ D.－＋平面向量的线性运算的求解策略考向3 根据向量线性运算求参数如图，在平行四边形ABCD中，BE＝BC，DF＝DE，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝（ ）A. B.－ C. D.0听课记录 解决与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形或平行四边形，利用向量运算的三角形法则或平行四边形法则，应用其几何意义进行加法或减法运算，然后通过建立方程（组）即可求得相关参数的值.训练1 （1）如图，AB是圆O的一条直径，C，D为半圆弧的两个三等分点，则＝（ ）A.－B.2－2C.－D.2－2（2）（2026·辽宁部分重点中学协作体考试）已知向量m＝（1，0），向量a满足｜a－2m｜＝｜m｜，则｜a｜的最小值为（ ）A.1 B.2 C.3 D.4（3）在△ABC中，D在BC上，且＝2，E在AD上，且＝4.若＝x＋y，则x＋y＝（ ）A. B. C.－ D.－共线向量定理的应用（师生共研过关）（1）已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e1＋λe2与μe1＋e2（λ，μ为实数）是共线向量，则（ ）A.＝－2 B.λμ＝－2C.＝2 D.λμ＝2（2）（2026·河北衡水调研）已知点O是△ABC的重心，过点O的直线与边AB，AC分别交于M，N两点，D为边BC的中点.若＝x＋y（x，y∈R），则x＋y＝（ ）A. B.C.2 D.听课记录利用共线向量定理解题的策略 （1）a∥b a＝λb（b≠0）是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用； （2）当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线 ，共线； （3）若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0； （4）＝λ＋μ（λ，μ为实数），若A，B，C三点共线（O不在直线BC上），则λ＋μ＝1.训练2 （1）若a，b是两个不共线的向量，已知＝a－2b，＝2a＋kb，＝3a－b，若M，N，Q三点共线，则k＝（ ）A.－1 B.1 C. D.2（2）在△ABC中，点D在边BC的延长线上，且＝3.若＝x＋（1－x），－＜x＜0，则点O在（ ）A.线段BC上 B.线段CD上C.线段AC上 D.线段AD上第1节 平面向量的概念及线性运算【夯实必备知识】知识梳理1.方向 长度 模 0 0 1个单位长度 相反 平行 相同 相反 2.a＋（b＋c） 相同 相反 （λμ）a3.b＝λa诊断自测1.（1）√ （2）× （3）× （4）√2.D 3.C 4.（1） （2）0 5.【研透核心考点】考点11.B 2.D 3.C 4.ABD 考点2【例1】 （1）A （2） 解析：（1）①当a与b不共线时成立；②当a＝b＝0或b＝0，a≠0或a＝0，b≠0时成立；③当两个非零向量a与b共线，且方向相反时成立；④当两个非零向量a与b共线，且方向相同时成立.（2）设＝a，＝b，以OA，OB为邻边作 OACB，如图所示，则a＋b＝，a－b＝.因为｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，所以｜｜＝｜｜＝｜｜，所以△OAB是等边三角形，所以∠BOA＝.在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，所以向量a与向量a＋b所在直线的夹角为.教材母题 解：在 ABCD中，＝＋＝a＋b，＝－＝a－b.由平行四边形的两条对角线互相平分，得＝－＝－（a＋b）＝－a－b，＝＝（a－b）＝a－b，＝＝a＋b，＝－＝－a＋b.变式1 B 法一 因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋3（－）＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B.法二 因为BD＝2DA，所以＝，所以＝＋（ 1－），即＝＋，即n＝m＋，所以＝3n－2m.故选B.法三（作图法） 如图，利用平行四边形法则，合成出向量，由图易知（即向量m）的系数为负数，排除A、C、D.故选B.变式2 C 如图，由题意得＝，＝，故＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝＋＝－＋（－）＝－＋.【例2】 A 在平行四边形ABCD中，BE＝BC，DF＝DE，所以＝＋＝＋＝＋（＋）＝＋＝＋，若＝λ＋μ，则λ＝μ＝，所以λ＋μ＝.故选A.训练1 （1）D （2）A （3）C解析：（1）连接CD（图略），因为C，D是半圆弧的两个三等分点，所以CD∥AB，且AB＝2CD，因此＝2＝2（－）＝2－2.（2）由题意可得｜a－2m｜＝｜m｜＝1，因为a＝（a－2m）＋2m，则｜a｜＝｜（a－2m）＋2m｜≥｜｜a－2m｜－2｜m｜｜＝1，当且仅当a－2m，2m反向时，等号成立，所以｜a｜的最小值为1.故选A.（3）因为＝2，所以＝，则＝＋＝＋＝＋（－）＝＋.又＝4，所以＝＝＋，则＝－＝－＋，又＝x＋y，所以x＝－，y＝，则x＋y＝－＋＝－.故选C.考点3【例3】 （1）D （2）A 解析：（1）由题意，可设2e1＋λe2＝t（μe1＋e2），t∈R，又e1，e2是两个不共线的向量，故解得λμ＝2.（2）如图所示，由三角形重心的性质，可得＝，所以＝，所以＝x＋y，即＝x＋y.易知M，O，N三点共线，可得x＋y＝1，所以x＋y＝.训练2 （1）B （2）B 解析：（1）由题意知，＝－＝a－（k＋1）b，∵M，N，Q三点共线，故存在实数λ，使得＝λ，即a－2b＝λ[a－（k＋1）b]，整理得（1－λ）a＝[2－λ（k＋1）]b，∵向量a，b不共线，∴解得故选B.（2）∵＝x＋（1－x），－＜x＜0，∴O，B，C三点共线.∵＝3，∴－＝3－3，∴＝－＋.又－＜x＜0，∴点O在线段CD上，且不与C，D点重合.故选B.1 / 1(共65张PPT)第1节 平面向量的概念及线性运算课标要求1. 理解平面向量的意义、几何表示及两个向量相等的含义.2. 掌握平面向量加、减运算、数乘运算及运算规则，理解其几何意义及两个平面向量共线的含义.3. 了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.目录/CONTENTS夯实必备知识01研透核心考点02课时跟踪检测0301PART夯实必备知识知识梳理1. 向量的有关概念名称 概念向量 既有大小又有 的量叫做向量，向量的大小称为向量的 （或称 ）零向量 长度为 的向量，记作 单位向量 长度等于 的向量方向 长度 模 0 0 1个单位长度 名称 概念平行向量 方向相同或 的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量 相等向量 长度相等且方向 的向量相反向量 长度相等且方向 的向量提醒：单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与非零向量a平行的单位向量有两个，即向量 和－ .相反 平行 相同 相反 2. 向量的线性运算向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律加法 求两个向量和 的运算 交换律：a＋b＝b＋a；结合律：（a＋b）＋c＝ 减法 求两个向量差 的运算 a－b＝a＋（－b）a＋（b＋c） 向量 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律数乘 求实数λ与向量a的积的运算 ｜λa｜＝｜λ｜｜a｜，当λ＞0时，λa的方向与a的方向 ； 当λ＜0时，λa的方向与a的方向 ； 当λ＝0时，λa＝0 λ（μa）＝ ；（λ＋μ）a＝λa＋μa；λ（a＋b）＝λa＋λb相同 相反 （λμ）a 提醒：多个向量相加，利用向量加法的三角形法则，首尾顺次连接，a＋b＋c表示从始点指向终点的向量.3. 共线向量定理向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 .提醒：只有a≠0才能保证实数λ的存在性和唯一性.b＝λa 1. 若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则 ＝ （ ＋ ）.2. 若G为△ABC的重心，则 ＋ ＋ ＝0； ＝ （ ＋ ）.3. ＝λ ＋μ （λ，μ为实数），若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.4. 对于任意两个向量a，b，都有｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜.诊断自测1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）｜a｜与｜b｜是否相等，与a，b的方向无关. （ √ ）（2）若向量a与b同向，且｜a｜＞｜b｜，则a＞b. （ × ）（3）若向量 与向量 是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上. （ × ）（4）当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.（ √ ）√××√2. 如图，在正△ABC中，D，E，F均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（ ）A. B.C. D.√解析： ∵ ， ， 与 方向不同，∴ ， ， 与 均不相等.∵ 与 方向相同，长度相等，∴ ＝ .3. 在△ABC中，D是边AB上的中点，则 ＝（ ）A. 2 ＋ B. －2C. 2 － D. ＋2√解析： ＝ ＋ ＝ ＋2 ＝ ＋2（ － ）＝2 －.故选C.4. 化简：（1）（ ＋ ）＋ ＋ ＝ ；解析： 原式＝ ＋ ＋ ＋ ＝ .（2） ＋ ＋ － ＝ .解析： 原式＝ ＋ ＝0.5. 设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝ .解析：∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ（a＋2b）成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则 解得λ＝μ＝ . 0 02PART研透核心考点平面向量的有关概念（基础自学过关）1. 下列命题中的真命题是（ ）A. 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点也相同B. 与 是两平行向量C. 若a∥b，b∥c，则a∥cD. a＝b的充要条件是｜a｜＝｜b｜且a∥b√解析： 两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故A错误；因为 ＝－ ，所以与 是两平行向量，所以B正确；当b＝0时，a与c不一定平行，故C错误；当a∥b且方向相反时，即使｜a｜＝｜b｜，也不能得到a＝b，故｜a｜＝｜b｜且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件，故D错误.故选B.2. 下列说法正确的是（ ）A. 若｜a｜＝｜b｜，则a＝b或a＝－bB. 若a为平面内的某个向量，a0为单位向量，则a＝｜a｜a0C. 若ma＝mb，m∈R，则a＝bD. 若ma＝0，m∈R，则m＝0或a＝0√解析： 对于A，两向量模相等，方向任意，不一定共线，故A错误；对于B，a与｜a｜a0模相等，但方向不一定相同，故B错误；对于C，当m＝0时，a与b不一定相等，故C错误；对于D，由ma＝0，得m＝0或a＝0，故D正确.3. 设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使 ＝ 成立的充分条件是（ ）A. a＝－b B. a∥bC. a＝2b D. a∥b且｜a｜＝｜b｜√解析： 因为向量 与向量a方向相同，向量 与向量b方向相同，且 ＝ ，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A、B、D. 当a＝2b时， ＝ ＝ ，故a＝2b是 ＝成立的充分条件.故选C.4. 〔多选〕（2026·山东滨州模拟）如图，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论一定成立的是（ ）A. ｜ ｜＝｜ ｜ B. 与 共线C. 与 共线 D. ＝√√√解析： 由四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，知｜｜＝｜ ｜，故A正确；由题图可知 与 的方向相反， 与的方向相同且长度相等，即 与 共线， ＝ ，故B、D正确；而∠BDE与∠DEH不一定相等， 与 不一定共线，故C错误.平面向量有关概念的四个关注点（1）非零向量的平行具有传递性；（2）共线向量即为平行向量，它们均与起点无关；（3）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；（4） 是与非零向量a同方向的单位向量.平面向量的线性运算（定向精析突破）考向1 向量加、减法的几何意义（1）给出下列不等式或等式：①｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜；②｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜；③｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜；④｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜.其中，一定不成立的个数是（ A ）A. 0 B. 1AC. 2 D. 3解析： ①当a与b不共线时成立；②当a＝b＝0或b＝0，a≠0或a＝0，b≠0时成立；③当两个非零向量a与b共线，且方向相反时成立；④当两个非零向量a与b共线，且方向相同时成立.（2）若向量a≠0，b≠0，且｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，则向量a与向量a＋b所在直线的夹角是 .解析： 设 ＝a， ＝b，以OA，OB为邻边作 OACB，如图所示，则a＋b＝ ，a－b＝ .因为｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，所以｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜，所以△OAB是等边三角形，所以∠BOA＝ .在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，所以向量a与向量a＋b所在直线的夹角为 . 考向2 向量的线性运算教材母题：〔人A必修二P14例6〕如图， ABCD的两条对角线相交于点M，且 ＝a， ＝b，用a，b表示 ， ， 和 .解：在 ABCD中， ＝ ＋ ＝a＋b，＝ － ＝a－b.由平行四边形的两条对角线互相平分，得＝－ ＝－ （a＋b）＝－ a－ b，＝ ＝ （a－b）＝ a－ b，＝ ＝ a＋ b，＝－ ＝－ a＋ b.细研教材：由教材例题可知：在△ABC中，若D为边AB的中点，则 ＝＋ .将“D为边AB的中点”改为“D在边AB上且 ＝λ ”，则 ＝ ＋ ＝ ＋λ ＝ ＋λ（ － ）＝λ＋（1－λ） .变式1 〔链接高考〕〔一题多解〕（2022·新高考Ⅰ卷3题）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA. 记 ＝m， ＝n，则 ＝（ ）A. 3m－2n B. －2m＋3nC. 3m＋2n D. 2m＋3n√解析： 法一 因为BD＝2DA，所以 ＝3 ，所以 ＝ ＋＝ ＋3 ＝ ＋3（ － ）＝－2 ＋3 ＝－2m＋3n.故选B. ``法二 因为BD＝2DA，所以 ＝ ，所以 ＝ ＋（1－ ） ，即 ＝ ＋ ，即n＝ m＋ ，所以 ＝3n－2m.故选B.法三（作图法） 如图，利用平行四边形法则，合成出向量，由图易知 （即向量m）的系数为负数，排除A、C、D. 故选B.变式2 在△ABC中，D是线段AB上靠近B的四等分点，E是线段CD上靠近D的三等分点，则 ＝（ ）A. － ＋ B. －C. － ＋ D. － ＋√解析： 如图，由题意得 ＝ ， ＝ ，故＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝＋ ＝ ＋ ＝－ ＋ （ － ）＝－ ＋ .平面向量的线性运算的求解策略考向3 根据向量线性运算求参数如图，在平行四边形ABCD中，BE＝ BC，DF＝ DE，若 ＝λ ＋μ ，则λ＋μ＝（ ）A. B. －C. D. 0√解析： 在平行四边形ABCD中，BE＝ BC，DF＝ DE，所以 ＝＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝ ＋ ＝＋ ，若 ＝λ ＋μ ，则λ＝μ＝ ，所以λ＋μ＝ .故选A. 解决与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形或平行四边形，利用向量运算的三角形法则或平行四边形法则，应用其几何意义进行加法或减法运算，然后通过建立方程（组）即可求得相关参数的值.训练1 （1）如图，AB是圆O的一条直径，C，D为半圆弧的两个三等分点，则 ＝（ D ）A. －B. 2 －2C. －D. 2 －2D解析： 连接CD（图略），因为C，D是半圆弧的两个三等分点，所以CD∥AB，且AB＝2CD，因此 ＝2 ＝2（ － ）＝2 －2 .（2）（2026·辽宁部分重点中学协作体考试）已知向量m＝（1，0），向量a满足｜a－2m｜＝｜m｜，则｜a｜的最小值为（ A ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解析：由题意可得｜a－2m｜＝｜m｜＝1，因为a＝（a－2m）＋2m，则｜a｜＝｜（a－2m）＋2m｜≥｜｜a－2m｜－2｜m｜｜＝1，当且仅当a－2m，2m反向时，等号成立，所以｜a｜的最小值为1.故选A.A（3）在△ABC中，D在BC上，且 ＝2 ，E在AD上，且 ＝4 .若 ＝x ＋y ，则x＋y＝（ C ）A. B. C. － D. －C解析：因为 ＝2 ，所以 ＝ ，则 ＝＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋.又 ＝4 ，所以 ＝ ＝ ＋ ，则 ＝ － ＝－ ＋ ，又 ＝x ＋y ，所以x＝－ ，y＝ ，则x＋y＝－ ＋ ＝－ .故选C.共线向量定理的应用（师生共研过关）（1）已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e1＋λe2与μe1＋e2（λ，μ为实数）是共线向量，则（ D ）A. ＝－2 B. λμ＝－2C. ＝2 D. λμ＝2D解析： 由题意，可设2e1＋λe2＝t（μe1＋e2），t∈R，又e1，e2是两个不共线的向量，故 解得λμ＝2.（2）（2026·河北衡水调研）已知点O是△ABC的重心，过点O的直线与边AB，AC分别交于M，N两点，D为边BC的中点.若 ＝x ＋y（x，y∈R），则x＋y＝（ A ）A. B.解析：如图所示，由三角形重心的性质，可得 ＝ ，所以＝ ，所以 ＝x ＋y ，即 ＝ x ＋y .易知M，O，N三点共线，可得 x＋ y＝1，所以x＋y＝ .AC. 2 D.利用共线向量定理解题的策略（1）a∥b a＝λb（b≠0）是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用；（2）当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线 ， 共线；（3）若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0；（4） ＝λ ＋μ （λ，μ为实数），若A，B，C三点共线（O不在直线BC上），则λ＋μ＝1.训练2 （1）若a，b是两个不共线的向量，已知 ＝a－2b， ＝2a＋kb， ＝3a－b，若M，N，Q三点共线，则k＝（ B ）A. －1 B. 1 C. D. 2解析： 由题意知， ＝ － ＝a－（k＋1）b，∵M，N，Q三点共线，故存在实数λ，使得 ＝λ ，即a－2b＝λ[a－（k＋1）b]，整理得（1－λ）a＝[2－λ（k＋1）]b，∵向量a，b不共线，∴ 解得 故选B.B（2）在△ABC中，点D在边BC的延长线上，且 ＝3 .若 ＝x＋（1－x） ，－ ＜x＜0，则点O在（ B ）A. 线段BC上 B. 线段CD上C. 线段AC上 D. 线段AD上解析：∵ ＝x ＋（1－x） ，－ ＜x＜0，∴O，B，C三点共线.∵ ＝3 ，∴ － ＝3 －3 ，∴ ＝－ ＋ .又－ ＜x＜0，∴点O在线段CD上，且不与C，D点重合.故选B.B03PART课时跟踪检测（时间：45分钟，满分：77分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]1. ＋ － － ＝（ ）A. B. 0C. D.123456789101112131415√解析： ＋ － － ＝ －（ ＋ ）＝ － ＝0.2. 下列命题中正确的是（ ）A. ｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜ a与b方向相反B. 平行向量不一定是共线向量C. 若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反D. 如果非零向量a，b的方向相同或相反，那么a＋b的方向与a，b之一的方向一定相同√解析： 对于A，当a，b之一为零向量时，不成立，故A错误；对于B，平行向量就是共线向量，B错误；对于C，两个单位向量互相平行，这两个单位向量相等或相反（长度相等，方向相反），故C正确；对于D，当a＋b＝0时，零向量的方向是任意的，故D错误.1234567891011121314153. 〔一题多解〕在△ABC中，D为AB的中点，E为CD的中点，设 ＝a， ＝b，则 ＝（ ）A. a＋ b B. a－ bC. a＋ b D. a－ b√解析： 法一 因为D为AB的中点，E为CD的中点，所以 ＝ ＋＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ＝ a＋ b.法二 因为D是AB的中点，所以 ＝ ，又E为CD的中点，所以＝ （ ＋ ）＝ （b＋ a）＝ a＋ b.1234567891011121314154. （2026·北京顺义月考）设O，A，B，C为同一平面上四个不同的点，且它们满足3 ＋ ＝4 ，则（ ）A. A，B，C三点共线 B. O，B，C三点共线C. A，O，C三点共线 D. A，B，O三点共线√解析： 因为3 ＋ ＝4 ，所以3 －3 ＝ － ，即3（ － ）＝ － ，所以3 ＝ ，所以 ∥ .又 ，有公共点A，所以A，B，C三点共线.故选A.1234567891011121314155. （2026·江苏连云港模拟）已知向量a，b不共线，若向量a＋λb与b＋λa的方向相反，则λ的值为（ ）A. 1 B. 0C. －1 D. ±1√解析： ∵向量a＋λb与b＋λa的方向相反，∴（a＋λb）∥（b＋λa）.由向量共线的充要条件可知，存在唯一一个实数m，使得a＋λb＝m（b＋λa），即（1－mλ）a＝（m－λ）b.∵a与b不共线，∴1－mλ＝m－λ＝0，可得m＝λ，λ＝±1.当λ＝1时，向量a＋b与b＋a是相等向量，其方向相同，不符合题意，故舍去.∴λ＝－1.1234567891011121314156. 〔多选〕如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且 ＝3 ，F为AE的中点，则（ ）A. ＝－ ＋B. ＝ ＋C. ＝－ ＋D. ＝ －√√√123456789101112131415解析： ∵AB∥CD，AB＝2DC，∴ ＝ ＋ ＋ ＝－＋ ＋ ＝－ ＋ ，故A正确；∵ ＝3 ，∴ ＝＝－ ＋ ，∴ ＝ ＋ ＝ ＋（－ ＋ ）＝＋ ，又F为AE的中点，∴ ＝ ＝ ＋ ，故B正确；则＝ ＋ ＝－ ＋ ＋ ＝－ ＋ ，故C正确；则＝ － ＝－ ＋ －（－ ＋ ）＝－ － ，故D错误.1234567891011121314157. 如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径， ＝2 ，且 ＝λ ＋μ ，则λ＋μ＝ .解析：因为 ＝ ＋ ＝4 ＝4× （ ＋ ）＝2 ＋2 ，所以λ＝μ＝2，所以λ＋μ＝4.4 1234567891011121314158. 已知O为△ABC内一点，且2 ＝ ＋ ， ＝t ，若B，O，D三点共线，则实数t的值为 .解析：设线段BC的中点为M，则 ＋ ＝2 .因为2 ＝ ＋，所以 ＝ ，则 ＝ ＝ （ ＋ ）＝ ＝＋ .由B，O，D三点共线，得 ＋ ＝1，解得t＝ . 1234567891011121314159. （2026·辽宁辽阳模拟）在平行四边形ABCD中，｜ ＋ ｜＝｜－ ｜＝4，且∠BAC＝∠CAD，则平行四边形ABCD的面积为 .解析：在平行四边形ABCD中， ＋ ＝ ， － ＝ ，因为｜ ＋ ｜＝｜ － ｜＝4，所以｜ ｜＝｜ ｜＝4，所以四边形ABCD为矩形.又∠BAC＝∠CAD，所以四边形ABCD为正方形，所以四边形ABCD的面积为 ×4×4＝8.8 12345678910111213141510. 已知点O为△ABC的外接圆的圆心，且 ＋ ＋ ＝0，则△ABC的内角A＝（ ）A. 30° B. 45°C. 60° D. 90°√解析： 由 ＋ ＋ ＝0，得 ＋ ＝ .又O为△ABC的外接圆的圆心，根据向量加法的几何意义，知四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，因此∠CAB＝30°.故选A.12345678910111213141511. （2026·江苏盐城模拟）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，CD上，且满足 ＝ ， ＝2 ，则｜ ＋ ｜＝（ ）A. 1 B. 2C. 3 D. 4√123456789101112131415解析： 因为 ＝ ，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ，又因为＝2 ，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ，所以｜ ＋ ｜＝ ｜＋ ｜＝ ｜ ｜，又因为∠BAD＝120°，所以∠ADC＝60°，所以△ADC为等边三角形，所以AC＝AD＝2，所以｜ ＋ ｜＝ ｜ ｜＝ ×2＝3.12345678910111213141512. 〔多选〕设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）A. 若 ＝ ，则 ＝ ＋B. 若 ＝2 －3 ，则M，B，C三点共线C. 若点M是△ABC的重心，则 ＋ ＋ ＝0D. 若 ＝x ＋y 且x＋y＝ ，则△MBC的面积是△ABC面积的√√√123456789101112131415解析： 对于A， ＝ ＋ ＝ ＋ ＝＋ ＝ ＋ ，故A正确；对于B，假设M，B，C三点共线，则 ＝λ ，即 － ＝λ（ － ），整理得 ＝－λ ＋（1＋λ） ，故当λ＝－2时，即 ＝2 － ，与条件中的 ＝2 －3 不一致，所以M，B，C三点不共线，故B错误；对于C，如图，取BC中点H，连接AH，若点M是△ABC的重心，则点M在AH上，且MA＝2MH，则 ＋ ＝2 ，则 ＋ ＋ ＝0，故C正确；对于D，由于 ＝ x ＋123456789101112131415y 且x＋y＝ ，所以3 ＝3x ＋3y ，其中3x＋3y＝1，不妨设 ＝3 ，则点Q在直线BC上，由于△MBC与△ABC同底，而高线之比等于MQ与AQ的比，即比值为2∶3，所以△MBC的面积是△ABC面积的 ，故D正确.故选A、C、D.12345678910111213141513. 在直角梯形ABCD中，A＝90°，B＝30°，AB＝2 ，BC＝2，点E在线段CD上，若 ＝ ＋μ ，则μ的取值范围是 .解析：由已知得AD＝1，CD＝ ，所以 ＝2 .因为点E在线段CD上，所以 ＝λ （0≤λ≤1）.因为 ＝ ＋ ＝ ＋λ ＝＋ ，又 ＝ ＋μ ，所以μ＝ .因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤ .［0， ］ 12345678910111213141514. （2026·福建福州模拟）如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N. 若 ＝m ，＝n ，m＞0，n＞0，则 ＋ 的最小值为 . 123456789101112131415解析：根据题意，可得 ＝ ，所以 ＝ ，如图，连接AO，则有 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ .又＝m ， ＝n ，所以 ＝ ＋ ，因为M，O，N三点共线，所以 ＋ ＝1.因为m＞0，n＞0，所以 ＋ ＝（ ＋ ）（＋ ）＝ ＋ ＋ ≥ ＋2 ＝ ，当且仅当 即时取等号，所以 ＋ 的最小值为 .12345678910111213141515. 〔创新设问〕设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，｜b＋ta｜的最小值为1，则（ ）A. 若θ确定，则｜a｜唯一确定B. 若θ确定，则｜b｜唯一确定C. 若｜a｜确定，则θ唯一确定D. 若｜b｜确定，则θ唯一确定√123456789101112131415解析： 设a＝ ，b＝ ，过点B作OA的平行线l，设 ＝ta，则点P在l上 ，即 ＝b＋ta，显然当 ⊥ 时，｜ ｜最小.此时｜｜＝｜b｜ sin θ（图1），或者｜ ｜＝｜b｜ sin （π－θ）（图2），即1＝｜b｜ sin θ，所以若θ确定，则｜b｜唯一确定；若｜b｜确定，则θ可能有两解.故选B.123456789101112131415THANKS演示完毕 感谢观看 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第1节 平面向量的概念及线性运算.docx 第1节 平面向量的概念及线性运算.pptx 第1节 平面向量的概念及线性运算（练习，含解析）.docx
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