资源简介 第5节 复数（时间：45分钟，满分：78分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]1.（2026·广东佛山模拟）复数（3＋4i）（3－4i）＝（ ）A.－25 B.25C.－5 D.5 2.（2026·安徽皖南八校联考）已知复数z与互为共轭复数，则复数z的虚部为（ ）A.－1 B.－iC.－2 D.－2i 3.（2025·北京高考2题）已知复数z满足i·z＋2＝2i，则｜z｜＝（ ）A. B.2C.4 D.8 4.（2026·山东烟台模拟）已知复数z满足z（1＋i）＝2－3i，则z在复平面内所对应的点位于（ ）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限 5.〔一题多解〕已知虚数z是关于x的方程x2－4x＋a＝0（a∈R）的一个根，且｜z｜＝，则a＝（ ）A.1 B.2C.4 D.5 6.〔多选〕若复数z＝，则（ ）A.＝4－iB.｜｜＝C.z在复平面内对应的点位于第四象限D.复数ω满足｜ω｜＝1，则｜ω－z｜的最大值为＋1 7.若复数6＋5i与－3＋4i分别对应向量与，则向量对应的复数为 . 8.设m∈R，i为虚数单位.若集合A＝{1，2m＋（m－1）i}，B＝{－2i，1，2}，且A B，则m＝ . 9.已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，为z的共轭复数，且满足｜z＋｜＝｜z－｜＝｜z｜2，则复数z＝ . 10.使复数（＋i）n为纯虚数的最小自然数n是（ ）A.1 B.2C.3 D.4 11.已知复数z满足1≤｜z－（1－i）｜≤2，则复数z在复平面内对应的点Z所在区域的面积为（ ）A.π B.2πC.3π D.4π 12.已知复数数列{an}满足a1＝2i，an＋1＝ian＋i＋1，n∈N*，i为虚数单位，则a10＝（ ）A.2i B.－1＋iC.1＋i D.－2i 13.〔多选〕设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是（ ）A.若｜z2｜＝｜z3｜，则z2＝±z3B.若z1z2＝z1z3，则z2＝z3C.若＝z3，则｜z1z2｜＝｜z1z3｜D.若z1z2＝｜z1｜2，则z1＝z2 14.已知复数z1，z2和z满足｜z1｜＝｜z2｜＝1，若｜z1－z2｜＝｜z1－1｜＝｜z2－z｜，则｜z｜的最大值为 . 15.〔创新定义〕〔多选〕一般地，对于复数z＝a＋bi（i为虚数单位，a，b∈R），在平面直角坐标系中设｜z｜＝｜｜＝r（r≥0），经过点Z的终边的对应角为θ，则根据三角函数的定义可知，a＝rcos θ，b＝rsin θ，因此z＝r（cos θ＋isin θ），我们称此种形式为复数的三角形式，r称为复数z的模，θ称为复数z的辐角.为使所研究的问题有唯一的结果，我们规定，适合0≤θ＜2π的辐角θ的值叫做辐角的主值.已知复数z满足｜z－1｜≤r，r∈（0，1），Re（z）为z的实部，θ为z的辐角的主值，则（ ）A.｜z－2i｜的最大值为r＋3B.｜z－2i｜的最小值为3－rC.cos θ≤D.Re（ ）≥（1－r2） 第5节 复数1.B 2.A 3.B 4.C 5.D 法一 设z＝m＋ni（m，n∈R且n≠0），代入原方程可得m2－n2－4m＋a＋（2mn－4n）i＝0，所以得因为｜z｜＝＝，所以n2＝1，则a＝5.故选D.法二 因为实系数一元二次方程x2－4x＋a＝0的虚数根共轭成对出现，所以a＝z·＝｜z｜2＝5.故选D.6.BCD 7.9＋i 8.19.－1＋i 解析：由题意设z＝a＋bi（a，b∈R，a＜0，b＞0），则＝a－bi.因为｜z＋｜＝｜z－｜＝｜z｜2，则｜2a｜＝｜2bi｜＝a2＋b2，即｜a｜＝｜b｜＝， 解得｜a｜＝｜b｜＝1.因为a＜0，b＞0，所以a＝－1，b＝1，所以z＝－1＋i.10.C 因为（＋i）2＝2＋2i，（＋i）3＝2（1＋i）（＋i）＝8i，所以使得复数（＋i）n为纯虚数的最小自然数n是3.故选C.11.C 令z＝a＋bi（a，b∈R），则1≤｜（a－1）＋（b＋1）i｜≤2，所以1≤（a－1）2＋（b＋1）2≤4，即对应的点Z所在区域的面积是圆心为（1，－1），半径分别为1，2的两个同心圆的面积差，所以所求区域的面积为4π－π＝3π.12.B 因为a1＝2i，an＋1＝ian＋i＋1，所以a2＝2i·i＋i＋1＝－1＋i，a3＝（－1＋i）i＋i＋1＝0，a4＝0·i＋i＋1＝1＋i，a5＝（1＋i）i＋i＋1＝2i，…，所以复数数列{an}是以4为周期的周期数列，所以a10＝a4×2＋2＝a2＝－1＋i.故选B.13.BC 由复数模的概念可知，由｜z2｜＝｜z3｜不一定能得到z2＝±z3，例如z2＝1＋i，z3＝1－i，A中命题错误；由z1z2＝z1z3可得z1（z2－z3）＝0，因为z1≠0，所以z2－z3＝0，即z2＝z3，B中命题正确；因为｜z1z2｜＝｜z1｜｜z2｜，｜z1z3｜＝｜z1｜｜z3｜，＝z3，z1≠0，所以｜｜＝｜z2｜＝｜z3｜，所以｜z1z2｜＝｜z1z3｜，C中命题正确；取z1＝1＋i，z2＝1－i，显然满足z1z2＝｜z1｜2，但z1≠z2，D中命题错误.故选B、C.14.3 解析：根据题意，得｜z｜＝｜（z2－z）－z2｜≤｜z2－z｜＋｜z2｜＝｜z1－1｜＋1≤｜z1｜＋1＋1＝3，当z1＝－1，z2＝1，z＝3时，｜z1－z2｜＝｜z1－1｜＝｜z2－z｜＝2，此时｜z｜＝3，所以｜z｜max＝3.15.ABD ｜z－1｜≤r，r∈（0，1）的几何意义是点Z在以（1，0）为圆心、以r为半径的圆上或圆内，如图所示.对于A、B，｜z－2i｜的几何意义是点Z与点（0，2）的距离，其最大值为r＋＝r＋3.同理可知｜z－2i｜的最小值为3－r，所以A、B正确；对于C，因为图中辐角的余弦值不小于，所以C错误；对于D，设z＝x＋yi（x，y∈R），有Re（ ）＝＝·cos2θ（其中θ是z的辐角的主值），因为cos θ≥，所以Re（ ）＝cos2θ≥（1－r2）＝（1－r2），D正确.1 / 1第5节 复数1.通过方程的解，认识复数. 2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义. 3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.知识梳理1.复数的有关概念（1）复数的概念：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，a，b分别是它的 和 .当且仅当 时，a＋bi是实数；当 时，a＋bi为虚数；当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数；（2）复数相等：a＋bi＝c＋di （a，b，c，d∈R）；（3）共轭复数：a＋bi与c＋di共轭 （a，b，c，d∈R）；（4）复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模或绝对值，记作｜z｜或｜a＋bi｜，即｜z｜＝｜a＋bi｜＝ .2.复数的几何意义（1）复数z＝a＋bi复平面内的点Z（a，b）；（2）复数z＝a＋bi平面向量.提醒：复数z＝a＋bi（a，b∈R）在复平面内对应点的坐标为（a，b），而不是（a，bi）.3.复数的运算（1）复数的加、减、乘、除运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）.（2）复数的运算律（设z1，z2，z3∈C）：①加法交换律：z1＋z2＝ ；②加法结合律：（z1＋z2）＋z3＝ ；③乘法交换律：z1z2＝ ；④乘法结合律：（z1z2）z3＝ ；⑤乘法对加法的分配律：z1（z2＋z3）＝ .（3）复数加、减法的几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝ ，＝ .1.i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0（n∈N*）. 2.z·＝｜z｜2＝｜｜2，｜z1·z2｜＝｜z1｜·｜z2｜，＝，｜zn｜＝｜z｜n. 3.实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）若存在虚根，则两根必为共轭复数.诊断自测1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）若a∈C，则a2≥0.（ ）（2）已知z＝a＋bi（a，b∈R），当a＝0时，复数z为纯虚数.（ ）（3）复数z＝a＋bi（a，b∈R）的虚部为bi.（ ）（4）方程x2＋x＋1＝0没有解.（ ）（5）复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.（ ）2.若复数z＝（x2－1）＋（x－1）i为纯虚数，则实数x的值为（ ）A.－1 B.0C.1 D.－1或13.已知复数z满足（2－i）＝1－2i，其中i为虚数单位，则z在复平面内对应的点在（ ）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4.已知z＝－1－i，则｜z｜＝ .5.已知i为虚数单位，则（ ）2 027＝ .复数的概念（基础自学过关）1.（2025·全国Ⅰ卷1题）（1＋5i）i的虚部为（ ）A.－1 B.0 C.1 D.62.若复数（a2－5a＋6）＋（a2－3a）i＞0，则实数a＝（ ）A.0 B.2C.3 D.0或2或33.若纯虚数z满足（z＋m）i＝2－i（其中i为虚数单位，m为实数），则m＝（ ）A.－2 B.－1 C.1 D.24.〔一题多解〕设复数z＝－1－i（i是虚数单位），z的共轭复数为，则｜（1－z）｜＝ .解决复数概念问题的方法及注意事项 （1）复数的分类及共轭复数，复数的模等概念问题都可以转化为复数的实部与虚部应满足的条件问题； （2）解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）的形式，以确定实部和虚部.复数的四则运算（基础自学过关）1.（2026·安徽江淮十校联考）已知复数z＝1－i（其中i为虚数单位），则＝（ ）A.＋i B.－＋iC.－－i D.－i2.〔一题多解〕（2026·山东威海模拟）已知复数z＝1＋2i，则（z－）z＝（ ）A.4＋8i B.4－8iC.4i－8 D.4i＋83.若z＝，则z100＋z50＋1＝（ ）A.1 B.iC.－1 D.－i4.〔一题多解〕设复数z满足＝－i，则｜z｜＝ .复数代数形式运算的策略复数的几何意义（师生共研过关）教材母题：〔人A必修二P81习题9题〕若z＝x＋yi（x，y∈R），则复平面内满足｜z－（2＋i）｜＝3的点Z的集合是什么图形？细研教材：设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）在复平面内对应的点分别是A（a，b），B（c，d），则（1）｜z1－z2｜＝｜AB｜＝，则｜z1－z2｜的几何意义是复平面内复数z1，z2对应的点A，B间的距离；（2）设复数z对应的点是Z，①若｜z－z1｜＝r，r＞0，则点Z的轨迹为圆；②若r1＜｜z－z1｜＜r2（0＜r1＜r2），则点Z的轨迹为圆环，但不包括边界；③若｜z－z1｜＝｜z－z2｜，则点Z的轨迹为线段AB的垂直平分线；④若｜z－z1｜＋｜z－z2｜＝常数，则当常数大于｜AB｜时，点Z的轨迹为椭圆；当常数等于｜AB｜时，点Z的轨迹为线段；当常数小于｜AB｜时，点Z的轨迹不存在；⑤若｜z－z1｜－｜z－z2｜＝常数，则当常数大于｜AB｜时，点Z的轨迹不存在；当常数等于｜AB｜时，点Z的轨迹为一条射线；当常数小于｜AB｜时，点Z的轨迹为双曲线的一支.变式1 已知｜z｜＝2，则｜z＋3－4i｜的最大值是 .变式2 〔一题多解〕已知i是虚数单位，复数z＝a＋bi（a，b∈R），且｜z－i｜＝｜z＋2－i｜，则｜z－3＋i｜的最小值为 .对复数几何意义的再理解 （1）复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi（a，b∈R） Z（a，b） ； （2）由于｜z1－z2｜表示z1，z2在复平面内对应点Z1，Z2之间的距离，因此可由此判断复数对应点的轨迹问题，并结合平面解析几何知识解决最值问题.训练1 （1）若复数（2＋i）·（a－i）（i是虚数单位，a∈R）在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（ ）A.（ －，3） B.（ ，2）C.（ －，2） D.（ ，3）（2）〔多选〕（2026·陕西西安调研）已知z满足｜z＋i2－i3｜＝｜z｜，且z在复平面内对应的点为（x，y），则（ ）A.x－y－1＝0B.x＋y＋1＝0C.｜z｜的最小值为D.｜z｜的最小值为（3）设复数z1，z2满足｜z1｜＝｜z2｜＝2，z1＋z2＝＋i，则｜z1－z2｜＝ .复数集内一元二次方程的解（师生共研过关）（1）若复数z是x2＋x＋1＝0的根，则｜z｜＝（ ）A. B.1C.2 D.3（2）〔多选〕在复数范围内关于x的实系数一元二次方程x2＋px＋2＝0的两根为x1，x2，其中x1＝1＋i，则（ ）A.p＝2 B.x2＝1－iC.x1·＝－2i D.＝i听课记录1.对实系数一元二次方程来说，求根公式、根与系数的关系、判别式的功能没有变化，仍然适用. 2.对复系数（至少有一个系数为虚数）方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.训练2 若关于x的方程x2＋（k＋2i）x＋2＋ki＝0有实根，则这个实根及相应的实数k的值分别为（ ）A.，－2B.，－2或－，2C.，－D.，－或－，第5节 复数【夯实必备知识】知识梳理1.（1）实部 虚部 b＝0 b≠0 （2）a＝c且b＝d （3）a＝c，b＝－d （4）3.（1）（a±c）＋（b±d）i （ac－bd）＋（bc＋ad）i ＋i（2）①z2＋z1 ②z1＋（z2＋z3） ③z2z1④z1（z2z3） ⑤ z1z2＋z1z3（3）＋ －诊断自测1.（1）× （2）× （3）× （4）× （5）√2.A 3.A 4. 5.－i【研透核心考点】考点11.C 2.A 3.B 4.考点21.D 2.C 3.B 4.1考点3教材母题 解：法一 由复数模的几何意义可知，复平面内满足｜z－（2＋i）｜＝3的点Z的集合是以（2，1）为圆心，以3为半径的圆.法二 ∵z＝x＋yi，∴｜z－（2＋i）｜＝｜x＋yi－2－i｜＝｜（x－2）＋（y－1）i｜＝3.∴＝3，即（x－2）2＋（y－1）2＝32，故复平面内满足｜z－（2＋i）｜＝3的点Z的集合是以（2，1）为圆心，以3为半径的圆.变式1 7 解析：设z＝x＋yi，x，y∈R，则有＝2，即x2＋y2＝4，则复数z在复平面中的点P（x，y）在以（0，0）为圆心，2为半径的圆周上.z＋3－4i＝（x＋3）＋（y－4）i，｜z＋3－4i｜＝，表示点P（x，y）与点A（－3，4）的距离，如图所示，则｜AP｜max＝＋r＝5＋2＝7，即｜z＋3－4i｜的最大值为7.变式2 4 解析：法一 由｜z－i｜＝｜z＋2－i｜，得复数z在复平面内对应的点Z到点（0，1）与点（－2，1）的距离相等，则点Z在直线x＝－1上.｜z－3＋i｜表示点Z与点（3，－）的距离，过点（3，－）作直线x＝－1的垂线，垂足为P（图略），当点Z与点P重合时，｜z－3＋i｜取得最小值4.法二 因为z＝a＋bi（a，b∈R），则z－i＝a＋（b－1）i，z＋2－i＝（a＋2）＋（b－1）i，由｜z－i｜＝｜z＋2－i｜，可得＝，解得a＝－1，则z＝－1＋bi，所以z－3＋i＝－4＋（b＋）i，因此｜z－3＋i｜＝≥4，当且仅当b＝－时，等号成立，故｜z－3＋i｜的最小值为4.训练1 （1）C （2）AC （3）2解析：（1）复数（2＋i）（a－i）＝2a＋1＋（a－2）i，其对应点（2a＋1，a－2）在第四象限，则解得－＜a＜2，所以实数a的取值范围是（ －，2）.故选C.（2）由题意z＝x＋yi（x，y∈R），由｜z＋i2－i3｜＝｜z｜，得｜x＋yi－1＋i｜＝｜x－1＋（y＋1）i｜＝｜x＋yi｜，即（x－1）2＋（y＋1）2＝x2＋y2，即x－y－1＝0.故A正确；｜z｜表示复数z在复平面内对应的点（x，y）到原点的距离，易知其最小值为原点到直线x－y－1＝0的距离，即，故C正确.（3）设复数z1，z2在复平面内分别对应向量，，则z1＋z2对应向量＋.由题知｜｜＝｜｜＝｜＋｜＝2，如图所示，以OA，OB为邻边作 OACB，则z1－z2对应向量，由OA＝AC＝OC＝2，可得BA＝2OAsin 60°＝2.故｜z1－z2｜＝｜｜＝2.考点4【例】 （1）B （2）BD 解析：（1）∵x2＋x＋1＝0，∴由求根公式得x＝＝，即z＝，∴当z＝－＋i时，｜z｜＝＝1，当z＝－－i时，｜z｜＝＝1.综上，｜z｜＝1.（2）因为实系数一元二次方程x2＋px＋2＝0的两根为x1，x2，且x1＝1＋i，则x2＝1－i，故B正确；又x1＋x2＝1＋i＋1－i＝2＝－p，所以p＝－2，故A错误；由＝1＋i，所以x1·＝（1＋i）2＝2i≠－2i，故C错误；＝＝＝＝i，故D正确.故选B、D.训练2 B 设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得（＋kx0＋2）＋（2x0＋k）i＝0.由复数相等的条件得＋kx0＋2＝2x0＋k＝0，解得或1 / 1(共61张PPT)第5节 复数课标要求1. 通过方程的解，认识复数.2. 理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3. 掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.目录/CONTENTS夯实必备知识01研透核心考点02课时跟踪检测0301PART夯实必备知识知识梳理1. 复数的有关概念（1）复数的概念：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，a，b分别是它的 和 .当且仅当 时，a＋bi是实数；当 时，a＋bi为虚数；当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数；（2）复数相等：a＋bi＝c＋di （a，b，c，d∈R）；（3）共轭复数：a＋bi与c＋di共轭 （a，b，c，d∈R）；（4）复数的模：向量 的模叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模或绝对值，记作｜z｜或｜a＋bi｜，即｜z｜＝｜a＋bi｜＝ .实部 虚部 b＝0 b≠0 a＝c且b＝d a＝c，b＝－d 2. 复数的几何意义（1）复数z＝a＋bi 复平面内的点Z（a，b）；（2）复数z＝a＋bi 平面向量 .提醒：复数z＝a＋bi（a，b∈R）在复平面内对应点的坐标为（a，b），而不是（a，bi）.（1）复数的加、减、乘、除运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）.3. 复数的运算③乘法交换律：z1z2＝ ；④乘法结合律：（z1z2）z3＝ ；⑤乘法对加法的分配律：z1（z2＋z3）＝ .（2）复数的运算律（设z1，z2，z3∈C）：①加法交换律：z1＋z2＝ ；②加法结合律：（z1＋z2）＋z3＝ ；z2z1 z1（z2z3） z1z2＋z1z3 z2＋z1 z1＋（z2＋z3） （3）复数加、减法的几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝ ＋ ， ＝ － .＋ － 1. i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0（n∈N*）.2. z· ＝｜z｜2＝｜ ｜2，｜z1·z2｜＝｜z1｜·｜z2｜， ＝ ，｜zn｜＝｜z｜n.3. 实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）若存在虚根，则两根必为共轭复数.诊断自测1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）若a∈C，则a2≥0. （ × ）（2）已知z＝a＋bi（a，b∈R），当a＝0时，复数z为纯虚数.（ × ）（3）复数z＝a＋bi（a，b∈R）的虚部为bi. （ × ）（4）方程x2＋x＋1＝0没有解. （ × ）（5）复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模. （ √ ）××××√2. 若复数z＝（x2－1）＋（x－1）i为纯虚数，则实数x的值为（ ）A. －1 B. 0 C. 1 D. －1或1√解析： 因为z为纯虚数，所以 所以x＝－1.故选A.3. 已知复数z满足（2－i） ＝1－2i，其中i为虚数单位，则z在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限√解析： 由（2－i） ＝1－2i得， ＝ ＝ ＝ － i，故z＝ ＋ i，所以z在复平面内对应的点为 ，故z在复平面内对应的点在第一象限.故选A.4. 已知z＝－1－i，则｜z｜＝ .解析：由z＝－1－i，则｜z｜＝ ＝ .5. 已知i为虚数单位，则（ ）2 027＝ .解析： ＝i，又i2 027＝i4×506＋3，则原式＝－i. －i 02PART研透核心考点复数的概念（基础自学过关）1. （2025·全国Ⅰ卷1题）（1＋5i）i的虚部为（ ）A. －1 B. 0 C. 1 D. 6√解析： （1＋5i）i＝－5＋i，其虚部为1.故选C.2. 若复数（a2－5a＋6）＋（a2－3a）i＞0，则实数a＝（ ）A. 0 B. 2C. 3 D. 0或2或3√解析： 若复数能比较大小，则此复数必为实数，所以解得a＝0.故选A.3. 若纯虚数z满足（z＋m）i＝2－i（其中i为虚数单位，m为实数），则m＝（ ）A. －2 B. －1C. 1 D. 2√解析： 由题意可设z＝bi（b≠0），则（z＋m）i＝（bi＋m）i＝－b＋mi＝2－i，所以m＝－1.故选B.4. 〔一题多解〕设复数z＝－1－i（i是虚数单位），z的共轭复数为 ，则｜（1－z） ｜＝ .解析：法一 ＝－1＋i，｜（1－z） ｜＝｜（1＋1＋i）·（－1＋i）｜＝｜（2＋i）·（－1＋i）｜＝｜－3＋i｜＝ . 法二 ｜（1－z） ｜＝｜ －｜z｜2｜＝｜－1＋i－2｜＝｜－3＋i｜＝.解决复数概念问题的方法及注意事项（1）复数的分类及共轭复数，复数的模等概念问题都可以转化为复数的实部与虚部应满足的条件问题；（2）解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）的形式，以确定实部和虚部.复数的四则运算（基础自学过关）1. （2026·安徽江淮十校联考）已知复数z＝1－i（其中i为虚数单位），则＝（ ）A. ＋ i B. － ＋ iC. － － i D. － i√解析： 因为z＝1－i，所以 ＝ ＝ ＝ ＝ －i.故选D.2. 〔一题多解〕（2026·山东威海模拟）已知复数z＝1＋2i，则（z－ ）z＝（ ）A. 4＋8i B. 4－8iC. 4i－8 D. 4i＋8√解析： 法一 由z＝1＋2i可得 ＝1－2i，故（z－ ）z＝（1＋2i－1＋2i）（1＋2i）＝4i（1＋2i）＝－8＋4i.故选C.法二 （z－ ）z＝z2－ z＝z2－｜z｜2＝（1＋2i）2－｜1＋2i｜2＝－8＋4i.故选C.3. 若z＝ ，则z100＋z50＋1＝（ ）A. 1 B. i C. －1 D. －i√解析： 因为z＝ ，所以z2＝（ ）2＝ ＝i，所以z100＋z50＋1＝（z2）50＋（z2）25＋1＝i50＋i25＋1＝－1＋i＋1＝i.故选B.4. 〔一题多解〕设复数z满足 ＝－i，则｜z｜＝ .解析：因为 ＝－i，所以1＋z＝－i（1－z），z＝ .法一 所以｜z｜＝ ＝ ＝1.1 法二 因为z＝ ＝ ＝ ＝－i，所以｜z｜＝｜－i｜＝1.复数代数形式运算的策略复数的几何意义（师生共研过关）教材母题：〔人A必修二P81习题9题〕若z＝x＋yi（x，y∈R），则复平面内满足｜z－（2＋i）｜＝3的点Z的集合是什么图形？解：法一 由复数模的几何意义可知，复平面内满足｜z－（2＋i）｜＝3的点Z的集合是以（2，1）为圆心，以3为半径的圆.法二 ∵z＝x＋yi，∴｜z－（2＋i）｜＝｜x＋yi－2－i｜＝｜（x－2）＋（y－1）i｜＝3.∴ ＝3，即（x－2）2＋（y－1）2＝32，故复平面内满足｜z－（2＋i）｜＝3的点Z的集合是以（2，1）为圆心，以3为半径的圆.细研教材：设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）在复平面内对应的点分别是A（a，b），B（c，d），则（1）｜z1－z2｜＝｜AB｜＝ ，则｜z1－z2｜的几何意义是复平面内复数z1，z2对应的点A，B间的距离；（2）设复数z对应的点是Z，①若｜z－z1｜＝r，r＞0，则点Z的轨迹为圆；②若r1＜｜z－z1｜＜r2（0＜r1＜r2），则点Z的轨迹为圆环，但不包括边界；③若｜z－z1｜＝｜z－z2｜，则点Z的轨迹为线段AB的垂直平分线；④若｜z－z1｜＋｜z－z2｜＝常数，则当常数大于｜AB｜时，点Z的轨迹为椭圆；当常数等于｜AB｜时，点Z的轨迹为线段；当常数小于｜AB｜时，点Z的轨迹不存在；⑤若｜z－z1｜－｜z－z2｜＝常数，则当常数大于｜AB｜时，点Z的轨迹不存在；当常数等于｜AB｜时，点Z的轨迹为一条射线；当常数小于｜AB｜时，点Z的轨迹为双曲线的一支.变式1 已知｜z｜＝2，则｜z＋3－4i｜的最大值是 .解析：设z＝x＋yi，x，y∈R，则有 ＝2，即x2＋y2＝4，则复数z在复平面中的点P（x，y）在以（0，0）为圆心，2为半径的圆周上.z＋3－4i＝（x＋3）＋（y－4）i，｜z＋3－4i｜＝ ，表示点P（x，y）与点A（－3，4）的距离，如图所示，则｜AP｜max＝ ＋r＝5＋2＝7，即｜z＋3－4i｜的最大值为7.7 变式2 〔一题多解〕已知i是虚数单位，复数z＝a＋bi（a，b∈R），且｜z－i｜＝｜z＋2－i｜，则｜z－3＋ i｜的最小值为 .解析：法一 由｜z－i｜＝｜z＋2－i｜，得复数z在复平面内对应的点Z到点（0，1）与点（－2，1）的距离相等，则点Z在直线x＝－1上.｜z－3＋ i｜表示点Z与点（3，－ ）的距离，过点（3，－ ）作直线x＝－1的垂线，垂足为P（图略），当点Z与点P重合时，｜z－3＋ i｜取得最小值4.4 法二 因为z＝a＋bi（a，b∈R），则z－i＝a＋（b－1）i，z＋2－i＝（a＋2）＋（b－1）i，由｜z－i｜＝｜z＋2－i｜，可得＝ ，解得a＝－1，则z＝－1＋bi，所以z－3＋ i＝－4＋（b＋ ）i，因此｜z－3＋ i｜＝≥4，当且仅当b＝－ 时，等号成立，故｜z－3＋ i｜的最小值为4.对复数几何意义的再理解（1）复数z、复平面上的点Z及向量 相互联系，即z＝a＋bi（a，b∈R） Z（a，b） ；（2）由于｜z1－z2｜表示z1，z2在复平面内对应点Z1，Z2之间的距离，因此可由此判断复数对应点的轨迹问题，并结合平面解析几何知识解决最值问题.训练1 （1）若复数（2＋i）·（a－i）（i是虚数单位，a∈R）在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（ C ）A. （－ ，3） B. （ ，2）C. （－ ，2） D. （ ，3）解析： 复数（2＋i）（a－i）＝2a＋1＋（a－2）i，其对应点（2a＋1，a－2）在第四象限，则 解得－ ＜a＜2，所以实数a的取值范围是（－ ，2）.故选C.C√（2）〔多选〕（2026·陕西西安调研）已知z满足｜z＋i2－i3｜＝｜z｜，且z在复平面内对应的点为（x，y），则（ AC ）A. x－y－1＝0 B. x＋y＋1＝0C. ｜z｜的最小值为 D. ｜z｜的最小值为解析： 由题意z＝x＋yi（x，y∈R），由｜z＋i2－i3｜＝｜z｜，得｜x＋yi－1＋i｜＝｜x－1＋（y＋1）i｜＝｜x＋yi｜，即（x－1）2＋（y＋1）2＝x2＋y2，即x－y－1＝0.故A正确；｜z｜表示复数z在复平面内对应的点（x，y）到原点的距离，易知其最小值为原点到直线x－y－1＝0的距离，即 ，故C正确.AC（3）设复数z1，z2满足｜z1｜＝｜z2｜＝2，z1＋z2＝ ＋i，则｜z1－z2｜＝ .解析： 设复数z1，z2在复平面内分别对应向量 ， ，则z1＋z2对应向量 ＋ .由题知｜ ｜＝｜ ｜＝｜＋ ｜＝2，如图所示，以OA，OB为邻边作 OACB，则z1－z2对应向量 ，由OA＝AC＝OC＝2，可得BA＝2OA sin 60°＝2 .故｜z1－z2｜＝｜ ｜＝2 .2 复数集内一元二次方程的解（师生共研过关）（1）若复数z是x2＋x＋1＝0的根，则｜z｜＝（ B ）A. B. 1 C. 2 D. 3解析： ∵x2＋x＋1＝0，∴由求根公式得x＝ ＝ ，即z＝，∴当z＝－ ＋ i时，｜z｜＝ ＝1，当z＝－ － i时，｜z｜＝ ＝1.综上，｜z｜＝1.B（2）〔多选〕在复数范围内关于x的实系数一元二次方程x2＋px＋2＝0的两根为x1，x2，其中x1＝1＋i，则（ BD ）A. p＝2 B. x2＝1－iC. x1· ＝－2i D. ＝i解析： 因为实系数一元二次方程x2＋px＋2＝0的两根为x1，x2，且x1＝1＋i，则x2＝1－i，故B正确；又x1＋x2＝1＋i＋1－i＝2＝－p，所以p＝－2，故A错误；由 ＝1＋i，所以x1· ＝（1＋i）2＝2i≠－2i，故C错误；＝ ＝ ＝ ＝i，故D正确.故选B、D.BD1. 对实系数一元二次方程来说，求根公式、根与系数的关系、判别式的功能没有变化，仍然适用.2. 对复系数（至少有一个系数为虚数）方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.训练2 若关于x的方程x2＋（k＋2i）x＋2＋ki＝0有实根，则这个实根及相应的实数k的值分别为（ ）A. ，－2B. ，－2 或－ ，2C. ，－D. ，－ 或－ ，√解析： 设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得（ ＋kx0＋2）＋（2x0＋k）i＝0.由复数相等的条件得 ＋kx0＋2＝2x0＋k＝0，解得或03PART课时跟踪检测（时间：45分钟，满分：78分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]1. （2026·广东佛山模拟）复数（3＋4i）（3－4i）＝（ ）A. －25 B. 25C. －5 D. 5123456789101112131415√解析： （3＋4i）（3－4i）＝9＋16＝25.故选B.2. （2026·安徽皖南八校联考）已知复数z与 互为共轭复数，则复数z的虚部为（ ）A. －1 B. －iC. －2 D. －2i√解析： 因为 ＝ ＝2＋i，所以z＝2－i，虚部为－1.故选A.1234567891011121314153. （2025·北京高考2题）已知复数z满足i·z＋2＝2i，则｜z｜＝（ ）A. B. 2C. 4 D. 8√解析： 由i·z＋2＝2i可得，z＝ ＝2＋2i，所以｜z｜＝ ＝2 .故选B.1234567891011121314154. （2026·山东烟台模拟）已知复数z满足z（1＋i）＝2－3i，则z在复平面内所对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限√解析： 由z（1＋i）＝2－3i得z＝ ＝ ＝ ，则z在复平面内所对应的点为 ，位于第三象限.故选C.1234567891011121314155. 〔一题多解〕已知虚数z是关于x的方程x2－4x＋a＝0（a∈R）的一个根，且｜z｜＝ ，则a＝（ ）A. 1 B. 2C. 4 D. 5√123456789101112131415解析： 法一 设z＝m＋ni（m，n∈R且n≠0），代入原方程可得m2－n2－4m＋a＋（2mn－4n）i＝0，所以 得因为｜z｜＝ ＝ ，所以n2＝1，则a＝5.故选D.法二 因为实系数一元二次方程x2－4x＋a＝0的虚数根共轭成对出现，所以a＝z· ＝｜z｜2＝5.故选D.1234567891011121314156. 〔多选〕若复数z＝ ，则（ ）A. ＝4－iB. ｜ ｜＝C. z在复平面内对应的点位于第四象限D. 复数ω满足｜ω｜＝1，则｜ω－z｜的最大值为 ＋1√√√123456789101112131415解析： 复数z＝ ＝ ＝4－i， ＝4＋i，故A错误；＝4＋i，｜ ｜＝ ＝ ，故B正确；z＝4－i，则z在复平面内对应的点为（4，－1），位于第四象限，故C正确；因为复数ω满足｜ω｜＝1，所以ω在复平面内对应的点在单位圆上，则｜ω－z｜表示ω在复平面内对应的点和z在复平面内对应的点之间的距离，其最大值为z在复平面内对应的点到原点的距离加半径，最大值为 ＋1，故D正确.故选B、C、D.1234567891011121314157. 若复数6＋5i与－3＋4i分别对应向量 与 ，则向量 对应的复数为 .解析：因为复数6＋5i与－3＋4i分别表示向量 与 ，所以表示向量的复数为6＋5i－（－3＋4i）＝9＋i.9＋i 1234567891011121314158. 设m∈R，i为虚数单位.若集合A＝{1，2m＋（m－1）i}，B＝{－2i，1，2}，且A B，则m＝ .解析：集合A＝{1，2m＋（m－1）i}，B＝{－2i，1，2}，且A B，则有2m＋（m－1）i＝－2i或2m＋（m－1）i＝2，解得m＝1.1 1234567891011121314159. 已知复数z在复平面内对应的点在第二象限， 为z的共轭复数，且满足｜z＋ ｜＝｜z－ ｜＝｜z｜2，则复数z＝ .解析：由题意设z＝a＋bi（a，b∈R，a＜0，b＞0），则 ＝a－bi.因为｜z＋ ｜＝｜z－ ｜＝｜z｜2，则｜2a｜＝｜2bi｜＝a2＋b2，即｜a｜＝｜b｜＝ ， 解得｜a｜＝｜b｜＝1.因为a＜0，b＞0，所以a＝－1，b＝1，所以z＝－1＋i.－1＋i 12345678910111213141510. 使复数（ ＋i）n为纯虚数的最小自然数n是（ ）A. 1 B. 2C. 3 D. 4√解析： 因为（ ＋i）2＝2＋2 i，（ ＋i）3＝2（1＋ i）（＋i）＝8i，所以使得复数（ ＋i）n为纯虚数的最小自然数n是3.故选C.12345678910111213141511. 已知复数z满足1≤｜z－（1－i）｜≤2，则复数z在复平面内对应的点Z所在区域的面积为（ ）A. π B. 2πC. 3π D. 4π√解析： 令z＝a＋bi（a，b∈R），则1≤｜（a－1）＋（b＋1）i｜≤2，所以1≤（a－1）2＋（b＋1）2≤4，即对应的点Z所在区域的面积是圆心为（1，－1），半径分别为1，2的两个同心圆的面积差，所以所求区域的面积为4π－π＝3π.12345678910111213141512. 已知复数数列{an}满足a1＝2i，an＋1＝ian＋i＋1，n∈N*，i为虚数单位，则a10＝（ ）A. 2i B. －1＋iC. 1＋i D. －2i√解析： 因为a1＝2i，an＋1＝ian＋i＋1，所以a2＝2i·i＋i＋1＝－1＋i，a3＝（－1＋i）i＋i＋1＝0，a4＝0·i＋i＋1＝1＋i，a5＝（1＋i）i＋i＋1＝2i，…，所以复数数列{an}是以4为周期的周期数列，所以a10＝a4×2＋2＝a2＝－1＋i.故选B.12345678910111213141513. 〔多选〕设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是（ ）A. 若｜z2｜＝｜z3｜，则z2＝±z3B. 若z1z2＝z1z3，则z2＝z3C. 若 ＝z3，则｜z1z2｜＝｜z1z3｜D. 若z1z2＝｜z1｜2，则z1＝z2√√123456789101112131415解析： 由复数模的概念可知，由｜z2｜＝｜z3｜不一定能得到z2＝±z3，例如z2＝1＋i，z3＝1－i，A中命题错误；由z1z2＝z1z3可得z1（z2－z3）＝0，因为z1≠0，所以z2－z3＝0，即z2＝z3，B中命题正确；因为｜z1z2｜＝｜z1｜｜z2｜，｜z1z3｜＝｜z1｜｜z3｜， ＝z3，z1≠0，所以｜ ｜＝｜z2｜＝｜z3｜，所以｜z1z2｜＝｜z1z3｜，C中命题正确；取z1＝1＋i，z2＝1－i，显然满足z1z2＝｜z1｜2，但z1≠z2，D中命题错误.故选B、C.12345678910111213141514. 已知复数z1，z2和z满足｜z1｜＝｜z2｜＝1，若｜z1－z2｜＝｜z1－1｜＝｜z2－z｜，则｜z｜的最大值为 .解析：根据题意，得｜z｜＝｜（z2－z）－z2｜≤｜z2－z｜＋｜z2｜＝｜z1－1｜＋1≤｜z1｜＋1＋1＝3，当z1＝－1，z2＝1，z＝3时，｜z1－z2｜＝｜z1－1｜＝｜z2－z｜＝2，此时｜z｜＝3，所以｜z｜max＝3.3 12345678910111213141515. 〔创新定义〕〔多选〕一般地，对于复数z＝a＋bi（i为虚数单位，a，b∈R），在平面直角坐标系中设｜z｜＝｜ ｜＝r（r≥0），经过点Z的终边的对应角为θ，则根据三角函数的定义可知，a＝r cos θ，b＝r sin θ，因此z＝r（ cos θ＋i sin θ），我们称此种形式为复数的三角形式，r称为复数z的模，θ称为复数z的辐角.为使所研究的问题有唯一的结果，我们规定，适合0≤θ＜2π的辐角θ的值叫做辐角的主值.已知复数z满足｜z－1｜≤r，r∈（0，1），Re（z）为z的实部，θ为z的辐角的主值，则（ ）A. ｜z－2 i｜的最大值为r＋3 B. ｜z－2 i｜的最小值为3－rC. cos θ≤ D. Re（ ）≥ （1－r2）√√√123456789101112131415解析： ｜z－1｜≤r，r∈（0，1）的几何意义是点Z在以（1，0）为圆心、以r为半径的圆上或圆内，如图所示.对于A、B，｜z－2 i｜的几何意义是点Z与点（0，2 ）的距离，其最大值为r＋＝r＋3.同理可知｜z－2 i｜的最小值为3－r，所以A、B正确；对于C，因为图中辐角的余弦值不小于 ，所以C错误；对于D，设z＝x＋yi（x，y∈R），有Re（ ）＝ ＝ · cos 2θ（其中θ是z的辐角的主值），因为 cos θ≥ ，所以Re（ ）＝ cos 2θ≥ （1－r2）＝ （1－r2），D正确.123456789101112131415THANKS演示完毕 感谢观看 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第5节 复数.docx 第5节 复数.pptx 第5节 复数（练习，含解析）.docx
资源列表
