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第2节　等差数列及其前n项和
（时间：60分钟，满分：95分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.在等差数列{an}中，若a3＋a9＝30，a4＝11，则{an}的公差为（　　）
A.－2 B.2
C.－3 D.3
2.已知{an}，{bn}都是首项为1的等差数列，且{an}的公差为d1＝3，{bn}的公差为d2＝2，若数列{cn}满足cn＝an＋bn，则c10＝（　　）
A.20 B.27
C.40 D.47
3.（2026·湖北武汉二调）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝0，S6＝2S3－12，则a1＝（　　）
A.6 B.8
C.10 D.12
4.已知数列{an}中，a2＝4，am＋n＝am＋an，则a11＋a12＋a13＋…＋a19＝（　　）
A.95 B.145
C.270 D.520
5.（2026·陕西安康质检）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且{nSn}为等差数列，若S6＋a4＋a5＋a6＝1，则＝（　　）
A.－63 B.63
C.36 D.－36
6.〔多选〕已知等差数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），若a1＞0，S4＝S12，则（　　）
A.公差d＜0
B.a7＋a9＜0
C.Sn的最大值为S8
D.满足Sn＜0的n的最小值为16
7.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝　　　　.
8.已知各项均为正数的数列{an}满足2＝＋（n∈N*，且n≥2），a1＝1，a2＝2，则a30＝　　　　.
9.（13分）记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2.
（1）证明：数列{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式.
10.（2023·全国乙卷10题）已知等差数列{an}的公差为，集合S＝{cos an｜n∈N*}，若S＝{a，b}，则ab＝（　　）
A.－1 B.－ C.0 D.
11.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1（an＋1－1）＝an（an＋1），若[x]表示不超过x的最大整数，bn＝［］，则数列{bn}的前2 026项和T2 026＝（　　）
A.1 012 B.1 013
C.2 026 D.2 027
12.〔多选〕（2026·湖南株洲模拟）设等差数列{an}的前n项和为Sn，则以下四个选项中正确的是（　　）
A.若a5＝0，则S9＝0
B.若S6－S9＝a10，且a2＞a1，则a8＜0且a9＞0
C.若S16＝64，且在前16项中，偶数项的和与奇数项的和之比为3∶1，则公差为2
D.若（n＋1）Sn＞nSn＋1，且＝，则S3和S4均是Sn的最大值
13.如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层共4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共Sn个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，….已知S20＝1 540，则n2＝　　　　.
14.（15分）（2026·江苏南京、盐城模考）已知数列{an}的前n项和Sn满足＝an＋（1－n）t，n∈N*，t为常数，且a2＝a1＋2.
（1）求t的值；
（2）证明：{an}为等差数列；
（3）若n2＜Sn＜（n＋1）2，n∈N*，求a1的取值范围.
15.〔创新情境〕一款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上，纸筒直径为20 mm，卫生纸厚度约为0.1 mm，若未使用时直径为80 mm，则这个卷筒卫生纸总长度大约为（参考数据：π≈3.14）（　　）
A.47 m B.51 m
C.94 m D.102 m
第2节　等差数列及其前n项和
1.B　2.D　3.A　4.C　
5.A　因为数列{an}的前n项和为Sn，S6＋a4＋a5＋a6＝1，所以S6＋（S6－S3）＝1，故6S6－3S3＝3.设{nSn}的公差为d，则3d＝3，解得d＝1，又1×S1＝a1＝2，故{nSn}是首项为2，公差为1的等差数列，则nSn＝2＋（n－1）×1＝n＋1，故Sn＝，则＝＝＝－63.故选A.
6.AC　7.　8.2　
9.解：（1）证明：因为bn是数列{Sn}的前n项积，
所以当n≥2时，Sn＝，
代入＋＝2，可得＋＝2，
整理可得2bn－1＋1＝2bn，
即bn－bn－1＝（n≥2）.
又＋＝＝2，所以b1＝，
故{bn}是以为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）可知，bn＝＋（n－1）＝，
则＋＝2，所以Sn＝，
当n＝1时，a1＝S1＝，
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝－＝－.
又a1＝不满足上式.
故an＝
10.B　∵数列{an}是公差为的等差数列，∴an＋3＝an＋×3＝an＋2π，∴cos an＋3＝cos an，∴数列{cos an}是周期为3的数列.不妨取a1＝－，则cos a1＝cos a2＝，cos a3＝－1，∴集合S＝{－1，}，则ab＝－.故选B.
11.D　∵an＋1（an＋1－1）＝an（an＋1），∴－＝an＋1＋an，即（an＋1－an）（an＋1＋an）＝an＋1＋an，∵an＞0，∴an＋1＋an＞0，∴an＋1－an＝1，∵a1＝1，∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，∴an＝n，∴Sn＝，∴＝＝，∴bn＝［］＝［］＝∴T2 026＝2＋＝2＋2 025＝2 027.
12.ABD　对于A，因为{an}是等差数列，a5＝0，所以S9＝＝9a5＝0，故A正确；对于B，因为a2＞a1，所以公差d＝a2－a1＞0，即{an}是递增数列，因为S6－S9＝a10，即S9－S6＝－a10，所以a9＋a8＋a7＝－a10，即a10＋a9＋a8＋a7＝0，则a8＋a9＝0，所以a8＜0且a9＞0，故B正确；对于C，因为S16＝64，所以＝64，则a1＋a16＝8，则a8＋a9＝8，又a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝8a9，a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝8a8，所以8a9＝3×8a8，即a9＝3a8，故4a8＝8，得a8＝2，a9＝6，所以{an}的公差为a9－a8＝4，故C错误；对于D，因为（n＋1）Sn＞nSn＋1，即＞，即［na1＋d］＞［（n＋1）a1＋d］，整理得d＜0，所以{an}是递减数列，因为＝，所以（a6＋a2）（a6－a2）＝0，由于a6－a2＝4d≠0，所以a6＋a2＝0，故2a4＝0，即a4＝0，则a3＞0，a5＜0，所以S3＞S2＞S1，S3＝S4＞S5＞S6＞…，故S3和S4均是Sn的最大值，故D正确.
13.2 870　解析：在第n（n≥2）堆中，从第2层起，第n层球的个数比第n－1层球的个数多n，记第n层球的个数为an，则an－an－1＝n（n≥2），得an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝1＋2＋3＋…＋n＝n（n＋1），其中a1＝1也适合上式，则an＝n（n＋1）＝（n2＋n），在第n堆中，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝[（12＋22＋32＋…＋n2）＋（1＋2＋3＋…＋n）]＝［（12＋22＋32＋…＋n2）＋n（n＋1）］，当n＝20时，S20＝（ n2＋210）＝1 540，解得n2＝2 870.
14.解：（1）因为＝an＋（1－n）t，n∈N*，
所以＝a2－t，
又S2＝a1＋a2，所以a2＝a1＋2t.
又a2＝a1＋2，所以t＝1.
（2）证明：由（1）可得＝an＋1－n，n∈N*，
所以Sn＝nan＋n－n2， ①
因此Sn＋1＝（n＋1）an＋1＋n＋1－（n＋1）2， ②
②－①得an＋1＝（n＋1）an＋1－nan－2n，
整理得an＋1－an＝2，n∈N*，
所以{an}为等差数列.
（3）由（2）得Sn＝na1＋×2＝n2＋（a1－1）n，
由n2＜Sn＜（n＋1）2，n∈N*，得1＜a1＜3＋.
因为1＜a1＜3＋对任意n∈N*恒成立，
所以1＜a1≤3，即a1的取值范围为（1，3].
15.A　空心纸筒直径为20 mm，则底面半径为10 mm，其周长为2π×10＝20π（mm），卷纸未使用时直径为80 mm，则底面半径为40 mm，其周长为2π×40＝80π（mm），又因为卫生纸厚度约为0.1 mm，则卷纸共有的层数约为＝300，即每一圈的卷纸周长构成一个等差数列，首项为20π，末项为80π，项数为300，则这个卷筒卫生纸总长度即这个等差数列的前300项和，S300＝＝15 000π（mm），而15 000π mm≈15 000×3.14＝47 100 mm≈47 m.即这个卷筒卫生纸总长度大约为47 m.故选A.
1 / 1第2节　等差数列及其前n项和
1.理解等差数列的概念和通项公式的意义. 2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系. 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题. 4.体会等差数列与一元一次函数、二次函数的关系.
知识梳理
1.等差数列的有关概念
（1）定义：如果一个数列从　　　　起，每一项与它的前一项的　　　　都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的　　　　，公差通常用字母d表示，符号表示为　　　　　　（n∈N*，d为常数）；
提醒：在公差为d的等差数列{an}中：①d＞0 {an}为递增数列；②d＝0 {an}为常数列；③d＜0 {an}为递减数列.
（2）等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝　　　　，其中A叫做a与b的等差中项.
2.等差数列的有关公式
（1）通项公式：an＝　　　　　　＝nd＋（a1－d） 当d≠0时，an是关于n的一次函数模型，即an＝pn＋q，其中　　　　为公差；
（2）前n项和公式：Sn＝　　　　　　或Sn＝　　　　　　＝n2＋n 当d≠0时，Sn是关于n的二次函数模型，且没有　　　　项，即Sn＝An2＋Bn（A，B为常数），公差d＝　　　　.
3.等差数列的常用性质
（1）项的性质
①通项公式的推广：an＝am＋（　　　　）d（n，m∈N*）；
②若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则ak＋al＝　　　　　　；
③若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差为md的等差数列.
（2）和的性质
①若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，公差为　　　　；
②若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列{}也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}公差的　　　　；
③若两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝.
1.在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值. 2.若等差数列{an}的项数为偶数2n，则S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1）；S偶－S奇＝nd，＝. 3.若等差数列{an}的项数为奇数2n－1，则S2n－1＝（2n－1）an；＝；S奇－S偶＝an（中间项）.
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.（　　）
（2）等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.（　　）
（3）数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.（　　）
（4）等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.（　　）
2.数列{an}满足an＋1＝an－3且a1＝7，则a3＝（　　）
A.－3 B.4
C.1 D.－2
3.已知等差数列{an}中，a1＝12，a2＋a5＝36，则a6＝（　　）
A.20 B.24
C.28 D.32
4.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＝2，S4＝14，则an＝　　　　.
5.〔一题多解〕设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8＝100，S16＝392，则S24＝　　　　.
等差数列基本量的运算
（基础自学过关）
1.（2024·全国甲卷4题）记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝（　　）
A. B.
C.－ D.－
2.（2026·河南洛阳联考）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，则春分时节的日影长为（　　）
A.4.5尺 B.3.5尺
C.2.5尺 D.1.5尺
3.（2024·新高考Ⅱ卷12题）记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝　　　　.
4.（2026·福建厦门第二次质检）已知正项等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且4S3＝（a3＋1）2，4S4＝（a4＋1）2，则d＝　　　　.
1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个（简称“知三求二”）. 2.确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
等差数列的判定与证明
（师生共研过关）
已知数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＝2an－1－an－2＋3（n≥3）.
（1）求a3的值；
（2）证明：数列{an－an－1}（n≥2）是等差数列.
判断数列{an}是等差数列的常用方法 （1）定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数； （2）等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1； （3）通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q（p，q为常数）； （4）前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn（A，B为常数）.
训练1 （1）已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn（a，b∈R）且a2＝3，a6＝11，则S7＝（　　）
A.13 B.49
C.35 D.63
（2）数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且＝－（n≥2），则数列{an}的第100项为（　　）
A. B.
C. D.
（3）（2025·河南新乡二模）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，数列{an}的公差为d（d≠0），且{}是等差数列，则＝　　　　.
等差数列的性质及应用
（定向精析突破）
考向1　项的性质
（1）已知数列{an}，{bn}都是等差数列，a1＝1，b1＝5，且a21－b21＝34，则a11－b11＝（　　）
A.－17 B.－15
C.17 D.15
（2）〔多选〕（2026·河南南阳模拟）已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则下列结论中正确的是（　　）
A.若a1＋a2＋a3＝5，a3＋a4＋a5＝11，则a5＋a6＋a7＝20
B.若a2＋a11＝4，则S12＝24
C.若a1＜0，S15＜0，则S6＜S5
D.若{an}和{anan＋1}都为递增数列，则an＞0
听课记录
　　利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分，在Sn＝中，Sn与a1＋an也可相互转化.
考向2　和的性质
（1）（2026·河北调研）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝（　　）
A. B.
C. D.
（2）已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有＝，则＋＝　　　　；
（3）在等差数列{an}中，奇数项之和为220，偶数项之和为165.若此数列的项数为10，则此数列的公差为　　　　；若此数列的项数为奇数，则此数列的中间项是　　　　.
听课记录
　　若Sn是等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且有S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1），S2n－1＝（2n－1）an.
考向3　最值问题
（1）（2025·山东临沂二模）已知{an}为正项等差数列，若4a3－a7＝8，则a1a3的最大值为（　　）
A.4 B.6
C.8 D.10
（2）〔一题多解〕（2026·江苏常州模拟改编）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝13，S3＝S11，则当Sn最大时n＝　　　　.
听课记录
　　求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
训练2 （1）在等差数列{an}中，a2，a8是方程x2＋mx－8＝0的两根，若a4＋a6＝＋1，则m的值为（　　）
A.－6 B.－2
C.2 D.6
（2）在等差数列{an}中，a1＝－2 026，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 026＝（　　）
A.2 027 B.－2 027
C.－2 026 D.2 026
（3）〔多选〕设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S15＞0，S16＜0，则（　　）
A.a8＞0
B.a9＜0
C.，，…，中最大的项为
D.，，…，中最大的项为
第2节　等差数列及其前n项和
【夯实必备知识】
知识梳理
1.（1）第2项　差　公差　an＋1－an＝d　（2）　
2.（1）a1＋（n－1）d　p　（2）　na1＋d　常数　2A
3.（1）①n－m　②am＋an　（2）①m2d　②
诊断自测
1.（1）×　（2）√　（3）√　（4）×
2.C　3.B　4.3n－4　5.876
【研透核心考点】
考点1
1.B　2.A　3.95　4.2　
考点2
【例1】　解：（1）在数列{an}中，a1＝2，a2＝3，且an＝2an－1－an－2＋3，
令n＝3，可得a3＝2a2－a1＋3＝7.
（2）证明：由an＝2an－1－an－2＋3（n≥3），
当n≥2时，可得an＋1＝2an－an－1＋3，
则（an＋1－an）－（an－an－1）＝3，
又由a1＝2，a2＝3，可得a2－a1＝1，
所以数列{an＋1－an}是首项为1，公差为3的等差数列，
即数列{an－an－1}（n≥2）是等差数列.
训练1　（1）B　（2）B　（3）
解析：（1）由Sn＝an2＋bn（a，b∈R）可知数列{an}是等差数列，依题意得，d＝＝＝2，则an＝a2＋（n－2）d＝2n－1，即a1＝1，a7＝13，所以S7＝×7＝×7＝49.故选B.
（2）因为＝－（n≥2），所以＋＝，所以{}为等差数列，首项为＝，第2项为＝1，所以d＝，所以＝＋99d＝＋99×＝50.所以a100＝.故选B.
（3）由题意，an＝a1＋d（n－1）＝dn＋a1－d，Sn＝na1＋＝n2＋（ a1－）n，所以Sn－an＝n2＋（ a1－）n＋d－a1，因为{}是等差数列，则{}的通项是一次函数型，则方程n2＋（ a1－）n＋d－a1＝0有两个相等实根，所以Δ＝（ a1－）2－4·（d－a1）＝0，化简得（ a1－）2＝0，所以a1＝，即＝.
考点3
【例2】　（1）D　（2）BC　解析：（1）因为数列{an}，{bn}都是等差数列，所以a11－b11＝－＝，又a1＝1，b1＝5，a21－b21＝34，所以a11－b11＝＝15，故选D.
（2）对于A，由a1＋a2＋a3＝5，a3＋a4＋a5＝11，可得（a3＋a4＋a5）－（a1＋a2＋a3）＝6d＝6，所以d＝1，又a5＋a6＋a7＝（a1＋a2＋a3）＋12d＝5＋12＝17≠20，所以A错误；对于B，由S12＝＝＝24，所以B正确；对于C，由S15＝＝15a8＜0，所以a8＜0，又因为a1＜0，可得an＜0（n＝1，2，…，8），所以S6－S5＝a6＜0，所以C正确；对于D，因为{an}为递增数列，可得公差d＞0，因为{anan＋1}为递增数列，可得an＋2an＋1－anan＋1＝an＋1·2d＞0，所以对任意的n≥2，an＞0，但a1的正负不确定，所以D错误.
【例3】　（1）B　（2）　（3）－11　55
解析：（1）由等差数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15，…是等差数列.由＝，可设S5＝t（t≠0），则S10＝3t，于是S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15，…依次为t，2t，3t，4t，…，所以S20＝t＋2t＋3t＋4t＝10t，所以＝.故选B.
（2）因为＋＝＝＝，所以＝＝＝＝.
（3）由题意知S奇＝220，S偶＝165，若此数列的项数为10，则S偶－S奇＝5d，所以－55＝5d，所以d＝－11；若此数列的项数为奇数，设项数为2n－1，则S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＝＝nan，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n－2＝＝（n－1）an，所以＝＝＝，解得n＝4，所以第4项是此数列的中间项，a4＝＝＝55.
【例4】　（1）C　（2）7　解析：（1）4a3－a7＝4（a1＋2d）－（a1＋6d）＝3a1＋2d＝8，解得a1＝，由于{an}为正项等差数列，则解得0＜d＜4，a1a3＝·（ ＋2d）＝＝（－d2＋2d＋8），结合二次函数的性质可知当d＝1时，（a1a3）max＝×（－12＋2×1＋8）＝8.
（2）法一（邻项变号法） 由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0.根据a1＝13可知这个数列为递减数列，从而得到a7＞0，a8＜0，故n＝7时Sn最大.
法二（函数法） 由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n（n－1）＝－n2＋14n.根据二次函数的性质，知当n＝7时Sn最大.
法三（图象法） 根据a1＝13，S3＝S11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减.根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图象的对称性，可得只有当n＝＝7时，Sn取得最大值.
训练2　（1）B　（2）C　（3）ABD
解析：（1）因为a2，a8是方程x2＋mx－8＝0的两根，所以Δ＝m2＋32＞0，且a2＋a8＝－m.在等差数列{an}中，a2＋a8＝a4＋a6＝2a5，所以a4＋a6＝－m，a5＝－，代入a4＋a6＝＋1可得－m＝＋1，解得m＝－2.故选B.
（2）由{an}是等差数列，设公差为d，则Sn＝na1＋d，所以＝a1＋d，－＝（常数），则{}也为等差数列.由－＝2，则数列{}的公差为1.所以＝＋（n－1）×1＝－2 026＋n－1＝n－2 027，所以＝2 026－2 027＝－1，所以S2 026＝－2 026.
（3）由S15＝＝15a8＞0，得a8＞0，故A正确；由S16＝＝＜0，得a9＋a8＜0，所以a9＜0，且d＜0，故B正确；所以数列{an}为递减数列，且a1，…，a8为正，a9，…，an为负，且S1，…，S15大于0，S16，…，Sn小于0，则＞0，＞0，…，＞0，＜0，＜0，…，＜0，又S8＞S1，a1＞a8，所以＞＞0，所以，，…，中最大的项为，故C错误，D正确.
1 / 1(共73张PPT)
第2节　等差数列及其前n项和
课标要求
1. 理解等差数列的概念和通项公式的意义.
2. 探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.
3. 能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.
4. 体会等差数列与一元一次函数、二次函数的关系.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 等差数列的有关概念
（1）定义：如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的
都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数
列的 ，公差通常用字母d表示，符号表示为
（n∈N*，d为常数）；
提醒：在公差为d的等差数列{an}中：①d＞0 {an}为递增数列；②d＝
0 {an}为常数列；③d＜0 {an}为递减数列.
第2项　
差　
公差　
an＋1－an＝d　
（2）等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝ ，
其中A叫做a与b的等差中项.
　
2. 等差数列的有关公式
（1）通项公式：an＝ ＝nd＋（a1－d） 当d≠0
时，an是关于n的一次函数模型，即an＝pn＋q，其中 为公差；
（2）前n项和公式：Sn＝ 　 　或Sn＝ 　na1＋ d　＝
n2＋ n 当d≠0时，Sn是关于n的二次函数模型，且没有
项，即Sn＝An2＋Bn（A，B为常数），公差d＝ .
3. 等差数列的常用性质
（1）项的性质
①通项公式的推广：an＝am＋（　 　）d（n，m∈N*）；
a1＋（n－1）d　
p　
　
na1＋ d　
常
数　
2A　
n－m
②若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则ak＋al
＝ ；
③若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）
是公差为md的等差数列.
am＋an　
（2）和的性质
①若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…
也是等差数列，公差为 ；
②若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列{ }也是等差数列，其首项与
{an}的首项相同，公差是{an}公差的 ；
③若两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则 ＝ .
m2d　
　
1. 在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞
0，则Sn存在最小值.
2. 若等差数列{an}的项数为偶数2n，则S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an
＋an＋1）；S偶－S奇＝nd， ＝ .
3. 若等差数列{an}的项数为奇数2n－1，则S2n－1＝（2n－1）an； ＝
；S奇－S偶＝an（中间项）.
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数
列是等差数列. （　×　）
（2）等差数列{an}的单调性是由公差d决定的. （　√　）
（3）数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋
an＋2. （　√　）
（4）等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数. （　×　）
×
√
√
×
2. 数列{an}满足an＋1＝an－3且a1＝7，则a3＝（　　）
A. －3 B. 4
C. 1 D. －2
√
解析： 　根据题意，由an＋1＝an－3，可知数列{an}是公差为－3的等差
数列，又a1＝7，所以数列{an}的通项公式为an＝10－3n，所以a3＝10－9
＝1，故选C.
3. 已知等差数列{an}中，a1＝12，a2＋a5＝36，则a6＝（　　）
A. 20 B. 24
C. 28 D. 32
√
解析： 　由等差数列的性质可知，a1＋a6＝a2＋a5＝36，所以a6＝36－
a1＝24.故选B.
4. 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＝2，S4＝14，则an＝
.
解析：由题意得 解得 则an＝－1＋（n－
1）×3＝3n－4.
3n－
4　
5. 〔一题多解〕设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8＝100，S16＝392，
则S24＝ .
解析：法一　由S8＝8a1＋ d＝100，S16＝16a1＋ d＝392，得a1＝
2，d＝3，∴S24＝24×2＋ ×3＝876.
876　
法二　∵S8，S16－S8，S24－S16成等差数列，∴2（S16－S8）＝S8＋（S24
－S16），得S24＝3S16－3S8＝876.
02
PART
研透核心考点
等差数列基本量的运算（基础自学过关）
1. （2024·全国甲卷4题）记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S5＝S10，
a5＝1，则a1＝（　　）
A. B.
C. － D. －
√
解析： 　由S5＝S10，得 ＝ ，所以5a3＝5（a3
＋a8），所以a8＝0，公差d＝ ＝－ ，所以a1＝a5－4d＝1－4×
（－ ）＝ ，故选B.
2. （2026·河南洛阳联考）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小
寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这
十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长
之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，则春分时节的日影长
为（　　）
A. 4.5尺 B. 3.5尺
C. 2.5尺 D. 1.5尺
√
解析： 　设冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷
雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列{an}，公差
为d，由题意得 解得 所以an＝a1
＋（n－1）d＝11.5－n，所以a7＝11.5－7＝4.5，即春分时节的日影
长为4.5尺.
3. （2024·新高考Ⅱ卷12题）记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3＋a4＝
7，3a2＋a5＝5，则S10＝ .
解析：因为数列{an}为等差数列，则由题意得
解得 则S10＝10a1＋ d＝10×
（－4）＋45×3＝95.
95　
4. （2026·福建厦门第二次质检）已知正项等差数列{an}的公差为d，前n
项和为Sn，且4S3＝（a3＋1）2，4S4＝（a4＋1）2，则d＝ .
解析：4S3＝（a3＋1）2，4S4＝（a4＋1）2，两式相减得4a4＝（a4＋1）2
－（a3＋1）2，即（a4－1）2－（a3＋1）2＝0，则（a4＋a3）（a4－a3－
2）＝0，又数列{an}为正项等差数列，∴a4－a3－2＝0，∴a4－a3＝2，
即d＝2.
2　
1. 等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，
Sn，知道其中三个就能求出另外两个（简称“知三求二”）.
2. 确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
等差数列的判定与证明（师生共研过关）
已知数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＝2an－1－an－2＋3（n≥3）.
（1）求a3的值；
解： 在数列{an}中，a1＝2，a2＝3，且an＝2an－1－an－2＋3，
令n＝3，可得a3＝2a2－a1＋3＝7.
（2）证明：数列{an－an－1}（n≥2）是等差数列.
解：证明：由an＝2an－1－an－2＋3（n≥3），
当n≥2时，可得an＋1＝2an－an－1＋3，
则（an＋1－an）－（an－an－1）＝3，
又由a1＝2，a2＝3，可得a2－a1＝1，
所以数列{an＋1－an}是首项为1，公差为3的等差数列，
即数列{an－an－1}（n≥2）是等差数列.
判断数列{an}是等差数列的常用方法
（1）定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数；
（2）等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1；
（3）通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q（p，q为常数）；
（4）前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn（A，B为
常数）.
训练1 （1）已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn（a，b∈R）且a2＝
3，a6＝11，则S7＝（　B　）
A. 13 B. 49
C. 35 D. 63
解析： 由Sn＝an2＋bn（a，b∈R）可知数列{an}是等差数列，依题意
得，d＝ ＝ ＝2，则an＝a2＋（n－2）d＝2n－1，即a1＝1，a7
＝13，所以S7＝ ×7＝ ×7＝49.故选B.
B
（2）数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且 ＝ － （n≥2），则数列
{an}的第100项为（　B　）
A. B.
C. D.
解析：因为 ＝ － （n≥2），所以 ＋ ＝ ，所以{ }
为等差数列，首项为 ＝ ，第2项为 ＝1，所以d＝ ，所以 ＝ ＋
99d＝ ＋99× ＝50.所以a100＝ .故选B.
B
（3）（2025·河南新乡二模）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，数列
{an}的公差为d（d≠0），且{ }是等差数列，则 ＝ 　 　.
解析：由题意，an＝a1＋d（n－1）＝dn＋a1－d，Sn＝na1＋
＝ n2＋（a1－ ）n，所以Sn－an＝ n2＋（a1－ ）n＋d－a1，因为
{ }是等差数列，则{ }的通项是一次函数型，则方程 n2
＋（a1－ ）n＋d－a1＝0有两个相等实根，所以Δ＝（a1－ ）2－4·
（d－a1）＝0，化简得（a1－ ）2＝0，所以a1＝ ，即 ＝ .
　
等差数列的性质及应用（定向精析突破）
考向1　项的性质
（1）已知数列{an}，{bn}都是等差数列，a1＝1，b1＝5，且a21－b21
＝34，则a11－b11＝（　D　）
A. －17 B. －15
C. 17 D. 15
D
解析： 因为数列{an}，{bn}都是等差数列，所以a11－b11＝ －
＝ ，又a1＝1，b1＝5，a21－b21＝34，所以
a11－b11＝ ＝15，故选D.
（2）〔多选〕（2026·河南南阳模拟）已知{an}是等差数列，Sn是其前n
项和，则下列结论中正确的是（　BC　）
A. 若a1＋a2＋a3＝5，a3＋a4＋a5＝11，则a5＋a6＋a7＝20
B. 若a2＋a11＝4，则S12＝24
C. 若a1＜0，S15＜0，则S6＜S5
D. 若{an}和{anan＋1}都为递增数列，则an＞0
BC
解析： 对于A，由a1＋a2＋a3＝5，a3＋a4＋a5＝11，可得（a3＋a4＋a5）
－（a1＋a2＋a3）＝6d＝6，所以d＝1，又a5＋a6＋a7＝（a1＋a2＋a3）
＋12d＝5＋12＝17≠20，所以A错误；对于B，由S12＝ ＝
＝24，所以B正确；对于C，由S15＝ ＝15a8＜
0，所以a8＜0，又因为a1＜0，可得an＜0（n＝1，2，…，8），所以S6－
S5＝a6＜0，所以C正确；对于D，因为{an}为递增数列，可得公差d＞0，
因为{anan＋1}为递增数列，可得an＋2an＋1－anan＋1＝an＋1·2d＞0，所以对
任意的n≥2，an＞0，但a1的正负不确定，所以D错误.
　　利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分，在Sn＝
中，Sn与a1＋an也可相互转化.
考向2　和的性质
（1）（2026·河北调研）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若 ＝
，则 ＝（　B　）
A. B.
C. D.
B
解析： 由等差数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10，S20－
S15，…是等差数列.由 ＝ ，可设S5＝t（t≠0），则S10＝3t，于是
S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15，…依次为t，2t，3t，4t，…，所以S20
＝t＋2t＋3t＋4t＝10t，所以 ＝ .故选B.
（2）已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整
数n都有 ＝ ，则 ＋ ＝ 　 　；
解析：因为 ＋ ＝ ＝ ＝ ，所以 ＝ ＝ ＝
＝ .
　
（3）在等差数列{an}中，奇数项之和为220，偶数项之和为165.若此数列
的项数为10，则此数列的公差为 ；若此数列的项数为奇数，则此
数列的中间项是 .
解析：由题意知S奇＝220，S偶＝165，若此数列的项数为10，则S偶－S奇＝
5d，所以－55＝5d，所以d＝－11；若此数列的项数为奇数，设项数为
2n－1，则S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＝ ＝nan，S偶＝a2＋a4
＋a6＋…＋a2n－2＝ ＝（n－1）an，所以 ＝ ＝
＝ ，解得n＝4，所以第4项是此数列的中间项，a4＝ ＝ ＝55.
－11　
55　
　　若Sn是等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－
S2m，…也是等差数列，且有S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1），
S2n－1＝（2n－1）an.
考向3　最值问题
（1）（2025·山东临沂二模）已知{an}为正项等差数列，若4a3－a7＝
8，则a1a3的最大值为（　C　）
A. 4 B. 6
C. 8 D. 10
解析： 4a3－a7＝4（a1＋2d）－（a1＋6d）＝3a1＋2d＝8，解得a1＝
，由于{an}为正项等差数列，则 解得0＜d＜4，a1a3
＝ ·（ ＋2d）＝ ＝ （－d2＋2d＋8），结合二次
函数的性质可知当d＝1时，（a1a3）max＝ ×（－12＋2×1＋8）＝8.
C
（2）〔一题多解〕（2026·江苏常州模拟改编）已知等差数列{an}的前n
项和为Sn，a1＝13，S3＝S11，则当Sn最大时n＝ .
解析：法一（邻项变号法） 由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差
数列的性质，可得a7＋a8＝0.根据a1＝13可知这个数列为递减数列，从而
得到a7＞0，a8＜0，故n＝7时Sn最大.
法二（函数法） 由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，
得d＝－2，故Sn＝13n－n（n－1）＝－n2＋14n.根据二次函数的性质，
知当n＝7时Sn最大.
7　
法三（图象法） 根据a1＝13，S3＝S11，知这个数列的公差不等于零，且
这个数列的和是先递增后递减.根据公差不为零的等差数列的前n项和是关
于n的二次函数，以及二次函数图象的对称性，可得只有当n＝ ＝7
时，Sn取得最大值.
　　求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
训练2 （1）在等差数列{an}中，a2，a8是方程x2＋mx－8＝0的两根，若
a4＋a6＝ ＋1，则m的值为（　B　）
A. －6 B. －2
C. 2 D. 6
解析： 因为a2，a8是方程x2＋mx－8＝0的两根，所以Δ＝m2＋32＞0，且
a2＋a8＝－m.在等差数列{an}中，a2＋a8＝a4＋a6＝2a5，所以a4＋a6＝
－m，a5＝－ ，代入a4＋a6＝ ＋1可得－m＝ ＋1，解得m＝－2.
故选B.
B
（2）在等差数列{an}中，a1＝－2 026，其前n项和为Sn，若 － ＝
2，则S2 026＝（　C　）
A. 2 027 B. －2 027
C. －2 026 D. 2 026
解析：由{an}是等差数列，设公差为d，则Sn＝na1＋ d，所以
＝a1＋ d， － ＝ （常数），则{ }也为等差数列.由 － ＝
2，则数列{ }的公差为1.所以 ＝ ＋（n－1）×1＝－2 026＋n－1＝
n－2 027，所以 ＝2 026－2 027＝－1，所以S2 026＝－2 026.
C
（3）〔多选〕设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S15＞0，S16＜0，则
（　ABD　）
A. a8＞0
B. a9＜0
C. ， ，…， 中最大的项为
D. ， ，…， 中最大的项为
ABD
解析：由S15＝ ＝15a8＞0，得a8＞0，故A正确；由S16＝
＝ ＜0，得a9＋a8＜0，所以a9＜0，且d＜0，
故B正确；所以数列{an}为递减数列，且a1，…，a8为正，a9，…，an为
负，且S1，…，S15大于0，S16，…，Sn小于0，则 ＞0， ＞0，…，
＞0， ＜0， ＜0，…， ＜0，又S8＞S1，a1＞a8，所以 ＞ ＞
0，所以 ， ，…， 中最大的项为 ，故C错误，D正确.
03
PART
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：95分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 在等差数列{an}中，若a3＋a9＝30，a4＝11，则{an}的公差为（　　）
A. －2 B. 2
C. －3 D. 3
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√
解析： 　设公差为d，因为a3＋a9＝2a6＝30，所以a6＝15，从而d＝
＝2.
2. 已知{an}，{bn}都是首项为1的等差数列，且{an}的公差为d1＝3，{bn}
的公差为d2＝2，若数列{cn}满足cn＝an＋bn，则c10＝（　　）
A. 20 B. 27
C. 40 D. 47
√
解析： 　因为{an}是首项为1，公差为d1＝3的等差数列，所以an＝1＋
（n－1）×3＝3n－2，又{bn}是首项为1，公差为d2＝2的等差数列，所
以bn＝1＋（n－1）×2＝2n－1，因此cn＝an＋bn＝5n－3，所以c10＝
47.
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3. （2026·湖北武汉二调）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝0，S6
＝2S3－12，则a1＝（　　）
A. 6 B. 8
C. 10 D. 12
√
解析： 　设等差数列{an}的公差为d，由S6＝2S3－12，得6a1＋15d＝2
（3a1＋3d）－12，得9d＝－12，由S10＝0，得10a1＋45d＝0，则2a1＝
－9d＝12，所以a1＝6.故选A.
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4. 已知数列{an}中，a2＝4，am＋n＝am＋an，则a11＋a12＋a13＋…＋a19
＝（　　）
A. 95 B. 145
C. 270 D. 520
√
解析： 　在等式am＋n＝am＋an中，令m＝1，可得an＋1＝an＋a1，则an＋
1－an＝a1，所以数列{an}为等差数列，且该数列的首项和公差均为a1.因
为a2＝2a1＝4，故a1＝2，所以an＝2＋2（n－1）＝2n，则a15＝2×15＝
30，因此a11＋a12＋a13＋…＋a19＝ ＝ ＝9a15＝270.故
选C.
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5. （2026·陕西安康质检）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且
{nSn}为等差数列，若S6＋a4＋a5＋a6＝1，则 ＝（　　）
A. －63 B. 63
C. 36 D. －36
√
解析： 　因为数列{an}的前n项和为Sn，S6＋a4＋a5＋a6＝1，所以S6＋
（S6－S3）＝1，故6S6－3S3＝3.设{nSn}的公差为d，则3d＝3，解得d＝
1，又1×S1＝a1＝2，故{nSn}是首项为2，公差为1的等差数列，则nSn＝2
＋（n－1）×1＝n＋1，故Sn＝ ，则 ＝ ＝ ＝－63.故选A.
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6. 〔多选〕已知等差数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），若a1＞0，S4
＝S12，则（　　）
A. 公差d＜0
B. a7＋a9＜0
C. Sn的最大值为S8
D. 满足Sn＜0的n的最小值为16
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解析： 　因为a1＞0，S4＝S12，则 ＝ ，即a1
＋a4＝3（a1＋a12），则d＝－ a1＜0，故A正确；a7＋a9＝2a1＋14d＝
－d＞0，故B错误；由a7＋a9＞0，得a8＞0，a9＝a1＋8d＝ d＜0，因为
d＜0，a1＞0，所以数列{an}是递减数列，且当n≤8时，an＞0，当n≥9
时，an＜0，所以Sn的最大值为S8，故C正确；Sn＝ n2＋（a1－ ）n＝
－ n2＋ n，令Sn＜0，解得n＞16.所以满足Sn＜0的n的最小值为
17，故D错误.
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7. 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若 ＝ ，则 ＝ 　 　.
解析：由等差数列的性质可知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，
∵ ＝ ，即S6＝3S3，（S6－S3）－S3＝S3，∴S9－S6＝3S3，S12－S9＝
4S3，∴S9＝6S3，S12＝10S3，∴ ＝ ＝ .
　
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8. 已知各项均为正数的数列{an}满足2 ＝ ＋ （n∈N*，且
n≥2），a1＝1，a2＝2，则a30＝ .
解析：因为2 ＝ ＋ ，由等差中项的定义可知，数列{ }是首
项为 ＝1，公差为d＝ － ＝4－1＝3的等差数列，所以 ＝ ＋
（n－1）d＝1＋3（n－1）＝3n－2，由此可知 ＝3×30－2＝88，又
因为an＞0，所以a30＝2 .
2 　
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解： 证明：因为bn是数列{Sn}的前n项积，
所以当n≥2时，Sn＝ ，代入 ＋ ＝2，可得 ＋ ＝2，
整理可得2bn－1＋1＝2bn，即bn－bn－1＝ （n≥2）.
又 ＋ ＝ ＝2，所以b1＝ ，
故{bn}是以 为首项， 为公差的等差数列.
9. （13分）记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知
＋ ＝2.
（1）证明：数列{bn}是等差数列；
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（2）求{an}的通项公式.
解： 由（1）可知，bn＝ ＋ （n－1）＝ ，
则 ＋ ＝2，所以Sn＝ ，
当n＝1时，a1＝S1＝ ，
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝ － ＝－ .
又a1＝ 不满足上式.
故an＝
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10. （2023·全国乙卷10题）已知等差数列{an}的公差为 ，集合S＝{ cos
an｜n∈N*}，若S＝{a，b}，则ab＝（　　）
A. －1 B. －
C. 0 D.
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解析： 　∵数列{an}是公差为 的等差数列，∴an＋3＝an＋ ×3＝an
＋2π，∴ cos an＋3＝ cos an，∴数列{ cos an}是周期为3的数列.不妨取a1＝
－ ，则 cos a1＝ cos a2＝ ， cos a3＝－1，∴集合S＝{－1， }，则ab＝
－ .故选B.
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11. 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1（an＋1
－1）＝an（an＋1），若[x]表示不超过x的最大整数，bn＝
［ ］，则数列{bn}的前2 026项和T2 026＝（　　）
A. 1 012 B. 1 013
C. 2 026 D. 2 027
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解析： 　∵an＋1（an＋1－1）＝an（an＋1），∴ － ＝an＋1＋
an，即（an＋1－an）（an＋1＋an）＝an＋1＋an，∵an＞0，∴an＋1＋an＞
0，∴an＋1－an＝1，∵a1＝1，∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数
列，∴an＝n，∴Sn＝ ，∴ ＝ ＝ ，∴bn＝
［ ］＝［ ］＝ ∴T2 026＝2＋ ＝2＋
2 025＝2 027.
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12. 〔多选〕（2026·湖南株洲模拟）设等差数列{an}的前n项和为Sn，则
以下四个选项中正确的是（　　）
A. 若a5＝0，则S9＝0
B. 若S6－S9＝a10，且a2＞a1，则a8＜0且a9＞0
C. 若S16＝64，且在前16项中，偶数项的和与奇数项的和之比为3∶1，则
公差为2
D. 若（n＋1）Sn＞nSn＋1，且 ＝ ，则S3和S4均是Sn的最大值
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解析： 　对于A，因为{an}是等差数列，a5＝0，所以S9＝
＝9a5＝0，故A正确；对于B，因为a2＞a1，所以公差d＝a2－
a1＞0，即{an}是递增数列，因为S6－S9＝a10，即S9－S6＝－a10，所以a9
＋a8＋a7＝－a10，即a10＋a9＋a8＋a7＝0，则a8＋a9＝0，所以a8＜0且a9
＞0，故B正确；对于C，因为S16＝64，所以 ＝64，则a1＋
a16＝8，则a8＋a9＝8，又a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝8a9，a1
＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝8a8，所以8a9＝3×8a8，即a9＝3a8，
故4a8＝8，得a8＝2，a9＝6，所以{an}的公差为a9－a8＝4，故C错误；
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对于D，因为（n＋1）Sn＞nSn＋1，即 ＞ ，即 ［na1＋ d］
＞ ［（n＋1）a1＋ d］，整理得d＜0，所以{an}是递减数列，
因为 ＝ ，所以（a6＋a2）（a6－a2）＝0，由于a6－a2＝4d≠0，所
以a6＋a2＝0，故2a4＝0，即a4＝0，则a3＞0，a5＜0，所以S3＞S2＞S1，
S3＝S4＞S5＞S6＞…，故S3和S4均是Sn的最大值，故D正确.
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13. 如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只
有1层，且只有1个球；第2堆有2层共4个球，其中第1层有1个球，第2层有
3个球；…；第n堆有n层共Sn个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3
层有6个球，….已知S20＝1 540，则 n2＝ .
2 870　
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解析：在第n（n≥2）堆中，从第2层起，第n层球的个数比第n－1层球
的个数多n，记第n层球的个数为an，则an－an－1＝n（n≥2），得an＝
a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝1＋2＋3＋…＋n＝ n
（n＋1），其中a1＝1也适合上式，则an＝ n（n＋1）＝ （n2＋n），
在第n堆中，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝ [（12＋22＋32＋…＋n2）＋（1
＋2＋3＋…＋n）]＝ ［（12＋22＋32＋…＋n2）＋ n（n＋1）］，当n
＝20时，S20＝ （ n2＋210）＝1 540，解得 n2＝2 870.
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14. （15分）（2026·江苏南京、盐城模考）已知数列{an}的前n项和Sn满
足 ＝an＋（1－n）t，n∈N*，t为常数，且a2＝a1＋2.
（1）求t的值；
解： 因为 ＝an＋（1－n）t，n∈N*，
所以 ＝a2－t，
又S2＝a1＋a2，所以a2＝a1＋2t.
又a2＝a1＋2，所以t＝1.
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（2）证明：{an}为等差数列；
解： 证明：由（1）可得 ＝an＋1－n，n∈N*，
所以Sn＝nan＋n－n2，　①
因此Sn＋1＝（n＋1）an＋1＋n＋1－（n＋1）2，　②
②－①得an＋1＝（n＋1）an＋1－nan－2n，
整理得an＋1－an＝2，n∈N*，
所以{an}为等差数列.
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（3）若n2＜Sn＜（n＋1）2，n∈N*，求a1的取值范围.
解： 由（2）得Sn＝na1＋ ×2＝n2＋（a1－1）n，
由n2＜Sn＜（n＋1）2，n∈N*，得1＜a1＜3＋ .
因为1＜a1＜3＋ 对任意n∈N*恒成立，
所以1＜a1≤3，即a1的取值范围为（1，3].
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15. 〔创新情境〕一款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上，纸筒直径为20
mm，卫生纸厚度约为0.1 mm，若未使用时直径为80 mm，则这个卷筒卫
生纸总长度大约为（参考数据：π≈3.14）（　　）
A. 47 m B. 51 m
C. 94 m D. 102 m
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解析： 　空心纸筒直径为20 mm，则底面半径为10 mm，其周长为
2π×10＝20π（mm），卷纸未使用时直径为80 mm，则底面半径为40
mm，其周长为2π×40＝80π（mm），又因为卫生纸厚度约为0.1
mm，则卷纸共有的层数约为 ＝300，即每一圈的卷纸周长构成一
个等差数列，首项为20π，末项为80π，项数为300，则这个卷筒卫生纸
总长度即这个等差数列的前300项和，S300＝ ＝15 000π
（mm），而15 000π mm≈15 000×3.14＝47 100 mm≈47 m.即这个卷
筒卫生纸总长度大约为47 m.故选A.
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