资源简介 第3节 平面向量的数量积及应用（时间：45分钟，满分：77分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]1.（2026·浙江绍兴模拟）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，且a，b的夹角为60°，则｜a＋b｜＝（ ）A. B.3C. D.7 2.（2026·广东湛江模拟）已知向量a，b满足a＝（1，2），a·b＝5，且a⊥（a＋λb），则λ＝（ ）A.－1 B.－2C.－ D.－ 3.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是CD的中点.则在上的投影向量为（ ）A. B.C. D. 4.（2026·江苏南京、盐城模拟）已知a，b，c均为单位向量.若a＝b＋c，则b与c夹角的大小是（ ）A. B.C. D. 5.〔一题多解〕（2025·皖豫名校联考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB为其外接圆的直径，且AB＝2AD＝2，P为边BC的中点，则·＝（ ）A.－ B.－2 C.－ D.－ 6.〔多选〕（2026·浙江宁波模拟）已知向量a＝（m，－1），b＝（－2，1），则下列说法正确的是（ ）A.若m＝1，则｜a－b｜＝B.若a⊥b，则m＝2C.“m＜－”是“a与b的夹角为锐角”的充要条件D.若a·b＝－｜a｜｜b｜，则m＝－2 7.在四边形ABCD中，＝（1，2），＝（－4，2），则四边形ABCD的面积S＝ . 8.〔一题多解〕已知向量a＋b＋c＝0，｜a｜＝1，｜b｜＝｜c｜＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝ . 9.在△ABC中，AB⊥AC，＝（－1），·＝6，则AC＝ . 10.已知非零向量，满足＝，且·＝，则△ABC为（ ）A.钝角三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形 11.若平面向量a，b，c两两夹角相等，且｜a｜＝1，｜b｜＝1，｜c｜＝4，则｜2a＋2b－c｜＝（ ）A.0 B.6C.0或 D.0或6 12.〔多选〕已知向量a，b不共线，向量a＋b平分a与b的夹角，则下列结论一定正确的是（ ）A.a·b＝0B.（a＋b）⊥（a－b）C.向量a，b在a＋b上的投影向量相等D.｜a＋b｜＝｜a－b｜ 13.早在公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三股四弦五”，《周髀算经》中曾有记载，大意为：“当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5”，故勾股定理也称为商高定理.现有△ABC的三边满足“勾三股四弦五”，其中勾AC的长为3，点A在弦BC上的射影为点D，则（－）·＝ . 14.〔一题多解〕（2025·天津高考14题）△ABC中，D为AB中点，＝，＝a，＝b，则＝ （用a，b表示）；若｜｜＝5，AE⊥CB，则·＝ . 15.〔多思少算〕如图，△AB1C1，△B1B2C2，△B2B3C3是三个边长为2的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边B3C3上有5个不同的点P1，P2，P3，P4，P5，设mi＝·（i＝1，2，…，5），则m1＋m2＋…＋m5＝ . 第3节 平面向量的数量积及应用1.C 2.A 3.D 4.C 5.D 法一 由题意，∠ABD＝∠CBD＝30°，BD＝，BP＝，则·＝（＋）·＝·＋·＝2××cos 150°＋××cos 30°＝－.法二 由题意，∠BAD＝60°，建立平面直角坐标系如图，则A（0，0），B（2，0），C（ ，），D（ ，），所以P（ ，），所以＝（ ，），又＝（ －，），所以·＝－.6.AC 7.58.－ 解析：法一 由a＋b＋c＝0，得b＋c＝－a，则a·（b＋c）＝－a2，所以a·b＋c·a＝－12＝－1.由b＋c＝－a，得（b＋c）2＝（－a）2，则b2＋2b·c＋c2＝a2，即22＋2b·c＋22＝12，所以b·c＝－，所以a·b＋b·c＋c·a＝－.法二 由已知可得（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝9＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝0，因此a·b＋b·c＋c·a＝－.9. 解析：由AB⊥AC，得·＝0，由＝－＝（－1），得＝.由·＝·（＋）＝·＝·＝·（－）＝｜｜2＝6，所以｜｜＝，即AC＝.10.D 由·＝，得cos A＝，又0＜A＜π，∴A＝.由＝，得（ ＋）·＝0，∴角A的平分线垂直于BC，∴AB＝AC，∴△ABC是等边三角形.故选D.11.D ①当向量a，b，c两两夹角为0时，｜2a＋2b－c｜＝｜2＋2－4｜＝0；②当向量a，b，c两两夹角为时，｜2a＋2b－c｜2＝4a2＋4b2＋c2＋8a·b－4a·c－4b·c＝4＋4＋16＋8×1×1×（ －）－4×1×4×（ －）－4×1×4×（ －）＝36，所以｜2a＋2b－c｜＝6.综上，｜2a＋2b－c｜＝0或6.故选D.12.BC 如图，作向量＝a，＝b，在 OACB中，＝a＋b，＝a－b，由向量a＋b平分a与b的夹角，得 OACB是菱形，即｜a｜＝｜b｜.对于A，a与b不一定垂直，A错误；对于B，（a＋b）·（a－b）＝a2－b2＝0，即（a＋b）⊥（a－b），B正确；对于C，a在a＋b上的投影向量为（a＋b）＝·（a＋b），b在a＋b上的投影向量为（a＋b）＝（a＋b）＝（a＋b），C正确；对于D，由选项A知，a·b不一定为0，则｜a＋b｜与｜a－b｜不一定相等，D错误.13. 解析：如图所示，由题意可知AC＝3，AB＝4，BC＝5，则cos B＝＝，∵AD⊥BC，∴∠CAD＋∠ACB＝∠ACB＋∠ABC＝90°，∴∠CAD＝∠ABC，（－）·＝·＝｜｜·｜｜·cos∠CAD＝（｜｜·cos∠CAD）2＝（ 3×）2＝.14.a＋b －15 解析：＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝a＋b.法一 ∵｜｜＝5，∴25＝（ a＋b）2，即900＝a2＋16b2＋8a·b ①，易得＝b－a，∵⊥，∴·＝0，即（ a＋b）·（b－a）＝0，得4b2－a2－3a·b＝0 ②，由①②得2 700＝80b2－5a2，∴16b2－a2＝540，∴·＝（ a＋b）·（ a－b）＝（a2－8b2＋2a·b）＝［a2－8b2＋（4b2－a2）］＝（a2－16b2）＝×（－540）＝－15.法二 如图，延长AE交BC于点O，则AO⊥BC，以OC，OA所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，设E（0，h），B（n，0），C（m，0），则A（0，h＋5），D（ ，），∴＝（ －m，），＝（－m，h），∵＝3，∴－m＝－3m，＝3h，即n＝－4m，h＝1，∴＝（－3m，3），又＝（0，1）－（0，6）＝（0，－5），∴·＝－15.法三 ＝－＝a－b，＝－＝－＝a－b，从而＝a＋b＝（a＋4b）＝[6（a－b）－5（a－2b）]＝－，则＝（－），故·＝·（－）＝－｜｜2＝－15.15.90 解析：因为△AB1C1，△B1B2C2，△B2B3C3是三个边长为2的等边三角形，所以△AB1C2为等腰三角形，∠AB1C2＝120°，∠AB3C3＝60°，所以∠C2AB3＝30°，AC2＝2，延长AC2，B3C3交于点D，如图所示.则∠D＝90°，所以⊥，所以·＝0，所以mi＝·＝·（＋）＝·＋·＝2×6×cos 30°＋0＝18，所以m1＋m2＋…＋m5＝90.1 / 1第3节 平面向量的数量积及应用1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义. 2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.知识梳理1.向量的夹角已知两个 向量a，b，如图所示，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角，记作＜a，b＞.提醒：当a与b同向时，θ＝0；当a与b反向时，θ＝π；当a与b垂直时，θ＝.2.平面向量的数量积（1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝ .规定：零向量与任一向量的数量积为0；（2）投影向量：如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量，记为＝·；（3）运算律①交换律：a·b＝b·a；②数乘结合律：（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）；③分配律：（a＋b）·c＝a·c＋b·c.提醒：向量的数量积运算不满足结合律，即（a·b）c≠a（b·c），也不满足消去律.即a·b＝a·c b＝c.3.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ：几何表示 坐标表示数量积 a·b＝｜a｜｜b｜cos θ a·b＝ 模 ｜a｜＝ ｜a｜＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝ ＝0｜a·b｜与｜a｜｜b｜的关系 ｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（当且仅当a∥b时等号成立） ｜x1x2＋y1y2｜≤提醒：（1）向量垂直与平行的坐标公式不要记混；（2）a⊥b a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.1.平面向量数量积运算的常用公式 （1）（a＋b）·（a－b）＝a2－b2； （2）（a±b）2＝a2±2a·b＋b2； （3）a2＋b2＝0 a＝b＝0. 2.有关向量夹角的两个结论 （1）两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立（因为夹角为0时不成立）； （2）两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立（因为夹角为π时不成立）.诊断自测1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）两个向量的夹角的范围是［0，］.（ ）（2）两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量.（ ）（3）向量在另一个向量上的投影向量为数量，而不是向量.（ ）（4）若a，b共线，则a·b＝｜a｜｜b｜.（ ）（5）若a·b＝b·c，则a＝c.（ ）2.已知｜a｜＝5，｜b｜＝，a·b＝5，则a与b的夹角θ＝（ ）A.45° B.135°C.－45° D.30°3.已知向量a＝（1，－2），b＝（－3，2），c＝（1，1），则（a＋b）·c＝（ ）A.2 B.0C.－2 D.－74.已知向量a，b的夹角为60°，｜a｜＝2，｜b｜＝2，则｜a＋2b｜＝ .5.已知向量a＝（1，2），b＝（－1，1），当λ＝ 时，λa＋b与b垂直.平面向量数量积的基本运算（基础自学过关）1.已知向量a，b夹角的余弦值为－，且｜a｜＝4，｜b｜＝1，则（a－b）·（b－2a）＝（ ）A.－36 B.－12C.6 D.362.已知＝（2，3），＝（3，t），｜｜＝1，则·＝（ ）A.－3 B.－2C.2 D.33.〔一题多解〕正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·＝（ ）A. B.3C.2 D.54.在如图所示的平面图形中，已知OM＝2，ON＝1，∠MON＝60°，＝3，＝3，则·＝ .计算平面向量数量积的方法平面向量数量积的应用（定向精析突破）考向1 向量的模（1）（2026·河南洛平许济模拟）已知向量a＝（1，0），b＝（0，1），c＝a＋tb，若＝2，则正实数t的值为（ ）A.1 B.C.2 D.3（2）〔一题多解〕设a，b为单位向量，且｜a＋b｜＝1，则｜a－b｜＝ .听课记录求平面向量模的方法 （1）公式法：利用｜a｜＝及（a±b）2＝｜a｜2±2a·b＋｜b｜2，把向量的模的运算转化为数量积运算； （2）几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解.考向2 向量的夹角与垂直（1）（2026·浙江杭州模拟）已知向量a＝（1，－1），b＝（2，1），若⊥（－2a＋tb），则t＝（ ）A.1或 B.－2或C.－1或2 D.－2或1（2）（2026·山东泰安模拟）已知向量｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝，且a＋b－2c＝0，则cos＜a，c＞＝（ ）A.－ B.－C. D.听课记录变式 〔一题多解〕若本例（2）变为：已知向量a，b，c满足｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝，且a＋b＋c＝0，则cos＜a－c，b－c＞＝（ ）A.－ B.－C. D.1.求平面向量的夹角的方法 2.两个向量垂直的充要条件 a⊥b a·b＝0 ｜a－b｜＝｜a＋b｜（其中a≠0，b≠0）.训练1 （1）〔多选〕（2026·安徽皖南八校第三次联考）已知向量a，b满足｜a－2b｜＝，｜a｜＝｜b｜＝1，则（ ）A.a与b的夹角为B.a与b的夹角为C.｜2a－3b｜＝D.a⊥（a＋2b）（2）在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，点E是线段BC上的一点，已知·＝－1，则线段CE的长为 .投影向量（师生共研过关）（1）（2026·浙江绍兴模拟）已知向量a＝（－1，2），b＝（2，0），则a在b上的投影向量是（ ）A.（－2，0） B.（2，0） C.（－1，0） D.（1，0）（2）已知△ABC的外接圆圆心为O，且2＝＋，｜｜＝｜｜，则向量在向量上的投影向量为（ ）A. B.C.－ D.－听课记录投影向量的两种求法 （1）用几何法作出恰当的垂线，直接得到投影向量； （2）利用公式，向量a在向量b上的投影向量为｜a｜·cos＜a，b＞·.训练2 （1）（2026·浙江杭州模拟）若非零向量a，b满足｜a｜＝2｜b｜，且向量b在向量a上的投影向量是－a，则向量a与b的夹角为 ；（2）（2026·河南郑州模拟）已知向量a＝（2，2），向量b在向量a上的投影向量的模长为｜a｜，写出一个满足条件的向量b＝ （答案不唯一）.第3节 平面向量的数量积及应用【夯实必备知识】知识梳理1.非零 2.（1）｜a｜｜b｜cos θ ｜a｜｜b｜cos θ 3.x1x2＋y1y2 0 x1x2＋y1y2诊断自测1.（1）× （2）√ （3）× （4）× （5）×2.A 3.C 4.2 5.－2【研透核心考点】考点11.A 2.C 3.B 4.－12考点2【例1】 （1）B （2） 解析：（1）因为a＝（1，0），b＝（0，1），c＝a＋tb，所以c＝（1，t），又＝2，所以＝2，解得t＝或t＝－，所以正实数t的值为.故选B.（2）法一 ∵a，b为单位向量，且｜a＋b｜＝1，∴（a＋b）2＝1，∴1＋1＋2a·b＝1，∴a·b＝－，∴｜a－b｜2＝a2＋b2－2a·b＝1＋1－2×＝3，∴｜a－b｜＝.法二 如图，设＝a，＝b，利用平面向量的平行四边形法则得＝a＋b，∵｜a｜＝｜b｜＝｜a＋b｜＝1，∴△OAC为正三角形，∴｜｜＝｜a－b｜＝2××｜a｜＝.【例2】 （1）D （2）D 解析：（1）ta＋b＝（t＋2，－t＋1），－2a＋tb＝（－2＋2t，2＋t）.∵（ta＋b）⊥（－2a＋tb），∴（ta＋b）·（－2a＋tb）＝0，即（t＋2）（－2＋2t）＋（－t＋1）（2＋t）＝t2＋t－2＝（t＋2）（t－1）＝0，∴t＝－2或t＝1.故选D.（2）因为a＋b－2c＝0，所以a＋b＝2c，两边平方可得a2＋2a·b＋b2＝4c2，又＝｜b｜＝1，｜c｜＝，所以1＋2a·b＋1＝3 a·b＝，所以cos＜a，c＞＝＝＝＝＝.故选D.变式 D 法一 ∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，等式两边同时平方得2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2a·b，∴a·b＝0.又a－c＝a－（－a－b）＝2a＋b，b－c＝b－（－a－b）＝a＋2b，∴（a－c）·（b－c）＝（2a＋b）·（a＋2b）＝2a2＋5a·b＋2b2＝4，且｜a－c｜＝｜2a＋b｜＝＝＝，｜b－c｜＝｜a＋2b｜＝＝＝，∴cos＜a－c，b－c＞＝＝.故选D.法二 ∵｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝，且a＋b＋c＝0，∴分别以a，b，c为边构造等腰直角三角形OAB，如图所示，以O为坐标原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则a＝＝（1，0），b＝＝（0，1），c＝＝（－1，－1），则a－c＝（2，1），b－c＝（1，2），∴｜a－c｜＝｜b－c｜＝，∴cos＜a－c，b－c＞＝＝＝.故选D.训练1 （1）ACD （2） 解析：（1）对于A、B，设a与b的夹角为θ（0≤θ≤π），因为｜a－2b｜＝，所以（a－2b）2＝a2－4a·b＋4b2＝5－4a·b＝7，得a·b＝－，所以cos θ＝＝－，θ＝，故A正确，B错误；对于C，｜2a－3b｜＝＝＝＝，故C正确；对于D，a·（a＋2b）＝a2＋2a·b＝1－1＝0，故a⊥（a＋2b），故D正确.故选A、C、D.（2）因为点E是线段BC上的一点，所以·＝（＋）·＝·＋·＝－1，所以｜｜｜｜cos 120°＋｜｜·｜｜cos 0°＝2×2×（ －）＋｜｜×2＝－1.解得｜｜＝，即线段BE的长为，所以CE＝2－＝.考点3【例3】 （1）C （2）B 解析：（1）因为a＝（－1，2），b＝（2，0），则a·b＝－1×2＋0＝－2，｜b｜＝2，则a在b上的投影向量为b＝（2，0）＝（－1，0）.故选C.（2）因为2＝＋，所以O是BC中点，则BC是圆O直径，∠BAC＝90°，又｜｜＝｜｜，所以△OAB是等边三角形，∠B＝60°，∠C＝30°.设｜AB｜＝a，则｜BC｜＝2a，作AH⊥BC于H，则∠BAH＝30°，所以｜BH｜＝｜AB｜＝，即为向量在向量上的投影向量，＝.故选B.训练2 （1） （2）（1，1）（答案不唯一）解析：（1）b在a上投影向量为·a＝－a，∴＝－，∴a·b＝－｜a｜2，则cos＜a，b＞＝＝＝－，由于＜a，b＞∈[0，π]，∴＜a，b＞＝.（2）设b＝（m，n），则根据条件有｜a｜＝＝，又｜a｜＝2，则｜m＋n｜＝2.从而只要b＝（m，n）满足m＋n＝2或m＋n＝－2即可.1 / 1(共68张PPT)第3节 平面向量的数量积及应用课标要求1. 理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2. 了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3. 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4. 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.目录/CONTENTS夯实必备知识01研透核心考点02课时跟踪检测0301PART夯实必备知识知识梳理1. 向量的夹角已知两个 向量a，b，如图所示，O是平面上的任意一点，作＝a， ＝b，则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角，记作＜a，b＞.提醒：当a与b同向时，θ＝0；当a与b反向时，θ＝π；当a与b垂直时，θ＝ .非零 2. 平面向量的数量积（1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝ .规定：零向量与任一向量的数量积为0；｜a｜｜b｜ cos θ ｜a｜｜b｜ cos θ （2）投影向量：如图，在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则 就是向量a在向量b上的投影向量，记为 ＝ · ；提醒：向量的数量积运算不满足结合律，即（a·b）c≠a（b·c），也不满足消去律.即a·b＝a·c b＝c.（3）运算律①交换律：a·b＝b·a；②数乘结合律：（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）；③分配律：（a＋b）·c＝a·c＋b·c.3. 平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ：几何表示 坐标表示数量积 a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ a·b＝ 模 ｜a｜＝ 夹角 cos θ＝ x1x2＋y1y2 几何表示 坐标表示a⊥b的充 要条件 a·b＝ ＝0｜a·b｜与｜a｜｜b｜的关系 ｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（当且仅当a∥b时等号成立）提醒：（1）向量垂直与平行的坐标公式不要记混；（2）a⊥b a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.0 x1x2＋y1y2 1. 平面向量数量积运算的常用公式（1）（a＋b）·（a－b）＝a2－b2；（2）（a±b）2＝a2±2a·b＋b2；（3）a2＋b2＝0 a＝b＝0.2. 有关向量夹角的两个结论（1）两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立（因为夹角为0时不成立）；（2）两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立（因为夹角为π时不成立）.诊断自测1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）两个向量的夹角的范围是［0， ］. （ × ）（2）两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量. （ √ ）（3）向量在另一个向量上的投影向量为数量，而不是向量. （ × ）（4）若a，b共线，则a·b＝｜a｜｜b｜. （ × ）（5）若a·b＝b·c，则a＝c. （ × ）×√×××2. 已知｜a｜＝5，｜b｜＝ ，a·b＝5，则a与b的夹角θ＝（ ）A. 45° B. 135°C. －45° D. 30°√解析： cos θ＝ ＝ ，且0≤θ≤π，所以θ＝45°.3. 已知向量a＝（1，－2），b＝（－3，2），c＝（1，1），则（a＋b）·c＝（ ）A. 2 B. 0C. －2 D. －7√解析： 因为a＝（1，－2），b＝（－3，2），所以a＋b＝（－2，0），因为c＝（1，1），所以（a＋b）·c＝－2，故C正确. 解析：a·b＝｜a｜｜b｜ cos 60°＝2，｜a＋2b｜＝＝ ＝2 .5. 已知向量a＝（1，2），b＝（－1，1），当λ＝ 时，λa＋b与b垂直.解析：因为λa＋b＝λ（1，2）＋（－1，1）＝（λ－1，2λ＋1），且λa＋b与b垂直，所以（λa＋b）·b＝（λ－1）·（－1）＋2λ＋1＝λ＋2＝0，所以λ＝－2.2 －2 02PART研透核心考点平面向量数量积的基本运算（基础自学过关）1. 已知向量a，b夹角的余弦值为－ ，且｜a｜＝4，｜b｜＝1，则（a－b）·（b－2a）＝（ ）A. －36 B. －12C. 6 D. 36√解析： （a－b）·（b－2a）＝a·b－2a2－b2＋2a·b＝3a·b－b2－2a2＝3×4×1×（－ ）－1－2×16＝－36.故选A.2. 已知 ＝（2，3）， ＝（3，t），｜ ｜＝1，则 · ＝（ ）A. －3 B. －2C. 2 D. 3√解析： 因为 ＝ － ＝（1，t－3），所以｜ ｜＝＝1，解得t＝3，所以 ＝（1，0），所以 · ＝2×1＋3×0＝2.3. 〔一题多解〕正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则 · ＝（ ）B. 3D. 5√解析： 法一 以{ ， }为基底，可知｜ ｜＝｜ ｜＝2，· ＝0，则 ＝ ＋ ＝ ＋ ， ＝ ＋ ＝－＋ ，所以 · ＝ ·（－ ＋ ）＝－ ＋＝－1＋4＝3.故选B.法二 如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则E（1，0），C（2，2），D（0，2），可得 ＝（1，2）， ＝（－1，2），所以 · ＝－1＋4＝3.故选B.4. 在如图所示的平面图形中，已知OM＝2，ON＝1，∠MON＝60°，＝3 ， ＝3 ，则 · ＝ .－12 解析：因为 ＝3 ，所以 ＝4 ，因为 ＝3 ，所以 ＝4 ，所以 ＝ － ＝4 －4 ＝4（ － ）＝4 ，又＝ － ，所以 ＝4（ － ），又OM＝2，ON＝1，∠MON＝60°，所以 · ＝4（ － ）· ＝4 · －4＝4×2×1× cos 60°－4×22＝－12.计算平面向量数量积的方法平面向量数量积的应用（定向精析突破）考向1 向量的模（1）（2026·河南洛平许济模拟）已知向量a＝（1，0），b＝（0，1），c＝a＋tb，若 ＝2，则正实数t的值为（ B ）A. 1C. 2 D. 3解析： 因为a＝（1，0），b＝（0，1），c＝a＋tb，所以c＝（1，t），又 ＝2，所以 ＝2，解得t＝ 或t＝－ ，所以正实数t的值为 .故选B.B 解析： 法一 ∵a，b为单位向量，且｜a＋b｜＝1，∴（a＋b）2＝1，∴1＋1＋2a·b＝1，∴a·b＝－ ，∴｜a－b｜2＝a2＋b2－2a·b＝1＋1－2× ＝3，∴｜a－b｜＝ . 法二 如图，设 ＝a， ＝b，利用平面向量的平行四边形法则得 ＝a＋b，∵｜a｜＝｜b｜＝｜a＋b｜＝1，∴△OAC为正三角形，∴｜ ｜＝｜a－b｜＝2××｜a｜＝ .求平面向量模的方法（1）公式法：利用｜a｜＝ 及（a±b）2＝｜a｜2±2a·b＋｜b｜2，把向量的模的运算转化为数量积运算；（2）几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解.考向2 向量的夹角与垂直（1）（2026·浙江杭州模拟）已知向量a＝（1，－1），b＝（2，1），若 ⊥（－2a＋tb），则t＝（ D ）C. －1或2 D. －2或1解析： ta＋b＝（t＋2，－t＋1），－2a＋tb＝（－2＋2t，2＋t）.∵（ta＋b）⊥（－2a＋tb），∴（ta＋b）·（－2a＋tb）＝0，即（t＋2）（－2＋2t）＋（－t＋1）（2＋t）＝t2＋t－2＝（t＋2）（t－1）＝0，∴t＝－2或t＝1.故选D.D（2）（2026·山东泰安模拟）已知向量｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝ ，且a＋b－2c＝0，则 cos ＜a，c＞＝（ D ）D解析： 因为a＋b－2c＝0，所以a＋b＝2c，两边平方可得a2＋2a·b＋b2＝4c2，又 ＝｜b｜＝1，｜c｜＝ ，所以1＋2a·b＋1＝3 a·b＝，所以 cos ＜a，c＞＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .故选D.变式 〔一题多解〕若本例（2）变为：已知向量a，b，c满足｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝ ，且a＋b＋c＝0，则 cos ＜a－c，b－c＞＝（ ）√解析： 法一 ∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，等式两边同时平方得2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2a·b，∴a·b＝0.又a－c＝a－（－a－b）＝2a＋b，b－c＝b－（－a－b）＝a＋2b，∴（a－c）·（b－c）＝（2a＋b）·（a＋2b）＝2a2＋5a·b＋2b2＝4，且｜a－c｜＝｜2a＋b｜＝ ＝ ＝ ，｜b－c｜＝｜a＋2b｜＝＝ ＝ ，∴ cos ＜a－c，b－c＞＝＝ .故选D.法二 ∵｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝ ，且a＋b＋c＝0，∴分别以a，b，c为边构造等腰直角三角形OAB，如图所示，以O为坐标原点， 方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则a＝ ＝（1，0），b＝ ＝（0，1），c＝ ＝（－1，－1），则a－c＝（2，1），b－c＝（1，2），∴｜a－c｜＝｜b－c｜＝ ，∴ cos ＜a－c，b－c＞＝ ＝ ＝ .故选D.1. 求平面向量的夹角的方法2. 两个向量垂直的充要条件a⊥b a·b＝0 ｜a－b｜＝｜a＋b｜（其中a≠0，b≠0）.训练1 （1）〔多选〕（2026·安徽皖南八校第三次联考）已知向量a，b满足｜a－2b｜＝ ，｜a｜＝｜b｜＝1，则（ ACD ）D. a⊥（a＋2b）ACD解析： 对于A、B，设a与b的夹角为θ（0≤θ≤π），因为｜a－2b｜＝ ，所以（a－2b）2＝a2－4a·b＋4b2＝5－4a·b＝7，得a·b＝－，所以 cos θ＝ ＝－ ，θ＝ ，故A正确，B错误；对于C，｜2a－3b｜＝ ＝ ＝＝ ，故C正确；对于D，a·（a＋2b）＝a2＋2a·b＝1－1＝0，故a⊥（a＋2b），故D正确.故选A、C、D.（2）在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，点E是线段BC上的一点，已知 · ＝－1，则线段CE的长为 . 解析：因为点E是线段BC上的一点，所以 · ＝（ ＋ ）· ＝· ＋ · ＝－1，所以｜ ｜｜ ｜ cos 120°＋｜ ｜·｜｜ cos 0°＝2×2×（－ ）＋｜ ｜×2＝－1.解得｜ ｜＝ ，即线段BE的长为 ，所以CE＝2－ ＝ .投影向量（师生共研过关）（1）（2026·浙江绍兴模拟）已知向量a＝（－1，2），b＝（2，0），则a在b上的投影向量是（ C ）A. （－2，0） B. （2，0）C. （－1，0） D. （1，0）解析： 因为a＝（－1，2），b＝（2，0），则a·b＝－1×2＋0＝－2，｜b｜＝2，则a在b上的投影向量为 b＝ （2，0）＝（－1，0）.故选C.C（2）已知△ABC的外接圆圆心为O，且2 ＝ ＋ ，｜ ｜＝｜｜，则向量 在向量 上的投影向量为（ B ）B解析：因为2 ＝ ＋ ，所以O是BC中点，则BC是圆O直径，∠BAC＝90°，又｜ ｜＝｜ ｜，所以△OAB是等边三角形，∠B＝60°，∠C＝30°.设｜AB｜＝a，则｜BC｜＝2a，作AH⊥BC于H，则∠BAH＝30°，所以｜BH｜＝ ｜AB｜＝ ， 即为向量 在向量上的投影向量， ＝ .故选B.投影向量的两种求法（1）用几何法作出恰当的垂线，直接得到投影向量；（2）利用公式，向量a在向量b上的投影向量为｜a｜· cos ＜a，b＞· .训练2 （1）（2026·浙江杭州模拟）若非零向量a，b满足｜a｜＝2｜b｜，且向量b在向量a上的投影向量是－ a，则向量a与b的夹角为 ；解析： b在a上投影向量为 ·a＝－ a，∴ ＝－ ，∴a·b＝－ ｜a｜2，则 cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝－ ，由于＜a，b＞∈[0，π]，∴＜a，b＞＝ . （2）（2026·河南郑州模拟）已知向量a＝（2，2），向量b在向量a上的投影向量的模长为 ｜a｜，写出一个满足条件的向量b＝ （答案不唯一）.解析：设b＝（m，n），则根据条件有 ｜a｜＝ ＝ ，又｜a｜＝2 ，则｜m＋n｜＝2.从而只要b＝（m，n）满足m＋n＝2或m＋n＝－2即可.（1，1）（答案不唯一） 03PART课时跟踪检测（时间：45分钟，满分：77分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]1. （2026·浙江绍兴模拟）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，且a，b的夹角为60°，则｜a＋b｜＝（ ）B. 3 D. 7123456789101112131415√解析： 因为｜a｜＝1，｜b｜＝2，且a，b的夹角为60°，所以a·b＝｜a｜｜b｜ cos 60°＝1×2× ＝1，所以｜a＋b｜＝ ＝＝ ＝ .故选C.2. （2026·广东湛江模拟）已知向量a，b满足a＝（1，2），a·b＝5，且a⊥（a＋λb），则λ＝（ ）A. －1 B. －2√解析： 因为a⊥（a＋λb），所以a·（a＋λb）＝a2＋λa·b＝0，又a＝（1，2），a·b＝5，所以a2＋λa·b＝1＋4＋5λ＝0，解得λ＝－1.故选A.1234567891011121314153. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是CD的中点.则 在 上的投影向量为（ ）√解析： 由题意知｜ ｜＝2，｜ ｜＝ .由于 ＝ ，所以∠MBC即为 与 的夹角.易求得 cos ∠MBC＝ .所以 在 上的投影向量为｜ ｜ cos ∠MBC· ＝2× × ＝ .故选D.1234567891011121314154. （2026·江苏南京、盐城模拟）已知a，b，c均为单位向量.若a＝b＋c，则b与c夹角的大小是（ ）√解析： 由a＝b＋c，两边平方可得a2＝（b＋c）2.则a2＝b2＋2b·c＋c2.因为a，b，c均为单位向量，所以｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1.故1＝1＋2b·c＋1，则b·c＝－ .设b与c的夹角为θ，可得－ ＝1×1× cosθ，即 cos θ＝－ .因为0≤θ≤π，所以θ＝ .1234567891011121314155. 〔一题多解〕（2025·皖豫名校联考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB为其外接圆的直径，且AB＝2AD＝2，P为边BC的中点，则 · ＝（ ）B. －2√解析： 法一 由题意，∠ABD＝∠CBD＝30°，BD＝ ，BP＝，则 · ＝（ ＋ ）· ＝ · ＋ · ＝2× × cos150°＋ × × cos 30°＝－ .123456789101112131415法二 由题意，∠BAD＝60°，建立平面直角坐标系如图，则A（0，0），B（2，0），C（ ， ），D（ ， ），所以P（ ， ），所以 ＝（ ， ），又 ＝（－ ， ），所以 · ＝－ .1234567891011121314156. 〔多选〕（2026·浙江宁波模拟）已知向量a＝（m，－1），b＝（－2，1），则下列说法正确的是（ ）B. 若a⊥b，则m＝2D. 若a·b＝－｜a｜｜b｜，则m＝－2√√123456789101112131415解析： 对于选项A，因为m＝1，所以a＝（1，－1），又b＝（－2，1），所以a－b＝（3，－2），故｜a－b｜＝ ＝，所以选项A正确；对于选项B，因为a⊥b ，所以－2m－1＝0，解得m＝－ ，所以选项B错误；对于选项C，当a与b的夹角为锐角时，由 cos ＜a，b＞＝ ＞0，得到a·b＞0，即－2m－1＞0，得到m＜－ ，当m＜－ 时，也可得出 cos ＜a，b＞＝ ＞0，而＜a，b＞123456789101112131415∈[0，π]，又当a∥b时，m－2＝0得到m＝2，此时a＝（2，－1），b＝（－2，1），a，b反向共线，所以＜a，b＞∈（0， ），即由“m＜－ ”可以得出“a与b的夹角为锐角”，所以选项C正确；对于选项D，由a·b＝－｜a｜｜b｜，设向量a与b的夹角为θ，则｜a｜｜b｜· cos θ＝－｜a｜｜b｜，则 cos θ＝－1，θ＝π，即a与b反向共线，令m×1＝（－1）×（－2），得m＝2，故D错误.故选A、C.1234567891011121314157. 在四边形ABCD中， ＝（1，2）， ＝（－4，2），则四边形ABCD的面积S＝ .解析：因为 ＝（1，2）， ＝（－4，2），所以 · ＝1×（－4）＋2×2＝0，则AC⊥BD，又｜ ｜＝ ＝ ，｜ ｜＝＝2 ，所以四边形ABCD的面积S＝ ｜ ｜｜ ｜＝ × ×2 ＝5.5 123456789101112131415 解析：法一 由a＋b＋c＝0，得b＋c＝－a，则a·（b＋c）＝－a2，所以a·b＋c·a＝－12＝－1.由b＋c＝－a，得（b＋c）2＝（－a）2，则b2＋2b·c＋c2＝a2，即22＋2b·c＋22＝12，所以b·c＝－ ，所以a·b＋b·c＋c·a＝－ .法二 由已知可得（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝9＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝0，因此a·b＋b·c＋c·a＝－ .－ 1234567891011121314159. 在△ABC中，AB⊥AC， ＝（ －1） ， · ＝6 ，则AC＝ .解析：由AB⊥AC，得 · ＝0，由 ＝ － ＝（ －1） ，得 ＝ .由 · ＝ ·（ ＋ ）＝ · ＝ · ＝·（ － ）＝ ｜ ｜2＝6 ，所以｜ ｜＝ ，即AC＝. 12345678910111213141510. 已知非零向量 ， 满足 ＝ ，且 · ＝，则△ABC为（ ）A. 钝角三角形 B. 直角三角形C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形√解析： 由 · ＝ ，得 cos A＝ ，又0＜A＜π，∴A＝ .由 ＝ ，得（ ＋ ）· ＝0，∴角A的平分线垂直于BC，∴AB＝AC，∴△ABC是等边三角形.故选D.12345678910111213141511. 若平面向量a，b，c两两夹角相等，且｜a｜＝1，｜b｜＝1，｜c｜＝4，则｜2a＋2b－c｜＝（ ）A. 0 B. 6D. 0或6√解析： ①当向量a，b，c两两夹角为0时，｜2a＋2b－c｜＝｜2＋2－4｜＝0；②当向量a，b，c两两夹角为 时，｜2a＋2b－c｜2＝4a2＋4b2＋c2＋8a·b－4a·c－4b·c＝4＋4＋16＋8×1×1×（－ ）－4×1×4×（－ ）－4×1×4×（－ ）＝36，所以｜2a＋2b－c｜＝6.综上，｜2a＋2b－c｜＝0或6.故选D.12345678910111213141512. 〔多选〕已知向量a，b不共线，向量a＋b平分a与b的夹角，则下列结论一定正确的是（ ）A. a·b＝0B. （a＋b）⊥（a－b）C. 向量a，b在a＋b上的投影向量相等D. ｜a＋b｜＝｜a－b｜√√123456789101112131415解析： 如图，作向量 ＝a， ＝b，在 OACB中， ＝a＋b， ＝a－b，由向量a＋b平分a与b的夹角，得 OACB是菱形，即｜a｜＝｜b｜.对于A，a与b不一定垂直，A错误；对于B，（a＋b）·（a－b）＝a2－b2＝0，即（a＋b）⊥（a－b），B正确；对于C，a在a＋b上的投影向量为 （a＋b）＝ （a＋b），b在a＋b上的投影向量为（a＋b）＝ （a＋b）＝ （a＋b），C正确；对于D，由选项A知，a·b不一定为0，则｜a＋b｜与｜a－b｜不一定相等，D错误.12345678910111213141513. 早在公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三股四弦五”，《周髀算经》中曾有记载，大意为：“当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5”，故勾股定理也称为商高定理.现有△ABC的三边满足“勾三股四弦五”，其中勾AC的长为3，点A在弦BC上的射影为点D，则（ － ）· ＝ . 123456789101112131415解析：如图所示，由题意可知AC＝3，AB＝4，BC＝5，则 cos B＝ ＝ ，∵AD⊥BC，∴∠CAD＋∠ACB＝∠ACB＋∠ABC＝90°，∴∠CAD＝∠ABC，（ －）· ＝ · ＝｜ ｜·｜ ｜· cos ∠CAD＝（｜ ｜· cos ∠CAD）2＝（3× ）2＝ .12345678910111213141514. 〔一题多解〕（2025·天津高考14题）△ABC中，D为AB中点， ＝， ＝a， ＝b，则 ＝ a＋ b （用a，b表示）；若｜｜＝5，AE⊥CB，则 · ＝ .解析： ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋＝ a＋ b.a＋ b －15 123456789101112131415法一 ∵｜ ｜＝5，∴25＝（ a＋ b）2，即900＝a2＋16b2＋8a·b ①，易得 ＝b－a，∵ ⊥ ，∴ · ＝0，即（ a＋ b）·（b－a）＝0，得4b2－a2－3a·b＝0 ②，由①②得2 700＝80b2－5a2，∴16b2－a2＝540，∴ · ＝（ a＋ b）·（ a－b）＝ （a2－8b2＋2a·b）＝ ［a2－8b2＋ （4b2－a2）］＝ （a2－16b2）＝ ×（－540）＝－15.123456789101112131415法二 如图，延长AE交BC于点O，则AO⊥BC，以OC，OA所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，设E（0，h），B（n，0），C（m，0），则A（0，h＋5），D（ ， ），∴ ＝（ －m， ）， ＝（－m，h），∵ ＝3 ，∴ －m＝－3m， ＝3h，即n＝－4m，h＝1，∴ ＝（－3m，3），又 ＝（0，1）－（0，6）＝（0，－5），∴ · ＝－15.123456789101112131415法三 ＝ － ＝a－b， ＝ － ＝ － ＝ a－b，从而 ＝ a＋ b＝（a＋4b）＝ [6（a－b）－5（a－2b）]＝ － ，则 ＝（ － ），故 · ＝ ·（ － ）＝－ ｜ ｜2＝－15.12345678910111213141515. 〔多思少算〕如图，△AB1C1，△B1B2C2，△B2B3C3是三个边长为2的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边B3C3上有5个不同的点P1，P2，P3，P4，P5，设mi＝ · （i＝1，2，…，5），则m1＋m2＋…＋m5＝ .90 123456789101112131415解析：因为△AB1C1，△B1B2C2，△B2B3C3是三个边长为2的等边三角形，所以△AB1C2为等腰三角形，∠AB1C2＝120°，∠AB3C3＝60°，所以∠C2AB3＝30°，AC2＝2 ，延长AC2，B3C3交于点D，如图所示.则∠D＝90°，所以 ⊥ ，所以 · ＝0，所以mi＝ · ＝ ·（ ＋ ）＝ · ＋ · ＝2 ×6× cos 30°＋0＝18，所以m1＋m2＋…＋m5＝90.123456789101112131415THANKS演示完毕 感谢观看 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第3节 平面向量的数量积及应用.docx 第3节 平面向量的数量积及应用.pptx 第3节 平面向量的数量积及应用（练习，含解析）.docx
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