资源简介

第4节　平面向量的综合问题
（时间：45分钟，满分：76分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.四边形ABCD中，＝，（＋）·（－）＝0，则这个四边形是（　　）
A.菱形 B.矩形
C.正方形 D.等腰梯形
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.在水流速度为10 km/h的自西向东的河中，如果要使船以10 km/h的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（　　）
A.北偏西30°，20 km/h
B.北偏西60°，10 km/h
C.北偏东30°，10 km/h
D.北偏东60°，20 km/h
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3.（2026·云南昆明模拟）设x＞0，向量＝（x2，－2x）在向量＝（1，2）上的投影向量为λ（λ∈R），则实数λ的最小值为（　　）
A.－ B.－
C.－ D.－
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4.已知平面向量a，b，｜a｜＝1，｜b｜＝，且a·b＝1.若｜c｜＝2，则（a＋b）·c的最大值为（　　）
A.2 B.10
C.2 D.5
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5.（2026·江西南昌测试）如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆上（正方形ABCD内部，含边界），则·的取值范围为（　　）
A.（0，8） B.[0，8]
C.（0，4） D.[0，4]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6.〔多选〕（2026·广东湛江模拟）已知向量a＝（1，2），b＝（－3，4），c＝a＋λb，λ∈R，则下列说法正确的是（　　）
A.当λ＝－时，｜c｜最小
B.当｜c｜最小时，b⊥c
C.当λ＝1时，a与c的夹角最小
D.当a与c的夹角最小时，a＝c
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7.已知圆C的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2，点P在直线y＝x＋3上，线段AB为圆C的直径，则｜＋｜的最小值为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
8.（2026·山西晋中模拟）在△ABC中，D为边AC上一点，且满足＝，若P为BD上一点，且满足＝λ＋μ，λ，μ为正实数，则λμ的最大值为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
9.已知平面向量a，b满足｜a｜＝3，｜b｜＝1，并且当λ＝－4时，｜a＋λb｜取得最小值，则sin＜a，b＞＝　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10.已知a是单位向量，向量b（b≠a）满足b－a与a所成角为60°，则｜b｜的取值范围是（　　）
A.（ ，＋∞） B.（ ，＋∞）
C.（ 1，＋∞） D.（ 2，＋∞）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
11.在△ABC中，AC＝9，A＝60°，点D满足＝2，AD＝，则BC的长为（　　）
A.3 B.3
C.3 D.6
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
12.（2026·江苏南京模拟）在四边形ABCD中，AB∥DC，A＝90°，AB＝AD＝2CD＝2，E是线段AD中点，F是线段BE上的动点，则·的最小值为（　　）
A.－ B.－ C.－ D.－
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
13.已知单位向量a，b，若对任意实数x，｜xa＋b｜≥恒成立，则向量a，b的夹角的取值范围为（　　）
A.［，］ B.［，］
C.［，］ D.［，］
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
14.〔一题多解〕已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝0，若向量c满足｜a＋b－2c｜＝1，则｜c｜的取值范围是　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
15.〔创新设问〕已知同一平面内的单位向量e1，e2，e3，则（e1－e2）·e3的最小值是　　　　；若e1＋e2与e3不共线，｜e1＋e2＋e3｜＝1，x，y，z∈R，xe1＋ye2＋ze3＝0，x＋y＋z＝2 027，则＋＋＝　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
第4节　平面向量的综合问题
1.A　2.A　3.A　4.A　
5.D　以AB的中点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，正方形ABCD的边长为2，则C（1，2），D（－1，2），又点P在以AB为直径的半圆上，故可设P（cos θ，sin θ），0°≤θ≤180°，则＝（1－cos θ，2－sin θ），＝（－1－cos θ，2－sin θ），故·＝－（1－cos θ）（1＋cos θ）＋（2－sin θ）2＝cos2θ－1＋4－4sin θ＋sin2θ＝4－4sin θ，又0°≤θ≤180°，故0≤4－4sin θ≤4.
6.ABD　由a＝（1，2），b＝（－3，4），c＝a＋λb，所以c＝（1－3λ，2＋4λ），所以｜c｜2＝（1－3λ）2＋（2＋4λ）2＝5＋10λ＋25λ2＝25（ λ＋）2＋4，当λ＝－时，｜c｜取得最小值，故A正确；当｜c｜最小时，c＝（ ，），所以b·c＝－3×＋4×＝0，所以b⊥c，故B正确；设向量a与c的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，要使向量a与c的夹角最小，则cos θ最大，由于θ∈[0，π]，所以cos θ的最大值为1，此时θ＝0，则＝1，解得λ＝0.此时c＝（1，2），所以当λ＝0时，a与c的夹角最小，此时a＝c，故C错误，D正确.故选A、B、D.
7.3　8.
9.　解析：平面向量a，b满足｜a｜＝3，｜b｜＝1 ，则a·b＝3cos＜a，b＞，｜a＋λb｜2＝｜a｜2＋2λa·b＋λ2｜b｜2＝λ2＋6λcos＜a，b＞＋18，则λ＝－3cos＜a，b＞时，｜a＋λb｜2取得最小值，即｜a＋λb｜取得最小值，故－3cos＜a，b＞＝－4，则有cos＜a，b＞＝，又＜a，b＞∈[0，π]，则sin＜a，b＞＝＝.
10.C　设＝a，＝b，如图所示，则由＝－，又因为a与b－a的夹角为60°，所以∠ABC＝120°.又｜｜＝｜a｜＝1，由正弦定理＝，得｜b｜＝，因为C∈（0°，60°），所以sin C∈（ 0，），所以｜b｜＝∈（1，＋∞）.故选C.
11.A　因为＝2，所以＝＋＝＋＝＋（－）＝＋，设AB＝x，x＞0，则｜｜2＝，得37＝x2＋×x×9cos 60°＋×92，即2x2＋9x－126＝0，解得x＝6（舍负），即AB＝6，所以｜｜＝｜－｜＝＝＝3.
12.C　以点A为坐标原点，AB，AD为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为AB＝AD＝2CD＝2，E是线段AD中点，所以A（0，0），B（2，0），C（1，2），D（0，2），
E（0，1），而F是线段BE上的动点，从而可设＝λ＋（1－λ）＝（2λ，0）＋（0，1－λ）＝（2λ，1－λ），λ∈[0，1]，所以点F的坐标是（2λ，1－λ），所以＝（2－2λ，－1＋λ），＝（1－2λ，1＋λ），·＝（2－2λ）（1－2λ）＋（－1＋λ）（1＋λ）＝4λ2－6λ＋2＋λ2－1＝5λ2－6λ＋1＝5－，λ∈[0，1]，所以当λ＝时，·的最小值是－.故选C.
13.B　已知a，b是单位向量，由｜xa＋b｜≥，得（xa＋b）2≥，则x2＋2（a·b）x＋≥0，依题意，不等式x2＋2（a·b）x＋≥0对任意实数x恒成立，则Δ＝4（a·b）2－1≤0，解得－≤a·b≤，而cos＜a，b＞＝＝a·b，则－≤cos＜a，b＞≤，又0≤＜a，b＞≤π，函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，所以≤＜a，b＞≤，所以向量a，b的夹角的取值范围为［，］.
14.　解析：法一　由题意可设a＝（0，1），b＝（2，0），c＝（x，y），则a＋b－2c＝（2－2x，1－2y），由｜a＋b－2c｜＝1，可得（2－2x）2＋（1－2y）2＝1，化简可得（x－1）2＋＝，该方程表示以为圆心，以为半径的圆，则｜c｜表示圆上的点到原点的距离，而圆心到原点的距离d＝＝，所以｜c｜＝的取值范围是[d－r，d＋r]，即.
法二　由｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝0，得｜a＋b｜＝，又｜｜a＋b｜－｜2c｜｜≤｜a＋b－2c｜＝1，即－1≤｜2c｜≤＋1，即｜c｜∈.
15.－2　2　解析：要使（e1－e2）·e3最小，需e1－e2模长最大，且与e3夹角为π，故当e2，e3同向，且e2，e1反向时，·e3＝·cos π＝－2，可取得最小值－2；设e1＋e2＋e3＝－e4，即e1＋e2＋e3＋e4＝0，又e1，e2，e3均为单位向量，若e1，e2共线，则e1，e2，e3，e4首尾相连形成一条线段，则此时e1＋e2与e3共线，不合题意，所以e1，e2不共线，则e1，e2，e3，e4首尾相连形成一个菱形，即e1＝－e3，e2＝－e4，因为xe1＋ye2＋ze3＝0，x＋y＋z＝2 027，所以ye2＝－xe1－ze3＝（z－x）e1，则y＝z－x＝0 x＝z＝，所以＋＋＝2.
1 / 1第4节　平面向量的综合问题
　　平面向量的综合问题，尤其是最值、范围问题是高考的热点，也是难点.此类问题综合性强，体现知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、参数等.解题思路是建立目标函数的解析式，转化为函数的最值求解.同时要注意向量“数”与“形”的双重身份，解题时重视数形结合思想.
　　
平面向量的实际应用
（师生共研过关）
（2025·全国Ⅰ卷6题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（　　）
级数 名称 风速大小（单位：m/s）
2 轻风 1.6～3.3
3 微风 3.4～5.4
4 和风 5.5～7.9
5 劲风 8.0～10.7
图1
A.轻风 B.微风
C.和风 D.劲风
听课记录
用向量方法解决实际问题的步骤
训练1 在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为G，两个拉力分别为F1，F2，且｜F1｜＝｜F2｜，F1与F2的夹角为θ，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（　　）
A.｜G｜＝｜F1｜＋｜F2｜
B.当θ＝时，｜F1｜＝｜G｜
C.当θ越大时，用力越省
D.当｜F1｜＝｜G｜时，θ＝
平面向量在几何中的应用
（师生共研过关）
（1）（2026·广东佛山月考）在△ABC中，若｜｜＝｜＋｜，则△ABC为（　　）
A.等腰直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.直角三角形
（2）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED的长为　　　　.
听课记录
用向量法解决平面几何问题的方法 （1）几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量是已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算； （2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法.
训练2 （2026·河南郑州月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC.求：
（1）AD的长等于　　　　；
（2）∠DAC的大小为　　　　.
与平面向量有关的最值（范围）问题
（定向精析突破）
考向1　与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题
如图，在△ABC中，点P满足2＝，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若＝x，＝y（x＞0，y＞0），则2x＋y的最小值为（　　）
A.3 B.3
C.1 D.
听课记录
考向2　与数量积、夹角有关的最值（范围）问题
（1）平面向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，且｜a－3b｜＝1，则cos＜b，3b－a＞的最小值是　　　　；
（2）〔一题多解〕已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点（不含边界），则·的取值范围是　　　　.
听课记录
考向3　与模有关的最值（范围）问题
〔一题多解〕已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足｜c－a－b｜＝1，则｜c｜的取值范围是（　　）
A.[－1，＋1] B.[－1，]
C.[，＋1] D.[2－，2＋]
听课记录
向量求最值（范围）的常用方法 （1）利用三角函数求最值（范围）； （2）利用基本不等式求最值（范围）； （3）建立坐标系，设变量构造函数求最值（范围）； （4）数形结合，应用图形的几何性质求最值（范围）.
训练3 （1）（2026·江苏南京月考）在△ABC中，D是边AB上的点，满足AD＝2DB，E在线段CD上（不含端点），且＝x＋y（x，y∈R），则的最小值为（　　）
A.3＋2 B.4＋2
C.8＋4 D.8
（2）〔一题多解〕（2025·北京高考10题）已知平面直角坐标系xOy中，｜｜＝｜｜＝，｜｜＝2，设C（3，4），则｜2＋｜的取值范围是（　　）
A.[6，14] B.[6，12]
C.[8，14] D.[8，12]
（3）（2026·广东韶关模拟）已知平面向量a，b，c均为单位向量，且｜a＋b｜＝1，则向量a与b的夹角为　　　　，（a＋b）·（b－c）的最小值为　　　　.
第4节　平面向量的综合问题
考点1
【例1】　A　真风风速对应的向量＝视风风速对应的向量－船行风风速对应的向量＝视风风速对应的向量＋船速对应的向量＝，如图，｜｜＝2∈（1.6，3.3），故选A.
训练1　B　根据题意可得－G＝F1＋F2，则｜G｜＝｜F1＋F2｜＝＝＝，当θ＝0时，｜G｜＝2｜F1｜＝｜F1｜＋｜F2｜，当θ＝时，｜G｜＝＝｜F1｜，即｜F1｜＝｜G｜，故A错误，B正确；｜G｜＝，因为y＝cos θ在（0，π）内单调递减，且行李包所受的重力G不变，所以当θ越大时，用力越大，故C错误；当｜F1｜＝｜G｜时，即｜G｜＝＝｜F1｜，解得cos θ＝－，又因为θ∈（0，π），所以θ＝，故D错误.故选B.
考点2
【例2】　（1）D　（2）　解析：（1）由题意得，｜｜＝｜＋｜ ｜－｜＝｜＋｜，故－2·＋＝＋2·＋，则·＝0，故⊥，即△ABC为直角三角形.故选D.
（2）以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，），C（3，），D（3，0），＝（3，），设＝λ，则E的坐标为（3λ，λ），故＝（3λ，λ－）.因为BE⊥AC，所以·＝0，即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝，所以E（ ，），故＝，｜｜＝，即ED＝.
训练2　（1）　（2）90°　解析：（1）设＝a，＝b，则＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝a＋b.∴｜｜2＝（ a＋b）2＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3，∴AD＝.
（2）设∠DAC＝θ（0°＜θ＜120°），则θ为与的夹角.∵cos θ＝＝＝＝＝0，∴θ＝90°，即∠DAC＝90°.
考点3
【例3】　A　由题意知，＝＋＝＋＝＋（－）＝＋，又＝x，＝y（x＞0，y＞0），所以＝＋，由M，P，N三点共线，得＋＝1，所以2x＋y＝（2x＋y）＝＋＋≥＋2＝3，当且仅当x＝y时等号成立.故2x＋y的最小值为3.故选A.
【例4】　（1）　（2）（－2，6）
解析：（1）由｜a－3b｜＝1两边平方得a2－6a·b＋9b2＝1.又因为｜a｜＝｜b｜，所以a·b＝，所以cos＜b，3b－a＞＝＝＝＝＝·（ 8｜b｜＋）≥×2＝，当且仅当｜b｜＝时取等号，所以cos＜b，3b－a＞的最小值是.
（2）法一　·＝｜｜｜｜cos∠PAB＝2｜｜·cos∠PAB，又｜｜cos∠PAB 表示 在 方向上的投影数量，当P与C重合时投影数量最大，当P与F重合时投影数量最小.又因为·＝2×2×cos 30°＝6，·＝2×2×cos 120°＝－2，｜｜cos＜，＞＝＝3，｜｜cos＜，＞＝＝－1，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，·∈（－2，6） .
法二　以A 为原点建立平面直角坐标系，如图所示，设点P（x，y），则＝（x，y），＝（2，0），·＝（x，y）·（2，0）＝2x，易知x∈（－1，3），所以·∈（－2，6）.
【例5】　A　法一　由｜a｜＝｜b｜＝1，a·b＝0，得｜a＋b｜＝，又｜｜c｜－｜a＋b｜｜≤｜c－a－b｜＝1，故｜｜c｜－｜≤1，故－1≤｜c｜≤＋1.
法二　a，b是单位向量，a·b＝0，设a＝（1，0），b＝（0，1），c＝（x，y），｜c－a－b｜＝｜（x－1，y－1）｜＝＝1，∴（x－1）2＋（y－1）2＝1，∴｜c｜表示以（1，1）为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，故－1≤｜c｜≤＋1，∴－1≤｜c｜≤＋1.
训练3　（1）B　（2）D　（3）　－
解析：（1）∵＝x＋y（x，y∈R），AD＝2DB，∴＝＋y，又E在线段CD上（不含端点），∴＋y＝1，且x＞0，y＞0，∴＝＋＝＝4＋＋≥4＋2，当且仅当即x＝，y＝时，等号成立，∴的最小值为4＋2.
（2）法一　因为｜｜＝｜｜＝，｜｜＝2，由＝－两边平方可得，·＝0，所以＜，＞＝.2＋＝2（－）＋－＝＋－2，｜｜＝＝5，所以｜2＋｜2＝＋＋4－4（＋）·＝2＋2＋4×25－4（＋）·＝104－4（＋）·，又｜（＋）·｜≤｜＋｜｜｜＝5×＝10，即－10≤（＋）·≤10，所以｜2＋｜2∈[64，144]，即｜2＋｜∈[8，12]，故选D.
法二　因为｜｜＝｜｜＝，｜｜＝2，易求得＜，＞＝，2＋＝＋（＋）＝＋＝（－）＋（－）＝（＋）－2，又因为｜＋｜＝＝2，｜2｜＝10，所以10－2≤｜（＋）－2｜≤10＋2，即8≤｜2＋｜≤12.
（3）由题意知，｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，由｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝1，得a·b＝－，所以cos＜a，b＞＝＝－，又＜a，b＞∈[0，π]，所以＜a，b＞＝，即a与b的夹角为.（a＋b）·（b－c）＝a·b＋b2－（a＋b）·c＝－｜a＋b｜｜c｜cos＜a＋b，c＞＝－cos＜a＋b，c＞，又cos＜a＋b，c＞∈[－1，1]，所以≥－cos＜a＋b，c＞≥－，当且仅当a＋b与c同向时，右侧等号成立.所以（a＋b）·（b－c）的最小值为－.
1 / 1(共55张PPT)
第4节　平面向量的综合问题
重难解读
　　平面向量的综合问题，尤其是最值、范围问题是高考的热点，也是难点.此类问题综合性强，体现知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、参数等.解题思路是建立目标函数的解析式，转化为函数的最值求解.同时要注意向量“数”与“形”的双重身份，解题时重视数形结合思想.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
平面向量的实际应用（师生共研过关）
（2025·全国Ⅰ卷6题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（　）
级数 名称 风速大小（单位：m/s）
2 轻风 1.6～3.3
3 微风 3.4～5.4
4 和风 5.5～7.9
5 劲风 8.0～10.7
图1
A. 轻风 B. 微风
C. 和风 D. 劲风
√
解析： 　真风风速对应的向量＝视风风速对应的向量
－船行风风速对应的向量＝视风风速对应的向量＋船速
对应的向量＝ ，如图，｜ ｜＝2 ∈（1.6，
3.3），故选A.
用向量方法解决实际问题的步骤
训练1 在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若
行李包所受的重力为G，两个拉力分别为F1，F2，且｜F1｜＝｜F2｜，
F1与F2的夹角为θ，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（　　）
A. ｜G｜＝｜F1｜＋｜F2｜
B. 当θ＝ 时，｜F1｜＝ ｜G｜
C. 当θ越大时，用力越省
D. 当｜F1｜＝｜G｜时，θ＝
√
解析： 　根据题意可得－G＝F1＋F2，则｜G｜＝｜F1＋F2｜＝
＝ ＝ ，当θ＝0时，｜
G｜＝2｜F1｜＝｜F1｜＋｜F2｜，当θ＝ 时，｜G｜＝
＝ ｜F1｜，即｜F1｜＝ ｜G｜，故A错误，B正
确；｜G｜＝ ，因为y＝ cos θ在（0，π）内单调递减，
且行李包所受的重力G不变，所以当θ越大时，用力越大，故C错误；
当｜F1｜＝｜G｜时，即｜G｜＝ ＝｜F1｜，解得 cos
θ＝－ ，又因为θ∈（0，π），所以θ＝ ，故D错误.故选B.
平面向量在几何中的应用（师生共研过关）
（1）（2026·广东佛山月考）在△ABC中，若｜ ｜＝｜ ＋
｜，则△ABC为（　D　）
A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形
C. 等腰三角形 D. 直角三角形
解析： 由题意得，｜ ｜＝｜ ＋ ｜ ｜ － ｜＝｜ ＋
｜，故 －2 · ＋ ＝ ＋2 · ＋ ，则 · ＝
0，故 ⊥ ，即△ABC为直角三角形.故选D.
D
（2）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝ ，BC＝3，BE⊥AC，垂足
为E，则ED的长为 .
　
解析：以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、
y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（0， ），
C（3， ），D（3，0）， ＝（3， ），设 ＝
λ ，则E的坐标为（3λ， λ），故 ＝（3λ，
λ－ ）.因为BE⊥AC，所以 · ＝0，即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝ ，所以E ，故 ＝ ，｜ ｜＝ ，即ED＝ .
用向量法解决平面几何问题的方法
（1）几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量是已知模或夹
角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律
或性质计算；
（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中
的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.一般地，存在坐标系或易建
坐标系的题目适合用坐标法.
训练2 （2026·河南郑州月考）如图，在△ABC中，
∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，
且BD＝ DC. 求：
（1）AD的长等于 ；
解析： 设 ＝a， ＝b，则 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋
（ － ）＝ ＋ ＝ a＋ b.∴｜ ｜2＝（ a＋ b）2＝ a2
＋2× a·b＋ b2＝ ×9＋2× ×3×3× cos 120°＋ ×9＝3，∴AD＝
.
　
（2）∠DAC的大小为 .
解析：设∠DAC＝θ（0°＜θ＜120°），则θ为 与 的夹角.
∵ cos θ＝ ＝ ＝ ＝ ＝
0，∴θ＝90°，即∠DAC＝90°.
90°　
与平面向量有关的最值（范围）问题（定向精析突破）
考向1　与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题
如图，在△ABC中，点P满足2 ＝ ，过点P的直线与AB，AC所
在的直线分别交于点M，N，若 ＝x ， ＝y （x＞0，y＞
0），则2x＋y的最小值为（　A　）
A. 3 B. 3
C. 1 D.
A
解析：　由题意知， ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）
＝ ＋ ，又 ＝x ， ＝y （x＞0，y＞0），所以 ＝
＋ ，由M，P，N三点共线，得 ＋ ＝1，所以2x＋y＝
（2x＋y） ＝ ＋ ＋ ≥ ＋2 ＝3，当且仅当x＝y时
等号成立.故2x＋y的最小值为3.故选A.
考向2　与数量积、夹角有关的最值（范围）问题
（1）平面向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，且｜a－3b｜＝1，则 cos
＜b，3b－a＞的最小值是 ；
　
解析： 由｜a－3b｜＝1两边平方得a2－6a·b＋9b2＝1.又因为｜a｜
＝｜b｜，所以a·b＝ ，所以 cos ＜b，3b－a＞＝
＝ ＝ ＝ ＝ （8｜b｜＋ ）≥
×2 ＝ ，当且仅当｜b｜＝ 时取等号，所以 cos ＜b，3b－a＞的
最小值是 .
（2）〔一题多解〕已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点（不含
边界），则 · 的取值范围是 .
解析：法一　 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ∠PAB＝2｜ ｜· cos
∠PAB，又｜ ｜ cos ∠PAB 表示 在 方向上的投影数量，当P与C
重合时投影数量最大，当P与F重合时投影数量最小.又因为 · ＝
2 ×2× cos 30°＝6， · ＝2×2× cos 120°＝－2，｜ ｜ cos
＜ ， ＞＝ ＝3，｜ ｜ cos ＜ ， ＞＝ ＝－1，故当点P在
正六边形ABCDEF内部运动时， · ∈（－2，6） .
（－2，6）　
法二　以A 为原点建立平面直角坐标系，如图所示，设
点P（x，y），则 ＝（x，y）， ＝（2，0），
· ＝（x，y）·（2，0）＝2x，易知x∈（－1，
3），所以 · ∈（－2，6）.
考向3　与模有关的最值（范围）问题
〔一题多解〕已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足｜c－a
－b｜＝1，则｜c｜的取值范围是（　　）
A. [－1， ＋1] B. [－1， ]
C. [， ＋1] D. [2－ ，2＋ ]
√
解析： 　法一　由｜a｜＝｜b｜＝1，a·b＝0，得｜a＋b｜＝ ，
又｜｜c｜－｜a＋b｜｜≤｜c－a－b｜＝1，故｜｜c｜－ ｜≤1，
故 －1≤｜c｜≤ ＋1.
法二　a，b是单位向量，a·b＝0，设a＝（1，0），b＝（0，1），c＝
（x，y），｜c－a－b｜＝｜（x－1，y－1）｜＝
＝1，∴（x－1）2＋（y－1）2＝1，∴｜c｜表
示以（1，1）为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，故 －
1≤｜c｜≤ ＋1，∴ －1≤｜c｜≤ ＋1.
向量求最值（范围）的常用方法
（1）利用三角函数求最值（范围）；
（2）利用基本不等式求最值（范围）；
（3）建立坐标系，设变量构造函数求最值（范围）；
（4）数形结合，应用图形的几何性质求最值（范围）.
训练3 （1）（2026·江苏南京月考）在△ABC中，D是边AB上的点，满足
AD＝2DB，E在线段CD上（不含端点），且 ＝x ＋y （x，
y∈R），则 的最小值为（　B　）
A. 3＋2 B. 4＋2
C. 8＋4 D. 8
B
解析： ∵ ＝x ＋y （x，y∈R），AD＝2DB，∴ ＝
＋y ，又E在线段CD上（不含端点），∴ ＋y＝1，且x＞0，y＞0，
∴ ＝ ＋ ＝ ＝4＋ ＋ ≥4＋2 ，当且仅当
即x＝ ，y＝ 时，等号成立，∴ 的最小值为4
＋2 .
（2）〔一题多解〕（2025·北京高考10题）已知平面直角坐标系xOy
中，｜ ｜＝｜ ｜＝ ，｜ ｜＝2，设C（3，4），则｜2 ＋
｜的取值范围是（　D　）
A. [6，14] B. [6，12]
C. [8，14] D. [8，12]
D
解析：法一　因为｜ ｜＝｜ ｜＝ ，｜ ｜＝2，由 ＝ －
两边平方可得， · ＝0，所以＜ ， ＞＝ .2 ＋ ＝2
（ － ）＋ － ＝ ＋ －2 ，｜ ｜＝ ＝5，
所以｜2 ＋ ｜2＝ ＋ ＋4 －4（ ＋ ）· ＝2＋2＋
4×25－4（ ＋ ）· ＝104－4（ ＋ ）· ，又｜（ ＋
）· ｜≤｜ ＋ ｜｜ ｜＝5× ＝10，即－10≤（
＋ ）· ≤10，所以｜2 ＋ ｜2∈[64，144]，即｜2 ＋ ｜
∈[8，12]，故选D.
法二　因为｜ ｜＝｜ ｜＝ ，｜ ｜＝2，易求得＜ ， ＞
＝ ，2 ＋ ＝ ＋（ ＋ ）＝ ＋ ＝（ － ）＋
（ － ）＝（ ＋ ）－2 ，又因为｜ ＋ ｜＝
＝2，｜2 ｜＝10，所以10－2≤｜（ ＋
）－2 ｜≤10＋2，即8≤｜2 ＋ ｜≤12.
（3）（2026·广东韶关模拟）已知平面向量a，b，c均为单位向量，且｜
a＋b｜＝1，则向量a与b的夹角为 ，（a＋b）·（b－c）的最小
值为 .
　
－ 　
解析：由题意知，｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，由｜a＋b｜2＝a2＋2a·b
＋b2＝1，得a·b＝－ ，所以 cos ＜a，b＞＝ ＝－ ，又＜a，b
＞∈[0，π]，所以＜a，b＞＝ ，即a与b的夹角为 .（a＋b）·（b
－c）＝a·b＋b2－（a＋b）·c＝ －｜a＋b｜｜c｜ cos ＜a＋b，c＞
＝ － cos ＜a＋b，c＞，又 cos ＜a＋b，c＞∈[－1，1]，所以 ≥ －
cos ＜a＋b，c＞≥－ ，当且仅当a＋b与c同向时，右侧等号成立.所以
（a＋b）·（b－c）的最小值为－ .
课时跟踪检测
（时间：45分钟，满分：76分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 四边形ABCD中， ＝ ，（ ＋ ）·（ － ）＝0，则这
个四边形是（　　）
A. 菱形 B. 矩形
C. 正方形 D. 等腰梯形
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
解析： 　由题意， ＝ ，即AD＝BC且AD∥BC，故四边形ABCD
为平行四边形，又（ ＋ ）·（ － ）＝｜ ｜2－｜ ｜2＝
0，故AB＝AD，即四边形ABCD为菱形.
2. 在水流速度为10 km/h的自西向东的河中，如果要使船以10 km/h的速
度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（　　）
A. 北偏西30°，20 km/h
B. 北偏西60°，10 km/h
C. 北偏东30°，10 km/h
D. 北偏东60°，20 km/h
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 如图，船从点O出发，沿 方向行驶才能垂直
到达对岸，｜ ｜＝10，｜ ｜＝10 ，则｜ ｜＝
＝20，则 cos ∠BOC＝ ＝
，因为∠BOC为锐角，故∠BOC＝30°，故船以20 km/h的速度，以北偏西30°的方向行驶，才能垂直到达对岸.故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. （2026·云南昆明模拟）设x＞0，向量 ＝（x2，－2x）在向量 ＝
（1，2）上的投影向量为λ （λ∈R），则实数λ的最小值为（　　）
A. － B. －
C. － D. －
√
解析： 　向量 在向量 上的投影向量为 · ＝ ，则λ
＝ ＝ ≥－ ，当且仅当x＝2时，等号成立，所以λ的最小
值为－ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 已知平面向量a，b，｜a｜＝1，｜b｜＝ ，且a·b＝1.若｜c｜＝
2，则（a＋b）·c的最大值为（　　）
A. 2 B. 10
C. 2 D. 5
√
解析： 　设a＋b，c的夹角为θ，则（a＋b）·c＝｜a＋b｜·｜c｜
cos θ≤｜a＋b｜·｜c｜＝ ·｜c｜＝2 ，当a
＋b，c同向，即θ＝0时取等号.故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. （2026·江西南昌测试）如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P
在以AB为直径的半圆上（正方形ABCD内部，含边界），则 · 的取
值范围为（　　）
A. （0，8） B. [0，8]
C. （0，4） D. [0，4]
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　以AB的中点O为坐标原点，建立如图所示的平
面直角坐标系，正方形ABCD的边长为2，则C（1，2），
D（－1，2），又点P在以AB为直径的半圆上，故可设P
（ cos θ， sin θ），0°≤θ≤180°，则 ＝（1－ cos
θ，2－ sin θ）， ＝（－1－ cos θ，2－ sin θ），故 · ＝－（1－ cos θ）（1＋ cos θ）＋（2－ sin θ）2＝ cos 2θ－1＋4－4 sin θ＋ sin 2θ＝4－4 sin θ，又0°≤θ≤180°，故0≤4－4 sin θ≤4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. 〔多选〕（2026·广东湛江模拟）已知向量a＝（1，2），b＝（－3，
4），c＝a＋λb，λ∈R，则下列说法正确的是（　　）
A. 当λ＝－ 时，｜c｜最小
B. 当｜c｜最小时，b⊥c
C. 当λ＝1时，a与c的夹角最小
D. 当a与c的夹角最小时，a＝c
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　由a＝（1，2），b＝（－3，4），c＝a＋λb，所以c＝
（1－3λ，2＋4λ），所以｜c｜2＝（1－3λ）2＋（2＋4λ）2＝5＋10λ
＋25λ2＝25（λ＋ ）2＋4，当λ＝－ 时，｜c｜取得最小值，故A正
确；当｜c｜最小时，c＝（ ， ），所以b·c＝－3× ＋4× ＝0，所
以b⊥c，故B正确；设向量a与c的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ＝ ，要使向量a与c的夹角最小，则 cos θ最大，由于θ∈[0，π]，所以 cos θ的最大值为1，此时θ＝0，则 ＝1，解得λ＝0.此时c＝（1，2），所以当λ＝0时，a与c的夹角最小，此时a＝c，故C错误，D正确.故选A、B、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 已知圆C的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2，点P在直线y＝x＋3
上，线段AB为圆C的直径，则｜ ＋ ｜的最小值为 .
解析：因为C为AB的中点，所以 ＋ ＝2 ，从而｜ ＋ ｜
＝｜2 ｜＝2｜ ｜，可知｜ ｜的最小值为点C到直线y＝x＋3的距
离，d＝ ＝ ，所以｜ ＋ ｜min＝2× ＝3 .
3 　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. （2026·山西晋中模拟）在△ABC中，D为边AC上一点，且满足 ＝
，若P为BD上一点，且满足 ＝λ ＋μ ，λ，μ为正实数，
则λμ的最大值为 .
解析：因为 ＝ ，所以 ＝3 ，又 ＝λ ＋μ ＝λ
＋3μ ，且P，B，D三点共线，所以λ＋3μ＝1，又λ，μ为正实
数，所以λμ＝ λ×3μ≤ ×（ ）2＝ ，当且仅当
即λ＝ ，μ＝ 时取等号.
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 已知平面向量a，b满足｜a｜＝3 ，｜b｜＝1，并且当λ＝－4
时，｜a＋λb｜取得最小值，则 sin ＜a，b＞＝ .
解析：平面向量a，b满足｜a｜＝3 ，｜b｜＝1 ，则a·b＝3 cos ＜
a，b＞，｜a＋λb｜2＝｜a｜2＋2λa·b＋λ2｜b｜2＝λ2＋6 λ cos
＜a，b＞＋18，则λ＝－3 cos ＜a，b＞时，｜a＋λb｜2取得最小
值，即｜a＋λb｜取得最小值，故－3 cos ＜a，b＞＝－4，则有 cos
＜a，b＞＝ ，又＜a，b＞∈[0，π]，则 sin ＜a，b＞＝
＝ .
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 已知a是单位向量，向量b（b≠a）满足b－a与a所成角为60°，
则｜b｜的取值范围是（　　）
A. （ ，＋∞） B. （ ，＋∞）
C. （1，＋∞） D. （2，＋∞）
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　设 ＝a， ＝b，如图所示，则由 ＝
－ ，又因为a与b－a的夹角为60°，所以∠ABC
＝120°.又｜ ｜＝｜a｜＝1，由正弦定理 ＝ ，得｜b｜＝ ，因为C∈（0°，60°），所以 sin C∈（0， ），所以｜b｜＝ ∈（1，＋∞）.故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. 在△ABC中，AC＝9，A＝60°，点D满足 ＝2 ，AD＝ ，
则BC的长为（　　）
A. 3 B. 3
C. 3 D. 6
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　因为 ＝2 ，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋
（ － ）＝ ＋ ，设AB＝x，x＞0，则｜ ｜2＝ ，得37＝ x2＋ ×x×9 cos 60°＋ ×92，即2x2＋9x－126＝0，解
得x＝6（舍负），即AB＝6，所以｜ ｜＝｜ － ｜＝
＝
＝3 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. （2026·江苏南京模拟）在四边形ABCD中，AB∥DC，A＝90°，
AB＝AD＝2CD＝2，E是线段AD中点，F是线段BE上的动点，则
· 的最小值为（　　）
A. － B. －
C. － D. －
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　以点A为坐标原点，AB，AD为x，y轴建立如
图所示的平面直角坐标系，因为AB＝AD＝2CD＝2，E
是线段AD中点，所以A（0，0），B（2，0），C（1，
2），D（0，2），E（0，1），而F是线段BE上的动点，
从而可设 ＝λ ＋（1－λ） ＝（2λ，0）＋（0，1－λ）＝
（2λ，1－λ），λ∈[0，1]，所以点F的坐标是（2λ，1－λ），所以 ＝（2－2λ，－1＋λ）， ＝（1－2λ，1＋λ）， · ＝（2－2λ）（1－2λ）＋（－1＋λ）（1＋λ）＝4λ2－6λ＋2＋λ2－1＝5λ2
－6λ＋1＝5 － ，λ∈[0，1]，所以当λ＝ 时， · 的最小值是－ .故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. 已知单位向量a，b，若对任意实数x，｜xa＋b｜≥ 恒成立，则向
量a，b的夹角的取值范围为（　　）
A. ［ ， ］ B. ［ ， ］
C. ［ ， ］ D. ［ ， ］
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　已知a，b是单位向量，由｜xa＋b｜≥ ，得（xa＋b）
2≥ ，则x2＋2（a·b）x＋ ≥0，依题意，不等式x2＋2（a·b）x＋ ≥0
对任意实数x恒成立，则Δ＝4（a·b）2－1≤0，解得－ ≤a·b≤ ，而
cos ＜a，b＞＝ ＝a·b，则－ ≤ cos ＜a，b＞≤ ，又0≤＜
a，b＞≤π，函数y＝ cos x在[0，π]上单调递减，所以 ≤＜a，b＞
≤ ，所以向量a，b的夹角的取值范围为［ ， ］.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 〔一题多解〕已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝0，若
向量c满足｜a＋b－2c｜＝1，则｜c｜的取值范围是 .
解析：法一　由题意可设a＝（0，1），b＝（2，0），c＝（x，y），
则a＋b－2c＝（2－2x，1－2y），由｜a＋b－2c｜＝1，可得（2－
2x）2＋（1－2y）2＝1，化简可得（x－1）2＋ ＝ ，该方程
表示以 为圆心，以 为半径的圆，则｜c｜表示圆上的点到原点的
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
距离，而圆心到原点的距离d＝ ＝ ，所以｜c｜＝
的取值范围是[d－r，d＋r]，即 .
法二　由｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝0，得｜a＋b｜＝ ，又｜｜a
＋b｜－｜2c｜｜≤｜a＋b－2c｜＝1，即 －1≤｜2c｜≤ ＋1，
即｜c｜∈ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 〔创新设问〕已知同一平面内的单位向量e1，e2，e3，则（e1－
e2）·e3的最小值是 ；若e1＋e2与e3不共线，｜e1＋e2＋e3｜＝1，
x，y，z∈R，xe1＋ye2＋ze3＝0，x＋y＋z＝2 027，则 ＋ ＋
＝ .
－2　
2　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：要使（e1－e2）·e3最小，需e1－e2模长最大，且与e3夹角为π，故当
e2，e3同向，且e2，e1反向时， ·e3＝ · cos π＝－2，
可取得最小值－2；设e1＋e2＋e3＝－e4，即e1＋e2＋e3＋e4＝0，又e1，
e2，e3均为单位向量，若e1，e2共线，则e1，e2，e3，e4首尾相连形成一条
线段，则此时e1＋e2与e3共线，不合题意，所以e1，e2不共线，则e1，
e2，e3，e4首尾相连形成一个菱形，即e1＝－e3，e2＝－e4，因为xe1＋ye2
＋ze3＝0，x＋y＋z＝2 027，所以ye2＝－xe1－ze3＝（z－x）e1，则y＝
z－x＝0 x＝z＝ ，所以 ＋ ＋ ＝2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
THANKS
演示完毕 感谢观看

展开更多......

收起↑