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第1节　数列的概念与表示
（时间：60分钟，满分：105分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.若数列的前4项分别是，－，，－，则此数列的一个通项公式为（　　）
A. B.
C. D.
2.（2025·湖北武汉四调）已知数列{an}的通项公式为an＝2n－11，Sn为其前n项和，则Sn的最小值为（　　）
A.－9 B.－7
C.－3 D.－19
3.（2026·福建部分优质高中联考）在数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝，则a2 026＝（　　）
A.3 B.－2
C.－ D.
4.已知Sn是数列{an}的前n项和，则“an＞0”是“{Sn}是递增数列”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.（2026·山东青岛模拟）在数列{an}中，a1＝，前n项和Sn＝n（2n－1）an，则数列{an}的通项公式为（　　）
A.an＝ B.an＝
C.an＝2－ D.an＝2－
6.〔多选〕已知数列{an}的通项公式为an＝（n＋2）·（ ）n，则下列说法正确的是（　　）
A.a1是数列{an}的最小项
B.a4是数列{an}的最大项
C.a5是数列{an}的最大项
D.当n≥5时，数列{an}是递减数列
7.（2026·浙江温州适应考）已知数列{an}满足an＝若a4∈[2，3]，则a1的取值范围为　　　　.
8.已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝2nanan＋1，则an＝　　　　.
9.（13分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝1－Sn.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn＝n2＋λan，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围.
10.已知数列{an}，若an＋1＝an＋（n∈N*），则称数列{an}为“凸数列”.已知数列{bn}为“凸数列”，且b1＝1，b2＝－2，则{bn}的前2 027项的和为（　　）
A.0 B.1
C.－1 D.－3
11.（2025·浙江宁波二模）已知数列{an}满足an＝λn2－n，对任意n∈{1，2，3}都有an＞an＋1，且对任意n∈{n｜n≥7，n∈N}都有an＜an＋1，则实数λ的取值范围是（　　）
A.［，］ B.（ ，）
C.（ ，） D.（ ，］
12.〔多选〕（2026·河北石家庄模拟）已知数列{an}的通项公式为an＝（n∈N*），前n项和为Sn，则下列说法正确的是（　　）
A.数列{an}有最小项，且有最大项
B.使an∈Z的项共有5项
C.满足anan＋1an＋2≤0的n的值共有5个
D.使Sn取得最小值的n为4
13.（2026·浙江杭州模拟）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子排列的形状对数进行分类.如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1＝1，第2个五角形数记作a2＝5，第3个五角形数记作a3＝12，第4个五角形数记作a4＝22，…，若按此规律继续下去，则a5＝　　　　，若an＝145，则n＝　　　　.
14.（15分）已知数列{an}的前n项之积为bn，且＋＋…＋＝（n∈N*）.
（1）求数列{}和{an}的通项公式；
（2）求f（n）＝bn＋bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n－1＋b2n的最大值.
15.（15分）〔多思少算〕已知数列{an}满足a1＝a，an＋1＝1＋.我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a＝1时，得到无穷数列：1，2，，，…；当a＝－时，得到有穷数列：－，－1，0.
（1）求当a为何值时a4＝0；
（2）若＜an＜2（n≥4），求a的取值范围.
第1节　数列的概念与表示
1.A　2.D　3.B　4.A　
5.A　∵Sn＝n（2n－1）an，∴当n≥2时，Sn－1＝（n－1）（2n－3）an－1，两式相减可得an＝n（2n－1）an－（n－1）（2n－3）an－1，∴（2n＋1）an＝（2n－3）an－1，∴＝，因此an＝a1××××…×＝×××…××＝，当n＝1时，也满足上式，∴an＝，n∈N*.
6.BCD　7.[1，3]　
8.　解析：若an＋1＝0，则an－an＋1＝0，即an＝an＋1＝0，这与a1＝1矛盾，所以an＋1≠0，由an－an＋1＝2nanan＋1，两边同时除以anan＋1，得－＝2n，则－＝2n－1，－＝2n－2，…，－＝22，－＝2，以上各式相加可得－＝2＋22＋23＋…＋2n－1＝＝2n－2（n≥2），所以an＝（n≥2），又a1＝1符合该式，所以an＝.
9.解：（1）因为数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝1－Sn， ①
所以an－1＝1－Sn－1（n≥2）， ②
①－②并整理，得an＝an－1（n≥2），
又由a1＝1－S1，得a1＝，
所以数列{an}是首项为，公比为的等比数列，所以an＝.
（2）由（1）知bn＝n2＋，
所以bn－bn－1＝n2＋－（n－1）2－＝2n－1－，n≥2，
因为数列{bn}为递增数列，
所以2n－1－＞0，即λ＜（2n－1）·2n，
易知函数f（n）＝（2n－1）2n为增函数，
故λ＜（2×2－1）×22＝12，
故λ的取值范围为（－∞，12）.
10.D　∵bn＋2＝bn＋1－bn，b1＝1，b2＝－2，∴b3＝b2－b1＝－2－1＝－3，b4＝b3－b2＝－3－（－2）＝－1，b5＝b4－b3＝－1－（－3）＝2，b6＝b5－b4＝2－（－1）＝3，b7＝b6－b5＝3－2＝1，b8＝b7－b6＝1－3＝－2，∴{bn}是周期为6的周期数列，且S6＝1－2－3－1＋2＋3＝0.∴S2 027＝S337×6＋5＝－3.
11.C　因为对任意n∈{1，2，3}都有an＞an＋1，所以数列{an}的前4项是递减数列.因为对任意n∈{n｜n≥7，n∈N}都有an＜an＋1，所以数列{an}从第7项起是递增数列.所以解得＜λ＜，所以实数λ的取值范围是（ ，）.故选C.
12.ABD　因为an＝（n∈N*），所以an＋1－an＝－＝，令an＋1－an＞0，即（2n－7）（2n－9）＜0，解得＜n＜，又n∈N*，所以当n＝4时an＋1－an＞0，则当1≤n≤3或n≥5时an＋1－an＜0，令an＝＞0，解得n＞，所以a1＝－＞a2＝－＞a3＝－3＞a4＝－9，a5＞a6＞a7＞…＞0，所以数列{an}有最小项a4＝－9，且有最大项a5＝9，故A正确；由an∈Z，则∈Z，又n∈N*，所以n＝3或n＝4或n＝5或n＝6或n＝9，所以使an∈Z的项共有5项，故B正确；要使anan＋1an＋2≤0，又an≠0，所以an，an＋1，an＋2中有1个负数或3个负数，所以n＝1或n＝2或n＝4，故满足anan＋1an＋2≤0的n的值共有3个，故C错误；因为n≤4时an＜0，n≥5时an＞0，所以当n为4时Sn取得最小值，故D正确.故选A、B、D.
13.35　10　解析：由题意知，第1个五角形数记作a1＝1＝3×1－2，第2个五角形数记作a2＝5＝a1＋3×2－2，第3个五角形数记作a3＝12＝a2＋3×3－2，第4个五角形数记作a4＝22＝a3＋3×4－2，第5个五角形数记作a5＝a4＋3×5－2＝35，…，第n个五角形数记作an＝an－1＋3×n－2，即an－an－1＝3n－2，则an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝1＋3（2＋3＋…＋n）－2（n－1）＝1＋3×－2（n－1）＝，由an＝145，即＝145，解得n＝10.
14.解：（1）因为＋＋…＋＝， ①
所以＋＋…＋＝（n≥2）， ②
由①②可得＝n（n≥2），又＝1也满足上式，所以＝n（n∈N*）， ③
所以＝n－1（n≥2）， ④
由③④可得＝（n≥2），
即＝（n≥2），所以an－1＝（n≥2），所以an＝.
（2）由（1）可知an＝，
则bn＝a1a2…an＝··…·＝，
所以f（n）＝bn＋bn＋1＋…＋b2n＝＋＋…＋，
所以f（n＋1）＝＋＋…＋，
所以f（n＋1）－f（n）＝＋－＝－＜0，
所以f（n＋1）＜f（n），即f（n）单调递减，
所以f（n）的最大值为f（1）＝b1＋b2＝＋＝.
15.解：（1）a1＝a，an＋1＝1＋，a2＝，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝，
故当a＝－时，a4＝0.
（2）要使＜an＜2（n≥4），即＜1＋＜2，所以1＜an－1＜2.
因为（ ，2） （1，2），所以只要a4∈（ ，2），则有an∈（ ，2）（n≥5）.
由a4＝，得＜＜2，解不等式组得
故a的取值范围为（0，＋∞）.
1 / 1第1节　数列的概念与表示
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）. 2.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数.
知识梳理
1.数列的概念
概念 含义
数列 按照　　　　　　排列的一列数
数列的项 数列中的　　　　　
数列的通项 数列{an}的第n项an
通项公式 数列{an}的第n项an与　　　　之间的关系式
前n项和 数列{an}中，Sn＝　　　　　
提醒：数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.
2.数列的分类及性质
3.数列的表示方法
列表法 列出表格表示n与an的对应关系
图象法 把点　　　　画在平面直角坐标系中
公 式 法 通项公式 把数列的通项用　　　　表示
递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式
4.数列与函数的关系
数列{an}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是　　　　，对应的函数值是　　　　　　　　，记为an＝f（n）.
1.在数列{an}（n≥2）中，若an最大，则若an最小，则 2.若an＋k＝an（k为非零常数），则数列{an}为周期数列，k为数列{an}的一个周期. 3.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）数列1，2，3与3，2，1是两个不同的数列.（　　）
（2）若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点.（　　）
（3）任何一个数列都有唯一的通项公式.（　　）
（4）如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.（　　）
2.已知数列－1，，－，2，－，…，则该数列的第100项为（　　）
A.10　　B.－10　　C.－11　　D.
3.在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋（n≥2），则a5＝（　　）
A. B.
C. D.
4.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则其通项公式an＝（　　）
A.n B.n＋1
C.2n D.2（n＋1）
5.（2026·山东日照月考）已知数列{an}满足an＝3n＋kn，若{an}为递增数列，则实数k的取值范围为　　　　.
由数列的前几项归纳通项公式
（师生共研过关）
如图，在n×n的单位正方形网格中，阴影相连的正方形个数依次为1，5，9，13，则下一阴影相连的正方形个数为　　　　，这个数列的一个通项公式an＝　　　　.
听课记录
　　由数列的前几项归纳通项公式应注意的4个特征 （1）分式中分子、分母的特征； （2）相邻项的变化特征； （3）拆项后的特征：把数列的项拆分成变化的部分和不变的部分； （4）各项的符号特征.
训练1 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：
（1）－1，7，－13，19，…；
（2）－，，－，，…；
（3），，，，，…；
（4）9，99，999，9 999，….
由an与Sn的关系求通项公式
（师生共研过关）
（1）（2026·福建漳州模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn＝an＋1，则＝（　　）
A.－ B.－
C. D.
（2）已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝　　　　.
听课记录
Sn与an关系问题的求解思路 　　根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化. （1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解； （2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解.
训练2 （1）设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3n＋3，则an＝　　　　；
（2）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝　　　　.
由数列的递推关系求通项公式
（师生共研过关）
（1）若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2n，则数列{an}的通项公式为an＝　　　　；
（2）已知数列{an}满足a1＝1，（2n－1）an＋1＝（2n＋1）an，则{an}的通项公式为an＝　　　　 .
听课记录
1.形如an＋1－an＝f（n）的数列，利用累加法，即利用公式an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1（n≥2），即可求数列{an}的通项公式. 2.形如＝f（n）的数列，利用累乘法，即利用an＝a1···…·（n≥2），即可求数列{an}的通项公式.
训练3 （1）已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1－an＝－，则a40＝（　　）
A. B.
C. D.
（2）已知数列{an}中，a1＝1，nan＋1＝2（a1＋a2＋…＋an）（n∈N*），则数列{an}的通项公式为　　　　.
数列的函数特征
（定向精析突破）
考向1　数列的周期性
（2026·湖北孝感模拟）在数列{an}中，a1＝－2，anan＋1＝an－1，则数列{an}的前2 026项的积为（　　）
A.－1 B.2
C.－3 D.4
听课记录
解决数列周期性问题的方法 　　根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或者前n项的和.
考向2　数列的单调性
（2026·安徽阜阳模拟）已知数列{an}满足an＝2n2＋λn（λ∈R），则“{an}为递增数列”是“λ≥0”的（　　）
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
听课记录
解决数列单调性问题的方法 （1）作差比较法：根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列； （2）作商比较法：根据（an＞0或an＜0）与1的大小关系进行判断； （3）函数法：结合相应的函数图象直观判断.
考向3　数列的最值
〔一题多解〕已知数列{bn}满足bn＝，则当n＝　　　时，bn的最大值为　　　　.
听课记录
求数列的最大项或最小项的方法 （1）函数法：利用函数的单调性求最值； （2）利用（n≥2）确定最大项，利用（n≥2）确定最小项.
训练4 （1）（2026·辽宁名校联盟联考）已知数列{an}满足anan＋4＝－，a4＝，则a200＝（　　）
A. B.－ C.0 D.－
（2）已知数列{an}满足a1＝28，＝2，则的最小值为（　　）
A. B.4－1
C. D.
（3）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝λn2＋2n＋1（λ∈R），若{an}是递增数列，则λ的取值范围为（　　）
A.（0，＋∞） B.（ ，＋∞）
C.（1，＋∞） D.（ －，＋∞）
第1节　数列的概念与表示
【夯实必备知识】
知识梳理
1.确定的顺序　每一个数　序号n　a1＋a2＋…＋an　
2.有限　无限　＞　＜　＝　
3.（n，an）　公式　
4.序号n　数列的第n项an
诊断自测
1.（1）√　（2）√　（3）×　（4）√
2.A　3.D　4.C　5.（－6，＋∞）　
【研透核心考点】
考点1
【例1】　17　4n－3　解析：由阴影相连的正方形个数依次为1，5，9，13可以看出，从第2项起每一项比它的前一项多4，故下一阴影相连的正方形个数为13＋4＝17，且a2＝5＝a1＋4，a3＝9＝a1＋2×4，a4＝13＝a1＋3×4，a5＝17＝a1＋4×4，根据上述规律an＝a1＋（n－1）×4＝1＋（n－1）×4＝4n－3.所以通项公式an＝4n－3.
训练1　解：（1）偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式（－1）n；观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝（－1）n（6n－5）.
（2）这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，故数列的一个通项公式为an＝（－1）n·.
（3）这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，即分母的每一项都是两个相邻奇数的乘积，故数列的一个通项公式为an＝.
（4）这个数列的前4项可以写成10－1，100－1，1 000－1，10 000－1，故数列的一个通项公式为an＝10n－1.
考点2
【例2】　（1）A　（2）
解析：（1）因为3Sn＝an＋1，则3Sn＋1＝an＋1＋1，两式相减可得：3an＋1＝an＋1－an，即2an＋1＝－an，令n＝7，可得2a8＝－a7，且an≠0，所以＝－.
（2）当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2；∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n　①，故a1＋2a2＋3a3＋…＋（n－1）an－1＝2n－1（n≥2）　②，由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1（n≥2），∴an＝（n≥2）.显然当n＝1时不满足上式.∴an＝
训练2　（1）　（2）－　
解析：（1）由题意，2Sn＝3n＋3　①，当n＝1时，a1＝S1＝3，当n≥2时，2Sn－1＝3n－1＋3　②，①－②得2an＝2Sn－2Sn－1＝（3n＋3）－（3n－1＋3）＝2×3n－1，因此an＝3n－1（n≥2），当n＝1时不满足上式，所以an＝
（2）因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，所以由两式联立得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.因为Sn≠0，所以－＝1，即－＝－1.又＝－1，所以数列{}是首项为－1，公差为－1的等差数列.所以＝－1＋（n－1）×（－1）＝－n，所以Sn＝－.
考点3
【例3】　（1）2n－1　（2）2n－1　解析：（1）由an＋1＝an＋2n，得an＋1－an＝2n，所以当n≥2时，an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1，而a1＝1满足上式，所以an＝2n－1.
（2）由（2n－1）an＋1＝（2n＋1）an及a1＝1，得an≠0，所以＝，当n≥2时，有an＝××…××××a1＝××…××××1＝2n－1.当n＝1时，a1＝1＝2×1－1，符合上式，所以an＝2n－1.
训练3　（1）B　（2）an＝n　解析：（1）因为在数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝－，得an≠0，所以＝，即－＝（ －），则＝＋（ －）＋（ －）＋…＋（ －）＝1＋［（ －）＋（ －）＋…＋（ －）］＝，所以a40＝，故选B.
（2）∵nan＋1＝2（a1＋a2＋…＋an）　①，∴当n≥2时，（n－1）an＝2（a1＋a2＋…＋an－1）　②，①－②得nan＋1－（n－1）an＝2an，即nan＋1＝（n＋1）an，∴＝，∴an＝a1··…·＝1××…×＝n，当n＝1时，a1＝1符合上式，∴an＝n.
考点4
【例4】　B　因为anan＋1＝an－1，an≠0，所以an＋1＝1－，又a1＝－2，则a2＝，a3＝，a4＝－2，所以数列{an}的周期为3，且a1a2a3＝－1，设数列{an}的前n项积为Tn，则T2 026＝a1a2a3…a2 026＝（－1）675×（－2）＝2.
【例5】　C　由{an}为递增数列得，an＋1－an＝[2（n＋1）2＋λ（n＋1）]－（2n2＋λn）＝λ＋4n＋2＞0，n∈N*，则λ＞－（4n＋2）对于n∈N*恒成立，得λ＞－6，可知λ≥0 λ＞－6，反之不成立.
【例6】　4　　解析：法一 ∵bn－bn－1＝－＝，∴当n≤4时，bn＞bn－1，{bn}是递增数列，当n≥5时，bn＜bn－1，{bn}是递减数列，故当n＝4时，（bn）max＝b4＝.
法二 令即
解得≤n≤，又n∈N*，故n＝4，故当n＝4时，（bn）max＝b4＝.
训练4　（1）B　（2）C　（3）B　
解析：（1）由anan＋4＝－，得an≠0且an＋4an＋8＝－，所以an＋8an＋4＝anan＋4，故an＋8＝an，所以{an}是以8为周期的周期数列，又a4＝，a4a8＝－，所以a8＝－，所以a200＝a25×8＝a8＝－.故选B.
（2）由an＋1－an＝2n，可得an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝28＋2＋4＋…＋2（n－1）＝n2－n＋28，∴＝n＋－1，设f（x）＝x＋，可知f（x）在（0，2]上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，又n∈N*，且＝＜＝，故选C.
（3）∵数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝λn2＋2n＋1（λ∈R），∴a1＝λ＋3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝λn2＋2n＋1－[λ（n－1）2＋2（n－1）＋1]＝2λn－λ＋2，∴a2＝3λ＋2.显然，从第二项开始，{an}是以2λ为公差的等差数列.又{an}是递增数列，∴2λ＞0，且a2－a1＝2λ－1＞0，得λ＞，故选B.
1 / 1(共73张PPT)
第1节　数列的概念与表示
课标要求
1. 了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.
2. 了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 数列的概念
概念 含义
数列 按照 排列的一列数
数列的项 数列中的
数列的通项 数列{an}的第n项an
通项公式 数列{an}的第n项an与 之间的关系式
前n项和 数列{an}中，Sn＝
确定的顺序　
每一个数　
序号n　
a1＋a2＋…＋an　
提醒：数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位
置序号.
2. 数列的分类及性质
3. 数列的表示方法
列表法 列出表格表示n与an的对应关系
图象法 把点 画在平面直角坐标系中
公式 法 通项公式 把数列的通项用 表示
递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用
一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递
推公式
（n，an）　
公式　
4. 数列与函数的关系
数列{an}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R
的函数，其自变量是 ，对应的函数值是 ，
记为an＝f（n）.
序号n　
数列的第n项an　
1. 在数列{an}（n≥2）中，若an最大，则 若an最小，则
3. 若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝
2. 若an＋k＝an（k为非零常数），则数列{an}为周期数列，k为数列{an}
的一个周期.
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）数列1，2，3与3，2，1是两个不同的数列. （　√　）
（2）若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点. （　√　）
（3）任何一个数列都有唯一的通项公式. （　×　）
（4）如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－
Sn. （　√　）
√
√
×
√
2. 已知数列－1， ，－ ，2，－ ，…，则该数列的第100项为
（　　）
A. 10 B. －10
C. －11 D.
√
解析： 　由题意知，该数列的通项公式为an＝（－1）n· ，∴a100＝
（－1）100× ＝10，故选A.
3. 在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋ （n≥2），则a5＝（　　）
A. B. C. D.
√
解析： 　a2＝1＋ ＝2，a3＝1＋ ＝ ，a4＝1＋ ＝
3，a5＝1＋ ＝ .
4. 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则其通项公式an＝（　　）
A. n B. n＋1
C. 2n D. 2（n＋1）
√
解析： 　∵a1＝S1＝1＋1＝2，an＝Sn－Sn－1＝（n2＋n）－[（n－1）2
＋（n－1）]＝2n（n≥2），当n＝1时，2n＝2＝a1，∴an＝2n.
5. （2026·山东日照月考）已知数列{an}满足an＝3n＋kn，若{an}为递增
数列，则实数k的取值范围为 .
解析：要使{an}为递增数列，则an＋1－an＝3n＋1＋kn＋k－3n－kn＝
2×3n＋k＞0恒成立，故k＞－2×3n，又n＝1时，－2×3n取得最大值，
最大值为－6，故k＞－6.
（－6，＋∞）　
02
PART
研透核心考点
由数列的前几项归纳通项公式（师生共研过关）
如图，在n×n的单位正方形网格中，阴影相连的正方形个数依次为
1，5，9，13，则下一阴影相连的正方形个数为 ，这个数列的一个
通项公式an＝ .
17　
4n－3　
解析：由阴影相连的正方形个数依次为1，5，9，13可以看出，从第2项起
每一项比它的前一项多4，故下一阴影相连的正方形个数为13＋4＝17，且
a2＝5＝a1＋4，a3＝9＝a1＋2×4，a4＝13＝a1＋3×4，a5＝17＝a1＋
4×4，根据上述规律an＝a1＋（n－1）×4＝1＋（n－1）×4＝4n－3.所
以通项公式an＝4n－3.
由数列的前几项归纳通项公式应注意的4个特征
（1）分式中分子、分母的特征；
（2）相邻项的变化特征；
（3）拆项后的特征：把数列的项拆分成变化的部分和不变的部分；
（4）各项的符号特征.
训练1 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：
（1）－1，7，－13，19，…；
解：偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式（－1）n；观察各
项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个
通项公式为an＝（－1）n（6n－5）.
（2）－ ， ，－ ， ，…；
解：这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数，且奇
数项为负，偶数项为正，故数列的一个通项公式为an＝（－1）
n· .
（3） ， ， ， ， ，…；
解：这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，
3×5，5×7，7×9，9×11，…，即分母的每一项都是两个相邻奇数的乘
积，故数列的一个通项公式为an＝ .
（4）9，99，999，9 999，….
解：这个数列的前4项可以写成10－1，100－1，1 000－1，10 000－1，故
数列的一个通项公式为an＝10n－1.
由an与Sn的关系求通项公式（师生共研过关）
（1）（2026·福建漳州模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn＝
an＋1，则 ＝（　A　）
A. － B. －
A
解析： 因为3Sn＝an＋1，则3Sn＋1＝an＋1＋1，两式相减可得：3an＋1＝an
＋1－an，即2an＋1＝－an，令n＝7，可得2a8＝－a7，且an≠0，所以 ＝
－ .
C. D.
（2）已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an
＝ .
解析： 当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2；∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan
＝2n　①，故a1＋2a2＋3a3＋…＋（n－1）an－1＝2n－1（n≥2）　②，由
①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1（n≥2），∴an＝ （n≥2）.显然当n
＝1时不满足上式.∴an＝
　
Sn与an关系问题的求解思路
　　根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化.
（1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求
解；
（2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解.
训练2 （1）设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3n＋3，则an
＝ ；
解析： 由题意，2Sn＝3n＋3　①，当n＝1时，a1＝S1＝3，当n≥2时，
2Sn－1＝3n－1＋3　②，①－②得2an＝2Sn－2Sn－1＝（3n＋3）－（3n－1＋
3）＝2×3n－1，因此an＝3n－1（n≥2），当n＝1时不满足上式，所以an
＝
　
（2）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn
＝ .
解析：因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，所以由两式联立得Sn＋1－Sn
＝SnSn＋1.因为Sn≠0，所以 － ＝1，即 － ＝－1.又 ＝－1，
所以数列{ }是首项为－1，公差为－1的等差数列.所以 ＝－1＋（n－
1）×（－1）＝－n，所以Sn＝－ .
－ 　
由数列的递推关系求通项公式（师生共研过关）
（1）若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2n，则数列{an}的通项公式
为an＝ ；
解析： 由an＋1＝an＋2n，得an＋1－an＝2n，所以当n≥2时，an＝（an－
an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1
＝ ＝2n－1，而a1＝1满足上式，所以an＝2n－1.
2n－1　
（2）已知数列{an}满足a1＝1，（2n－1）an＋1＝（2n＋1）an，则{an}
的通项公式为an＝ .
解析： 由（2n－1）an＋1＝（2n＋1）an及a1＝1，得an≠0，所以 ＝
，当n≥2时，有an＝ × ×…× × × ×a1＝
× ×…× × × ×1＝2n－1.当n＝1时，a1＝1＝2×1－1，符合上
式，所以an＝2n－1.
2n－1　
1. 形如an＋1－an＝f（n）的数列，利用累加法，即利用公式an＝（an－
an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1（n≥2），即可求数列
{an}的通项公式.
2. 形如 ＝f（n）的数列，利用累乘法，即利用an＝a1· · ·…·
（n≥2），即可求数列{an}的通项公式.
训练3 （1）已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1－an＝－ ，则a40＝
（　B　）
A. B.
C. D.
B
解析： 因为在数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝－ ，得an≠0，所
以 ＝ ，即 － ＝ （ － ），则 ＝ ＋（
－ ）＋（ － ）＋…＋（ － ）＝1＋ ［（ － ）＋（ － ）
＋…＋（ － ）］＝ ，所以a40＝ ，故选B.
（2）已知数列{an}中，a1＝1，nan＋1＝2（a1＋a2＋…＋an）
（n∈N*），则数列{an}的通项公式为 .
解析：∵nan＋1＝2（a1＋a2＋…＋an）　①，∴当n≥2时，（n－1）an
＝2（a1＋a2＋…＋an－1）　②，①－②得nan＋1－（n－1）an＝2an，即
nan＋1＝（n＋1）an，∴ ＝ ，∴an＝a1· ·…· ＝1×
×…× ＝n，当n＝1时，a1＝1符合上式，∴an＝n.
an＝n　
数列的函数特征（定向精析突破）
考向1　数列的周期性
（2026·湖北孝感模拟）在数列{an}中，a1＝－2，anan＋1＝an－1，则
数列{an}的前2 026项的积为（　　）
A. －1 B. 2
C. －3 D. 4
√
解析： 　因为anan＋1＝an－1，an≠0，所以an＋1＝1－ ，又a1＝－2，
则a2＝ ，a3＝ ，a4＝－2，所以数列{an}的周期为3，且a1a2a3＝－1，
设数列{an}的前n项积为Tn，则T2 026＝a1a2a3…a2 026＝（－1）675×（－
2）＝2.
解决数列周期性问题的方法
　　根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，
进而求出有关项的值或者前n项的和.
考向2　数列的单调性
（2026·安徽阜阳模拟）已知数列{an}满足an＝2n2＋λn（λ∈R），
则“{an}为递增数列”是“λ≥0”的（　　）
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
√
解析： 　由{an}为递增数列得，an＋1－an＝[2（n＋1）2＋λ（n＋1）]
－（2n2＋λn）＝λ＋4n＋2＞0，n∈N*，则λ＞－（4n＋2）对于
n∈N*恒成立，得λ＞－6，可知λ≥0 λ＞－6，反之不成立.
解决数列单调性问题的方法
（1）作差比较法：根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减
数列还是常数列；
（2）作商比较法：根据 （an＞0或an＜0）与1的大小关系进行判断；
（3）函数法：结合相应的函数图象直观判断.
考向3　数列的最值
〔一题多解〕已知数列{bn}满足bn＝ ，则当n＝ 时，bn的
最大值为 .
4　
　
解析：法一 ∵bn－bn－1＝ － ＝ ，∴当n≤4时，bn＞bn－
1，{bn}是递增数列，当n≥5时，bn＜bn－1，{bn}是递减数列，故当n＝4
时，（bn）max＝b4＝ .
法二 令 即 解得 ≤n≤ ，又n∈N*，故
n＝4，故当n＝4时，（bn）max＝b4＝ .
求数列的最大项或最小项的方法
（1）函数法：利用函数的单调性求最值；
（2）利用 （n≥2）确定最大项，利用
（n≥2）确定最小项.
训练4 （1）（2026·辽宁名校联盟联考）已知数列{an}满足anan＋4＝－ ，
a4＝ ，则a200＝（　B　）
A. B. －
C. 0 D. －
解析： 由anan＋4＝－ ，得an≠0且an＋4an＋8＝－ ，所以an＋8an＋4＝
anan＋4，故an＋8＝an，所以{an}是以8为周期的周期数列，又a4＝ ，a4a8
＝－ ，所以a8＝－ ，所以a200＝a25×8＝a8＝－ .故选B.
B
（2）已知数列{an}满足a1＝28， ＝2，则 的最小值为（　C　）
A. B. 4 －1
C. D.
解析：由an＋1－an＝2n，可得an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋
（an－an－1）＝28＋2＋4＋…＋2（n－1）＝n2－n＋28，∴ ＝n＋
－1，设f（x）＝x＋ ，可知f（x）在（0，2 ]上单调递减，在
（2 ，＋∞）上单调递增，又n∈N*，且 ＝ ＜ ＝ ，故选C.
C
（3）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝λn2＋2n＋1（λ∈R），若
{an}是递增数列，则λ的取值范围为（　B　）
A. （0，＋∞） B. （ ，＋∞）
C. （1，＋∞） D. （－ ，＋∞）
解析：∵数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝λn2＋2n＋1（λ∈R），∴a1＝
λ＋3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝λn2＋2n＋1－[λ（n－1）2＋2（n
－1）＋1]＝2λn－λ＋2，∴a2＝3λ＋2.显然，从第二项开始，{an}是
以2λ为公差的等差数列.又{an}是递增数列，∴2λ＞0，且a2－a1＝2λ
－1＞0，得λ＞ ，故选B.
B
03
PART
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：105分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 若数列的前4项分别是 ，－ ， ，－ ，则此数列的一个通项公式为
（　　）
A. B.
C. D.
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√
解析： 　由于数列的前4项分别是 ，－ ， ，－ ，可得奇数项为正
数，偶数项为负数，第n项的绝对值等于 ，故此数列的一个通项公式
为 .
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2. （2025·湖北武汉四调）已知数列{an}的通项公式为an＝2n－11，Sn为
其前n项和，则Sn的最小值为（　　）
A. －9 B. －7
C. －3 D. －19
√
解析： 　令an＝2n－11＜0，因为n∈N*，所以解得n＝1，2，3，所以数
列{an}的前3项为负，从第4项起为正，所以Sn的最小值为S3＝21－11＋22
－11＋23－11＝14－33＝－19.故选D.
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3. （2026·福建部分优质高中联考）在数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝
，则a2 026＝（　　）
A. 3 B. －2
C. － D.
√
解析： 　由a1＝3，且an＋1＝ ，得a2＝－2，a3＝－ ，a4＝ ，a5＝
3，…，所以an＋4＝an，即数列{an}是以4为周期的数列，所以a2 026＝
a4×506＋2＝a2＝－2.故选B.
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4. 已知Sn是数列{an}的前n项和，则“an＞0”是“{Sn}是递增数列”的
（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
√
解析： 　若an＞0，则Sn＞Sn－1，所以{Sn}是递增数列，所以“an＞0”
是“{Sn}是递增数列”的充分条件；若{Sn}是递增数列，则Sn＞Sn－1，所
以an＞0（n≥2），但是a1的符号不确定，所以“an＞0”不是“{Sn}是递
增数列”的必要条件，故选A.
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5. （2026·山东青岛模拟）在数列{an}中，a1＝ ，前n项和Sn＝n（2n－
1）an，则数列{an}的通项公式为（　　）
A. an＝ B. an＝
C. an＝2－ D. an＝2－
√
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解析： 　∵Sn＝n（2n－1）an，∴当n≥2时，Sn－1＝（n－1）（2n－
3）an－1，两式相减可得an＝n（2n－1）an－（n－1）（2n－3）an－1，
∴（2n＋1）an＝（2n－3）an－1，∴ ＝ ，因此an＝a1× ×
× ×…× ＝ × × ×…× × ＝ ，当n＝1
时，也满足上式，∴an＝ ，n∈N*.
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6. 〔多选〕已知数列{an}的通项公式为an＝（n＋2）·（ ）n，则下列说
法正确的是（　　）
A. a1是数列{an}的最小项
B. a4是数列{an}的最大项
C. a5是数列{an}的最大项
D. 当n≥5时，数列{an}是递减数列
√
√
√
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解析： 　假设第n项为{an}的最大项，则 即
所以 又n∈N*，所
以n＝4或n＝5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝ ，当
n≥5时，数列{an}是递减数列.
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7. （2026·浙江温州适应考）已知数列{an}满足an＝
若a4∈[2，3]，则a1的取值范围为 .
解析：设a4＝m，则m∈[2，3]，得a3＝m－1，a2＝2（m－1）＝2m－
2，所以a1＝2m－3∈[1，3].
[1，3]　
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8. 已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝2nanan＋1，则an＝ .
解析：若an＋1＝0，则an－an＋1＝0，即an＝an＋1＝0，这与a1＝1矛盾，所
以an＋1≠0，由an－an＋1＝2nanan＋1，两边同时除以anan＋1，得 － ＝
2n，则 － ＝2n－1， － ＝2n－2，…， － ＝22， － ＝
2，以上各式相加可得 － ＝2＋22＋23＋…＋2n－1＝ ＝2n－
2（n≥2），所以an＝ （n≥2），又a1＝1符合该式，所以an＝ .
　
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9. （13分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝1－Sn.
（1）求数列{an}的通项公式；
解： 因为数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝1－Sn，　①
所以an－1＝1－Sn－1（n≥2），　②
①－②并整理，得an＝ an－1（n≥2），
又由a1＝1－S1，得a1＝ ，
所以数列{an}是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以an＝ .
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（2）记bn＝n2＋λan，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围.
解： 由（1）知bn＝n2＋ ，
所以bn－bn－1＝n2＋ －（n－1）2－ ＝2n－1－ ，n≥2，
因为数列{bn}为递增数列，
所以2n－1－ ＞0，即λ＜（2n－1）·2n，
易知函数f（n）＝（2n－1）2n为增函数，
故λ＜（2×2－1）×22＝12，
故λ的取值范围为（－∞，12）.
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10. 已知数列{an}，若an＋1＝an＋ （n∈N*），则称数列{an}为“凸
数列”.已知数列{bn}为“凸数列”，且b1＝1，b2＝－2，则{bn}的前2
027项的和为（　　）
A. 0 B. 1
C. －1 D. －3
√
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解析： 　∵bn＋2＝bn＋1－bn，b1＝1，b2＝－2，∴b3＝b2－b1＝－2－1
＝－3，b4＝b3－b2＝－3－（－2）＝－1，b5＝b4－b3＝－1－（－3）＝
2，b6＝b5－b4＝2－（－1）＝3，b7＝b6－b5＝3－2＝1，b8＝b7－b6＝1
－3＝－2，∴{bn}是周期为6的周期数列，且S6＝1－2－3－1＋2＋3＝
0.∴S2 027＝S337×6＋5＝－3.
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11. （2025·浙江宁波二模）已知数列{an}满足an＝λn2－n，对任意
n∈{1，2，3}都有an＞an＋1，且对任意n∈{n｜n≥7，n∈N}都有an＜
an＋1，则实数λ的取值范围是（　　）
A. ［ ， ］ B. （ ， ）
C. （ ， ） D. （ ， ］
√
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解析： 　因为对任意n∈{1，2，3}都有an＞an＋1，所以数列{an}的前4
项是递减数列.因为对任意n∈{n｜n≥7，n∈N}都有an＜an＋1，所以数
列{an}从第7项起是递增数列.所以 解得 ＜λ＜ ，所以实数
λ的取值范围是（ ， ）.故选C.
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12. 〔多选〕（2026·河北石家庄模拟）已知数列{an}的通项公式为an＝
（n∈N*），前n项和为Sn，则下列说法正确的是（　　）
A. 数列{an}有最小项，且有最大项
B. 使an∈Z的项共有5项
C. 满足anan＋1an＋2≤0的n的值共有5个
D. 使Sn取得最小值的n为4
√
√
√
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解析： 　因为an＝ （n∈N*），所以an＋1－an＝ － ＝
，令an＋1－an＞0，即（2n－7）（2n－9）＜0，解得 ＜
n＜ ，又n∈N*，所以当n＝4时an＋1－an＞0，则当1≤n≤3或n≥5时an
＋1－an＜0，令an＝ ＞0，解得n＞ ，所以a1＝－ ＞a2＝－ ＞a3＝
－3＞a4＝－9，a5＞a6＞a7＞…＞0，所以数列{an}有最小项a4＝－9，且
有最大项a5＝9，故A正确；由an∈Z，则 ∈Z，又n∈N*，所以n＝3
或n＝4或n＝5或n＝6或n＝9，所以使an∈Z的项共有5项，故B正确；
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要使anan＋1an＋2≤0，又an≠0，所以an，an＋1，an＋2中有1个负数或3个负
数，所以n＝1或n＝2或n＝4，故满足anan＋1an＋2≤0的n的值共有3个，故
C错误；因为n≤4时an＜0，n≥5时an＞0，所以当n为4时Sn取得最小值，
故D正确.故选A、B、D.
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13. （2026·浙江杭州模拟）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家
在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点
或小石子排列的形状对数进行分类.如图中的实心点个数1，5，12，
22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1＝1，第2个五角形
数记作a2＝5，第3个五角形数记作a3＝12，第4个五角形数记作a4＝
22，…，若按此规律继续下去，则a5＝ ，若an＝145，则n
＝ .
35　
10　
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解析：由题意知，第1个五角形数记作a1＝1＝3×1－2，第2个五角形数记
作a2＝5＝a1＋3×2－2，第3个五角形数记作a3＝12＝a2＋3×3－2，第4个
五角形数记作a4＝22＝a3＋3×4－2，第5个五角形数记作a5＝a4＋3×5－2
＝35，…，第n个五角形数记作an＝an－1＋3×n－2，即an－an－1＝3n－
2，则an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝1＋3（2＋3
＋…＋n）－2（n－1）＝1＋3× －2（n－1）＝
，由an＝145，即 ＝145，解得n＝10.
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14. （15分）已知数列{an}的前n项之积为bn，且 ＋ ＋…＋ ＝
（n∈N*）.
（1）求数列{ }和{an}的通项公式；
解： 因为 ＋ ＋…＋ ＝ ，　①
所以 ＋ ＋…＋ ＝ （n≥2），　②
由①②可得 ＝n（n≥2），又 ＝1也满足上式，所以 ＝n
（n∈N*），　③
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所以 ＝n－1（n≥2），　④
由③④可得 ＝ （n≥2），
即 ＝ （n≥2），所以an－1＝ （n≥2），所以an＝ .
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（2）求f（n）＝bn＋bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n－1＋b2n的最大值.
解： 由（1）可知an＝ ，
则bn＝a1a2…an＝ · ·…· ＝ ，
所以f（n）＝bn＋bn＋1＋…＋b2n＝ ＋ ＋…＋ ，
所以f（n＋1）＝ ＋ ＋…＋ ，
所以f（n＋1）－f（n）＝ ＋ － ＝ － ＜0，
所以f（n＋1）＜f（n），即f（n）单调递减，
所以f（n）的最大值为f（1）＝b1＋b2＝ ＋ ＝ .
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15. （15分）〔多思少算〕已知数列{an}满足a1＝a，an＋1＝1＋ .我们
知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a＝1时，得到无穷数列：
1，2， ， ，…；当a＝－ 时，得到有穷数列：－ ，－1，0.
（1）求当a为何值时a4＝0；
解： a1＝a，an＋1＝1＋ ，a2＝ ，a3＝1＋ ＝ ，a4＝1＋
＝ ，
故当a＝－ 时，a4＝0.
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（2）若 ＜an＜2（n≥4），求a的取值范围.
解： 要使 ＜an＜2（n≥4），即 ＜1＋ ＜2，所以1＜an－1＜2.
因为（ ，2） （1，2），所以只要a4∈（ ，2），则有an∈（ ，2）
（n≥5）.
由a4＝ ，得 ＜ ＜2，解不等式组 得
故a的取值范围为（0，＋∞）.
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THANKS
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