资源简介 微专题 平面向量与三角形的“四心” 在三角形中，重心、内心、垂心和外心简称“四心”，它们与向量知识的整合，既自然又表达形式多样，在高考试题中，总会出现一些与“四心”相关的既新颖又别致的试题，不仅考查了向量的表示与运算、性质等知识点，而且培养了考生“以向量为工具”的逻辑推理能力.平面向量与三角形的重心（1）已知点O为△ABC所在平面内一点，若动点P满足＝＋λ（＋）（λ≥0），则动点P的轨迹一定经过△ABC的（ ）A.外心 B.内心C.垂心 D.重心（2）在△ABC中，O为△ABC的重心，若＝λ＋μ，则λ－2μ＝ .听课记录 设O是△ABC的重心（三边中线的交点），P为平面内任意一点，则有以下结论：①＋＋＝0；②＝（＋＋）；③动点P满足＝λ或＝＋λ（＋），λ∈[0，＋∞），则动点P的轨迹经过三角形的重心.平面向量与三角形的垂心（1）P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的（ ）A.外心 B.内心C.重心 D.垂心（2）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，点P满足＝＋λ，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）A.重心 B.外心C.垂心 D.内心听课记录 设O是△ABC的垂心（三条高线的交点），P为平面内任意一点，则有以下结论：①·＝·＝·；②｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2；③动点P满足＝λ或＝＋λ，λ∈R，则动点P的轨迹经过三角形的垂心.平面向量与三角形的内心（1）在△ABC中，｜｜＝3，｜ ｜＝2，＝＋，则直线AD通过△ABC的（ ）A.重心 B.外心C.垂心 D.内心（2）（2026·陕西西安模拟）在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cos A＝，O是△ABC的内心，若＝x＋y，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（ ）A. B.C.4 D.6听课记录 设O是△ABC的内心（三条角平分线的交点），P为平面内任意一点，则有以下结论：①｜｜＋｜｜＋｜｜＝0（或a＋b＋c＝0，其中a，b，c分别是△ABC的三边BC，AC，AB的长）；②动点P满足＝λ＋或＝＋λ（ ＋），λ∈[0，＋∞），则动点P的轨迹经过三角形的内心.平面向量与三角形的外心（1）设P是△ABC所在平面内一点，若·＝2·且＝－2·，则点P是△ABC的（ ）A.外心 B.内心C.重心 D.垂心（2）在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6，△ABC外接圆圆心为O，则·＝ ，·＝ .听课记录 设O是△ABC的外心（三条边的垂直平分线的交点），P为平面内任意一点，则有以下结论：①｜｜＝｜｜＝｜｜ ＝＝；②（＋）·＝·＝·＝0；③动点P满足＝λ（ ＋），λ∈[0，＋∞），则动点P的轨迹经过三角形的外心.1.已知点O是边长为的等边△ABC的内心，则（＋）·（＋）＝（ ）A.－2 B.－1C.1 D.22.如图所示，在△ABC中，G为重心，PQ过点G，＝m，＝n，则＋＝（ ）A.1 B.2C.3 D.43.已知在△ABC中，H为△ABC的垂心，O是△ABC所在平面内一点，且＋＝，则以下结论正确的是（ ）A.点O为△ABC的内心B.点O为△ABC的外心C.∠ACB＝90°D.△ABC为等边三角形4.已知△ABC的垂心为点D，面积为15，且∠ABC＝45°，则·＝ ；若＝＋，则＝ .微专题 平面向量与三角形的“四心”【例1】 （1）D （2）－ 解析：（1）因为动点P满足＝＋λ（＋）（λ≥0），所以＝λ，取BC中点D（图略），则＝2λ，则动点P的轨迹一定经过△ABC的重心.故选D.（2）设AC的中点为D，因为O为△ABC的重心，所以＝＝（＋）＝－＋×＝－＋，所以λ＝－，μ＝，所以λ－2μ＝－.【例2】 （1）D （2）C 解析：（1）由·＝·，得·－·＝0，即·（－）＝0，即·＝0，则PB⊥CA，同理可证PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为△ABC的垂心，故选D.（2）－＝λ（ ＋），＝λ（ ＋），所以·＝λ（ ＋）＝λ＋＝λ（－｜｜＋｜｜）＝0，所以⊥，所以动点P在BC的高线上，动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心.故选C.【例3】 （1）D （2）B 解析：（1）由题知，｜｜＝｜｜＝.设＝，＝，则｜｜＝｜｜.因为＝＋＝＋，所以AD平分∠EAF，即AD平分∠BAC，所以直线AD通过△ABC的内心.故选D.（2）根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC面积的2倍.在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a＝7.设△ABC的内切圆的半径为r，则bcsin A＝（a＋b＋c）r，解得r＝，所以S△BOC＝×a×r＝×7×＝.故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC＝.【例4】 （1）A （2）8 10 解析：（1）由·＝2·，得·＝0，即·[（－）＋（－）]＝0，所以·＝0，（－）·（＋）＝0，｜｜＝｜｜.由＝－2·，得·＝－2·，即·（＋）＝2·，同理可得，｜｜＝｜｜.所以｜｜＝｜｜＝｜｜，所以点P是△ABC的外心.故选A.（2）由题意得O为△ABC的外心，故·＝＝8.如图，设BC的中点为D，连接OD，AD，则·＝（＋）·（－）＝（＋）·（－）＋·（－）＝（｜｜2－｜｜2）＝10.强化训练1.B 2.C 设＝a，＝b，根据题意，＝＝（ ＋）＝a＋b.因为＝m，＝n，P，G，Q三点共线，则存在λ，使得＝λ，即－＝λ（－），即nb－ma＝λ（ a＋b－ma）＝（ －mλ）a＋，所以整理得3mn＝m＋n，所以＋＝3.3.B 在△ABC中，由H为△ABC的垂心，得CH⊥AB，由＋＝，得（＋）·（－）＝·（－）＝·＝0，则＝，即｜｜＝｜｜，又＝＋＋＝＋＋（＋）＝＋，显然⊥，同理得｜｜＝｜｜，因此点O为△ABC的外心，B正确，无判断A、C、D成立的条件.故选B.4.30 5 解析：如图，AH是△ABC的边BC上的高，则·＝0.设＝λ，因为∠ABC＝45°，面积为15，所以sin 45°＝15，即＝30，·＝（＋）·＝（＋λ）·＝·＋λ·＝｜｜｜｜cos 45°＝30.所以·＝·＝·＋＝30，所以＝45，由｜｜｜｜＝30可得｜｜＝2，即＝40.因为＝＋，所以＝＋＋·＝10＋5＋10＝25，所以｜｜＝5.1 / 1(共25张PPT)微专题 平面向量与三角形的“四心” 在三角形中，重心、内心、垂心和外心简称“四心”，它们与向量知识的整合，既自然又表达形式多样，在高考试题中，总会出现一些与“四心”相关的既新颖又别致的试题，不仅考查了向量的表示与运算、性质等知识点，而且培养了考生“以向量为工具”的逻辑推理能力.平面向量与三角形的重心（1）已知点O为△ABC所在平面内一点，若动点P满足 ＝ ＋λ（ ＋ ）（λ≥0），则动点P的轨迹一定经过△ABC的（ D ）A. 外心 B. 内心C. 垂心 D. 重心解析： 因为动点P满足 ＝ ＋λ（ ＋ ）（λ≥0），所以＝λ ，取BC中点D（图略），则 ＝2λ ，则动点P的轨迹一定经过△ABC的重心.故选D.D（2）在△ABC中，O为△ABC的重心，若 ＝λ ＋μ ，则λ－2μ＝ .解析：设AC的中点为D，因为O为△ABC的重心，所以 ＝ ＝（ ＋ ）＝－ ＋ × ＝－ ＋ ，所以λ＝－ ，μ＝，所以λ－2μ＝－ .－ 设O是△ABC的重心（三边中线的交点），P为平面内任意一点，则有以下结论：① ＋ ＋ ＝0；② ＝ （ ＋ ＋ ）；③动点P满足 ＝λ 或 ＝ ＋λ（ ＋ ），λ∈[0，＋∞），则动点P的轨迹经过三角形的重心.平面向量与三角形的垂心（1）P是△ABC所在平面上一点，若 · ＝ · ＝ · ，则P是△ABC的（ D ）A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心解析： 由 · ＝ · ，得 · － · ＝0，即 ·（ －）＝0，即 · ＝0，则PB⊥CA，同理可证PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为△ABC的垂心，故选D.D（2）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，点P满足 ＝ ＋λ ，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ C ）A. 重心 B. 外心 C. 垂心 D. 内心C解析： － ＝λ ， ＝λ ＋，所以 · ＝λ ＋ ＝λ ＋ ＝λ（－｜ ｜＋｜ ｜）＝0，所以 ⊥ ，所以动点P在BC的高线上，动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心.故选C. 设O是△ABC的垂心（三条高线的交点），P为平面内任意一点，则有以下结论：① · ＝ · ＝ · ；②｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2；③动点P满足 ＝λ 或 ＝ ＋λ，λ∈R，则动点P的轨迹经过三角形的垂心.平面向量与三角形的内心（1）在△ABC中，｜ ｜＝3，｜ ｜＝2， ＝ ＋ ，则直线AD通过△ABC的（ D ）A. 重心 B. 外心C. 垂心 D. 内心解析： 由题知， ｜ ｜＝ ｜ ｜＝ .设 ＝ ， ＝ ，则｜ ｜＝｜ ｜.因为 ＝ ＋ ＝ ＋ ，所以AD平分∠EAF，即AD平分∠BAC，所以直线AD通过△ABC的内心.故选D.D（2）（2026·陕西西安模拟）在△ABC中，AB＝5，AC＝6， cos A＝ ，O是△ABC的内心，若 ＝x ＋y ，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（ B ）A. B.C. 4 D. 6B解析：根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC面积的2倍.在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a＝7.设△ABC的内切圆的半径为r，则 bc sin A＝ （a＋b＋c）r，解得r＝ ，所以S△BOC＝ ×a×r＝ ×7× ＝ .故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC＝ . 设O是△ABC的内心（三条角平分线的交点），P为平面内任意一点，则有以下结论：①｜ ｜· ＋｜ ｜ ＋｜ ｜ ＝0（或a ＋b ＋c ＝0，其中a，b，c分别是△ABC的三边BC，AC，AB的长）；②动点P满足 ＝λ ＋ 或 ＝ ＋λ（ ＋ ），λ∈[0，＋∞），则动点P的轨迹经过三角形的内心.平面向量与三角形的外心（1）设P是△ABC所在平面内一点，若 · ＝2 · 且＝ －2 · ，则点P是△ABC的（ A ）A. 外心 B. 内心C. 重心 D. 垂心A解析： 由 · ＝2 · ，得 · ＝0，即·[（ － ）＋（ － ）]＝0，所以 · ＝0，（－ ）·（ ＋ ）＝0，｜ ｜＝｜ ｜.由 ＝ －2 · ，得 · ＝－2 · ，即 ·（ ＋ ）＝2 · ，同理可得，｜ ｜＝｜ ｜.所以｜ ｜＝｜ ｜＝｜｜，所以点P是△ABC的外心.故选A.（2）在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6，△ABC外接圆圆心为O，则 · ＝ ， · ＝ .解析：由题意得O为△ABC的外心，故 · ＝ ＝8.如图，设BC的中点为D，连接OD，AD，则 · ＝（ ＋ ）·（ － ）＝ （ ＋ ）·（ －）＋ ·（ － ）＝ （｜ ｜2－｜ ｜2）＝10.8 10 设O是△ABC的外心（三条边的垂直平分线的交点），P为平面内任意一点，则有以下结论：①｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜ ＝ ＝；②（ ＋ ）· ＝ · ＝ · ＝0；③动点P满足 ＝λ（ ＋ ），λ∈[0，＋∞），则动点P的轨迹经过三角形的外心.1. 已知点O是边长为 的等边△ABC的内心，则（ ＋ ）·（ ＋）＝（ ）A. －2 B. －1√C. 1 D. 2解析： 设D为BC的中点，因为点O是边长为 的等边△ABC的内心，所以 ， ， 两两夹角为120°，且｜ ｜＝｜ ｜＝｜｜＝ ｜ ｜＝ × × ＝ .所以（ ＋ ）·（ ＋ ）＝ ＋ · ＋ · ＋ · ＝2－2× －2× －2× ＝－1.2. 如图所示，在△ABC中，G为重心，PQ过点G， ＝m ， ＝n ，则 ＋ ＝（ ）A. 1 B. 2C. 3 D. 4√解析： 设 ＝a， ＝b，根据题意， ＝ ＝ （ ＋）＝ a＋ b.因为 ＝m ， ＝n ，P，G，Q三点共线，则存在λ，使得 ＝λ ，即 － ＝λ（ － ），即nb－ma＝λ（ a＋ b－ma）＝（ －mλ）a＋ ，所以 整理得3mn＝m＋n，所以 ＋ ＝3.3. 已知在△ABC中，H为△ABC的垂心，O是△ABC所在平面内一点，且＋ ＝ ，则以下结论正确的是（ ）A. 点O为△ABC的内心B. 点O为△ABC的外心C. ∠ACB＝90°D. △ABC为等边三角形√解析： 在△ABC中，由H为△ABC的垂心，得CH⊥AB，由 ＋＝ ，得（ ＋ ）·（ － ）＝ ·（ － ）＝ · ＝0，则 ＝ ，即｜ ｜＝｜ ｜，又 ＝ ＋ ＋ ＝＋ ＋（ ＋ ）＝ ＋ ，显然 ⊥ ，同理得｜ ｜＝｜｜，因此点O为△ABC的外心，B正确，无判断A、C、D成立的条件.故选B.4. 已知△ABC的垂心为点D，面积为15，且∠ABC＝45°，则 ·＝ ；若 ＝ ＋ ，则 ＝ .解析：如图，AH是△ABC的边BC上的高，则 · ＝0.设 ＝λ ，因为∠ABC＝45°，面积为15，所以 sin 45°＝15，即 ＝30 ， · ＝（ ＋ ）· ＝（ ＋λ ）· ＝ · ＋λ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos 45°＝30.所以30 5 · ＝ · ＝ · ＋ ＝30，所以 ＝45，由｜ ｜｜ ｜＝30 可得｜ ｜＝2 ，即 ＝40.因为 ＝ ＋，所以 ＝ ＋ ＋ · ＝10＋5＋10＝25，所以｜｜＝5.THANKS演示完毕 感谢观看 展开更多...... 收起↑ 资源列表 微专题 平面向量与三角形的“四心”.docx 微专题 平面向量与三角形的“四心”.pptx
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