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微专题 数列中的构造问题
　　求数列通项公式的方法除了我们前面学习过的公式法、累加法、累乘
法，还有构造法，其总的思想是根据数列的递推公式，利用构造法转化为
特殊的数列（等差、等比数列或可利用累加、累乘求解的数列）求解.
an＋1＝pan＋f（n）型
考向1　形如an＋1＝can＋d（c≠0，1，d≠0）
已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋4，n∈N*，则an＝ .
解析：设an＋1＋t＝3（an＋t），即an＋1＝3an＋2t，又an＋1＝3an＋4，根
据对应项系数相等，解得t＝2，故an＋1＋2＝3（an＋2）.令bn＝an＋2，
则b1＝a1＋2＝3，且 ＝ ＝3，所以{bn}是以3为首项，3为公比的
等比数列，所以bn＝3×3n－1＝3n，即an＝3n－2.
3n－ 2
考向2　形如an＋1＝can＋dn＋b（c≠0，1，d≠0）
〔一题多解〕在数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝3an＋4n－6
（n∈N*），则{an}的通项公式为 .
解析：法一　设an＋1＋p（n＋1）＋q＝3（an＋pn＋q），即an＋1＝3an
＋2pn＋2q－p，与原式相比较，对应项系数相等得 解得
所以数列{an＋2n－2}是首项为a1＋2－2＝3，公比为3的等比数
列，故an＋2n－2＝3×3n－1＝3n，故an＝3n－2（n－1）.
an＝3n－2（n－1）　
法二　因为an＋1＝3an＋4n－6（n∈N*），所以an＋1＋2n＝3an＋4n－6
＋2n＝3[an＋2（n－1）]，因为a1＝3，所以a1＋2×（1－1）＝3，所以
{an＋2（n－1）}是首项为3，公比为3的等比数列，则an＋2（n－1）＝
3·3n－1＝3n，所以an＝3n－2（n－1）.
考向3　形如an＋1＝can＋dn（c≠0，1，d≠0，1）
已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N*，则数列{an}
的通项公式为（　　）
A. an＝（2n＋1）·3n B. an＝（n－1）·2n
C. an＝（2n－1）·3n D. an＝（n＋1）·2n
√
解析： 　由an＋1＝3an＋2·3n＋1得 ＝ ＋2，∴ － ＝2，即数列
{ }是首项为1，公差为2的等差数列，∴ ＝2n－1，故an＝（2n－
1）·3n.
形式 构造方法
an＋1＝can＋d 引入参数λ，构造新的等比数列{an－λ}
an＋1＝can＋dn＋b 引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y}
an＋1＝can＋dn 两边同除以dn＋1，构造新的数列{}
对数为特殊数列（an＋1＝c ）型
（1）已知数列{an}满足a1＝1， ＝10an（an＞0），则an
＝ ；
解析： 取以10为底的对数可得2lg an＋1＝lg an＋1，即lg an＋1－1＝ （lg an
－1），所以数列{lg an－1}是以lg a1－1＝－1为首项， 为公比的等比数
列，所以lg an－1＝（－1）×（ ）n－1＝－（ ）n－1，即lg an＝1－（ ）
n－1，即an＝10×（ .
10×（ 　
（2）已知数列{an}的首项为9，且an＝ ＋2an－1（n≥2），则数列
{an}的通项公式an＝ .
解析：数列{an}的首项为9，且an＝ ＋2an－1（n≥2），所以an＋1＝
（an－1＋1）2，所以两边取对数得lg（an＋1）＝2lg（an－1＋1），整理得
＝2，所以数列{lg（an＋1）}是以lg（9＋1）＝1为首项，2为
公比的等比数列.所以lg（an＋1）＝1×2n－1，所以an＝1 －1.
1 －1　
　　对于an＋1＝c 或an＋b＝c（an－1＋b）k，b为常数形式的数列，两
边通常取以c或首项为底的对数，利用待定系数法转化为等比数列求解.
倒数为特殊数列（an＋1＝ ）型
（1）已知数列{an}中，a1＝1且an＋1＝ （n∈N*），则a10＝
（　D　）
A. B.
C. － D.
D
解析： 由an＋1＝ （n∈N*）可得 ＝ ＋ ，即 － ＝ ，所
以{ }是以 ＝1为首项， 为公差的等差数列，所以 ＝1＋ ×9＝
，所以a10＝ .故选D.
（2）在数列{bn}中，b1＝－1，bn＋1＝ ，则数列{bn}的通项公式bn
＝ .
解析：bn＋1＝ 的两边同时取倒数，得 ＝ ，即 ＝ ＋
3，因此 ＋3＝2（ ＋3），又 ＋3＝2，故{ ＋3}是以2为首项，2
为公比的等比数列，于是 ＋3＝2·2n－1＝2n，可得bn＝ .
　
　　对于an＋1＝ 形式的数列，两边同时取倒数转化为 ＝ · ＋
的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型，求出 的表达式，再求an.
“不动点法”求an＋1＝ 型的通项公式
已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ ，则数列{an}的通项公式an＝
（　　）
A. － ＋3 B. － ＋2
C. D. ＋2
√
解析： 　令x＝ ，即x2－4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2，令 ＝
＋c，由a1＝1，得a2＝ ，解得c＝－1，所以数列{ }是以 ＝－1
为首项，以－1为公差的等差数列，所以 ＝－n，所以an＝－ ＋2.
　　对形如an＋1＝ （其中c≠0，ad－cb≠0）的递推式，求其通项
可采用不动点法，即令x＝ ，得cx2＋（d－a）x－b＝0，方程的两
个根分别为x1，x2：
（1）若x1＝x2，则有 ＝ ＋p（p为参数），构造等差数列
{ }求解；
（2）若x1≠x2，则有 ＝q· （q为参数），构造等比数列
{ }求解；
（3）若一元二次方程无解，则数列{an}是周期数列.
“特征根法”求an＋2＝pan＋1＋qan型的通项公式
已知数列{an}满足a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an（n∈N*），则
an＝ .
解析：an＋2＝3an＋1－2an，其特征方程为x2＝3x－2，解得x1＝1，x2＝2，
令an＝c1·1n＋c2·2n，由 得 ∴an＝1＋2n－1.
1＋2n－1　
　　特征根法求an＋2＝pan＋1＋qan型的通项公式，an＋2＝pan＋1＋qan对应
于一元二次方程x2－px－q＝0，此方程为该数列的特征根方程.
（1）若特征根方程有两个不等实根α，β，则an＝A·αn＋B·βn，A，
B由a1，a2的值决定；
（2）若特征根方程只有一个实根α，则an＝（An＋B）·αn，A，B由
a1，a2的值决定.
1. 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1（n∈N*），则
通项公式an＝（　　）
A. 2n B. 2n－1
C. 2n＋1 D. 2n
√
解析： 　因为Sn＋1－2Sn＝1，所以Sn＋1＝2Sn＋1，因此Sn＋1＋1＝2（Sn
＋1）.因为a1＝S1＝1，S1＋1＝2，所以{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等
比数列.所以Sn＋1＝2n，Sn＝2n－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，
a1＝1也满足此式，所以an＝2n－1（n∈N*）.
2. 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ ，则数列{an}的通项公式为
（　　）
A. an＝ B. an＝2－
C. an＝ D. an＝2－
√
解析： 　根据an＋1＝ ，令x＝ ，即2x2－5x＋2＝0，解得x1＝
2，x2＝ ，所以{ }是以－2为首项， 为公比的等比数列，所以
＝－2×（ ）n－1，则an＝2－ .故数列{an}的通项公式为an＝2－
.
3. 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，4an＋2＝4an＋1－an（n∈N*），则an
＝（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　4an＋2＝4an＋1－an，其特征方程为4x2＝4x－1，解得x1＝x2＝
，令an＝（c1＋nc2）（ ）n，由 得
∴an＝ .
4. 〔多选〕已知数列{an}，下列结论正确的有（　　）
A. 若a1＝2，2（n＋1）an－nan＋1＝0，则an＝n·2n
B. 在数列{an}中，a1＝1，且an＝2an－1＋3（n≥2），则数列{an}的通项
公式为an＝2n＋1－3
C. 若a1＝2，an＝ an－1＋（ ）n（n≥2），则数列{ }是等比数列
D. 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋n－1，则数列{an}的通项公式
为an＝2n－n＋1
√
√
解析： 　∵2（n＋1）an－nan＋1＝0，∴ ＝ ，∴{ }是首项为
＝2，公比为2的等比数列，∴ ＝2·2n－1＝2n，∴an＝n·2n，故A正
确；由an＝2an－1＋3（n≥2），得an＋3＝2（an－1＋3），即 ＝2，
又a1＋3＝1＋3＝4，∴数列{an＋3}是首项为4，公比为2的等比数列，
∴an＋3＝4×2n－1＝2n＋1，即an＝2n＋1－3，∴数列{an}的通项公式为an
＝2n＋1－3，故B正确；根据题意，an＝ an－1＋（ ）n －
＝1，n≥2，又 ＝6，∴{ }是首项为6，公差为1的等差数列，故C错误；设an＋1＋k（n＋1）＋b＝2（an＋kn＋b），∴an＋1＝2an＋kn＋b－k，由an＋1＝2an＋n－1，得 解得 ∴ ＝2，即{an＋n}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列.∴an＋n＝2×2n－1＝2n，故an＝2n－n，故D错误.
5. 〔多选〕已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ （n∈N*），则
（　　）
A. { }为等比数列
B. {an}的通项公式为an＝
C. {an}为递减数列
D. { }的前n项和Tn＝
√
√
√
解析： 　对于选项A，因为 ＝ ＝ ＋3，则 － ＝
3，所以数列{ }是以 ＝1为首项，3为公差的等差数列，故选项A错
误；对于选项B， ＝1＋3（n－1）＝3n－2，即an＝ ，故选项B
正确；对于选项C，根据函数y＝ 在[1，＋∞）上单调递减，又an
＝ ，n∈N*，则数列{an}为递减数列，故选项C正确；对于选项
D，数列{ }的前n项和Tn＝n×1＋ ×3＝ ，故选项D正
确，故选B、C、D.
6. 若x＝1是函数f（x）＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1（n∈N*）的极值点，
数列{an}满足a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式an＝ .
解析：f'（x）＝4an＋1x3－3anx2－an＋2，∴f'（1）＝4an＋1－3an－an＋2＝
0，即an＋2－an＋1＝3（an＋1－an），∴数列{an＋1－an}是首项为2，公比
为3的等比数列，∴an＋1－an＝2×3n－1，则an＝an－an－1＋an－1－an－2
＋…＋a2－a1＋a1＝2×3n－2＋…＋2×30＋1＝2×（30＋31＋…＋3n－3＋3n
－2）＋1＝2× ＋1＝3n－1－1＋1＝3n－1.
3n－1　
7. 已知数列{an}的各项均为正数，a1＝10且an＋1＝ （n∈N*）.若{an}
的前n项之积为Tn，试求满足Tn≤102 026的正整数n的最大值.
解：因为an＋1＝ （n∈N*），两边取常用对数，得lg an＋1＝2lg an，
所以{lg an}是以lg a1＝lg 10＝1为首项，以2为公比的等比数列，
lg an＝2n－1，an＝1 ，Tn＝a1a2a3…an＝1 ，
令Tn≤102 026，即20＋21＋22＋…＋2n－1≤2 026，
根据等比数列的求和公式， ≤2 026，
整理得2n≤2 027，又因为210＜2 027＜211，所以正整数n的最大值为10.
THANKS
演示完毕 感谢观看微专题　数列中的构造问题
　　求数列通项公式的方法除了我们前面学习过的公式法、累加法、累乘法，还有构造法，其总的思想是根据数列的递推公式，利用构造法转化为特殊的数列（等差、等比数列或可利用累加、累乘求解的数列）求解.
an＋1＝pan＋f（n）型
考向1　形如an＋1＝can＋d（c≠0，1，d≠0）
已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋4，n∈N*，则an＝　　　　.
听课记录
考向2　形如an＋1＝can＋dn＋b（c≠0，1，d≠0）
〔一题多解〕在数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝3an＋4n－6（n∈N*），则{an}的通项公式为　　　　.
听课记录
考向3　形如an＋1＝can＋dn（c≠0，1，d≠0，1）
已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为（　　）
A.an＝（2n＋1）·3n B.an＝（n－1）·2n
C.an＝（2n－1）·3n D.an＝（n＋1）·2n
听课记录
形式构造方法an＋1＝can＋d引入参数λ，构造新的等比数列{an－λ}an＋1＝can＋dn＋b引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y}an＋1＝can＋ dn两边同除以dn＋1，构造新的数列{}
对数为特殊数列（an＋1＝c）型
（1）已知数列{an}满足a1＝1，＝10an（an＞0），则an＝　　　　；
（2）已知数列{an}的首项为9，且an＝＋2an－1（n≥2），则数列{an}的通项公式an＝　　　　.
听课记录
　　对于an＋1＝c或an＋b＝c（an－1＋b）k，b为常数形式的数列，两边通常取以c或首项为底的对数，利用待定系数法转化为等比数列求解.
倒数为特殊数列（ an＋1＝）型
（1）已知数列{an}中，a1＝1且an＋1＝（n∈N*），则a10＝（　　）
A. B. C.－ D.
（2）在数列{bn}中，b1＝－1，bn＋1＝，则数列{bn}的通项公式bn＝　　　　.
听课记录
　　对于an＋1＝形式的数列，两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型，求出的表达式，再求an.
“不动点法”求an＋1＝型的通项公式
已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则数列{an}的通项公式an＝（　　）
A.－＋3 B.－＋2
C. D.＋2
听课记录
　　对形如an＋1＝（其中c≠0，ad－cb≠0）的递推式，求其通项可采用不动点法，即令x＝，得cx2＋（d－a）x－b＝0，方程的两个根分别为x1，x2： （1）若x1＝x2，则有＝＋p（p为参数），构造等差数列{}求解； （2）若x1≠x2，则有＝q·（q为参数），构造等比数列{}求解； （3）若一元二次方程无解，则数列{an}是周期数列.
“特征根法”求an＋2＝pan＋1＋qan型的通项公式
已知数列{an}满足a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an（n∈N*），则an＝　　　　.
听课记录
　　特征根法求an＋2＝pan＋1＋qan型的通项公式，an＋2＝pan＋1＋qan对应于一元二次方程x2－px－q＝0，此方程为该数列的特征根方程. （1）若特征根方程有两个不等实根α，β，则an＝A·αn＋B·βn，A，B由a1，a2的值决定； （2）若特征根方程只有一个实根α，则an＝（An＋B）·αn，A，B由a1，a2的值决定.
1.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1（n∈N*），则通项公式an＝（　　）
A.2n B.2n－1
C.2n＋1 D.2n
2.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则数列{an}的通项公式为（　　）
A.an＝ B.an＝2－
C.an＝ D.an＝2－
3.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，4an＋2＝4an＋1－an（n∈N*），则an＝（　　）
A. B.
C. D.
4.〔多选〕已知数列{an}，下列结论正确的有（　　）
A.若a1＝2，2（n＋1）an－nan＋1＝0，则an＝n·2n
B.在数列{an}中，a1＝1，且an＝2an－1＋3（n≥2），则数列{an}的通项公式为an＝2n＋1－3
C.若a1＝2，an＝an－1＋（ ）n（n≥2），则数列{}是等比数列
D.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋n－1，则数列{an}的通项公式为an＝2n－n＋1
5.〔多选〕已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝（n∈N*），则（　　）
A.{}为等比数列
B.{an}的通项公式为an＝
C.{an}为递减数列
D.{}的前n项和Tn＝
6.若x＝1是函数f（x）＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1（n∈N*）的极值点，数列{an}满足a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式an＝　　　　.
7.已知数列{an}的各项均为正数，a1＝10且an＋1＝（n∈N*）.若{an}的前n项之积为Tn，试求满足Tn≤102 026的正整数n的最大值.
微专题　数列中的构造问题
【例1】　3n－2　解析：设an＋1＋t＝3（an＋t），即an＋1＝3an＋2t，又an＋1＝3an＋4，根据对应项系数相等，解得t＝2，故an＋1＋2＝3（an＋2）.令bn＝an＋2，则b1＝a1＋2＝3，且＝＝3，所以{bn}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以bn＝3×3n－1＝3n，即an＝3n－2.
【例2】　an＝3n－2（n－1）
解析：法一　设an＋1＋p（n＋1）＋q＝3（an＋pn＋q），即an＋1＝3an＋2pn＋2q－p，与原式相比较，对应项系数相等得解得所以数列{an＋2n－2}是首项为a1＋2－2＝3，公比为3的等比数列，故an＋2n－2＝3×3n－1＝3n，故an＝3n－2（n－1）.
法二　因为an＋1＝3an＋4n－6（n∈N*），所以an＋1＋2n＝3an＋4n－6＋2n＝3[an＋2（n－1）]，因为a1＝3，所以a1＋2×（1－1）＝3，所以{an＋2（n－1）}是首项为3，公比为3的等比数列，则an＋2（n－1）＝3·3n－1＝3n，所以an＝3n－2（n－1）.
【例3】　C　由an＋1＝3an＋2·3n＋1得＝＋2，∴－＝2，即数列{}是首项为1，公差为2的等差数列，∴＝2n－1，故an＝（2n－1）·3n.
【例4】　（1）10×（
（2）1－1　解析：（1）取以10为底的对数可得2lg an＋1＝lg an＋1，即lg an＋1－1＝（lg an－1），所以数列{lg an－1}是以lg a1－1＝－1为首项，为公比的等比数列，所以lg an－1＝（－1）×（ ）n－1＝－（ ）n－1，即lg an＝1－（ ）n－1，即an＝10×（ .
（2）数列{an}的首项为9，且an＝＋2an－1（n≥2），所以an＋1＝（an－1＋1）2，所以两边取对数得lg（an＋1）＝2lg（an－1＋1），整理得＝2，所以数列{lg（an＋1）}是以lg（9＋1）＝1为首项，2为公比的等比数列.所以lg（an＋1）＝1×2n－1，所以an＝1－1.
【例5】　（1）D　（2）　解析：（1）由an＋1＝（n∈N*）可得＝＋，即－＝，所以{}是以＝1为首项，为公差的等差数列，所以＝1＋×9＝，所以a10＝.故选D.
（2）bn＋1＝的两边同时取倒数，得＝，即＝＋3，因此＋3＝2（ ＋3），又＋3＝2，故{＋3}是以2为首项，2为公比的等比数列，于是＋3＝2·2n－1＝2n，可得bn＝.
【例6】　B　令x＝，即x2－4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2，令＝＋c，由a1＝1，得a2＝，解得c＝－1，所以数列{}是以＝－1为首项，以－1为公差的等差数列，所以＝－n，所以an＝－＋2.
【例7】　1＋2n－1　解析：an＋2＝3an＋1－2an，其特征方程为x2＝3x－2，解得x1＝1，x2＝2，令an＝c1·1n＋c2·2n，由得∴an＝1＋2n－1.
强化训练
1.B　2.B
3.B　4an＋2＝4an＋1－an，其特征方程为4x2＝4x－1，解得x1＝x2＝，令an＝（c1＋nc2）（ ）n，
由
得∴an＝.
4.AB　∵2（n＋1）an－nan＋1＝0，∴＝，∴{}是首项为＝2，公比为2的等比数列，∴＝2·2n－1＝2n，∴an＝n·2n，故A正确；由an＝2an－1＋3（n≥2），得an＋3＝2（an－1＋3），即＝2，又a1＋3＝1＋3＝4，∴数列{an＋3}是首项为4，公比为2的等比数列，∴an＋3＝4×2n－1＝2n＋1，即an＝2n＋1－3，∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋1－3，故B正确；根据题意，an＝an－1＋（ ）n －＝1，n≥2，又＝6，∴{}是首项为6，公差为1的等差数列，故C错误；设an＋1＋k（n＋1）＋b＝2（an＋kn＋b），∴an＋1＝2an＋kn＋b－k，由an＋1＝2an＋n－1，得解得∴＝2，即{an＋n}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列.∴an＋n＝2×2n－1＝2n，故an＝2n－n，故D错误.
5.BCD　对于选项A，因为＝＝＋3，则－＝3，所以数列{}是以＝1为首项，3为公差的等差数列，故选项A错误；对于选项B，＝1＋3（n－1）＝3n－2，即an＝，故选项B正确；对于选项C，根据函数y＝在[1，＋∞）上单调递减，又an＝，n∈N*，则数列{an}为递减数列，故选项C正确；对于选项D，数列{}的前n项和Tn＝n×1＋×3＝，故选项D正确，故选B、C、D.
6.3n－1　解析：f'（x）＝4an＋1x3－3anx2－an＋2，∴f'（1）＝4an＋1－3an－an＋2＝0，即an＋2－an＋1＝3（an＋1－an），∴数列{an＋1－an}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＋1－an＝2×3n－1，则an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1＝2×3n－2＋…＋2×30＋1＝2×（30＋31＋…＋3n－3＋3n－2）＋1＝2×＋1＝3n－1－1＋1＝3n－1.
7.解：因为an＋1＝（n∈N*），两边取常用对数，得lg an＋1＝2lg an，
所以{lg an}是以lg a1＝lg 10＝1为首项，以2为公比的等比数列，
lg an＝2n－1，an＝1，Tn＝a1a2a3…an＝1，
令Tn≤102 026，即20＋21＋22＋…＋2n－1≤2 026，
根据等比数列的求和公式，≤2 026，
整理得2n≤2 027，又因为210＜2 027＜211，所以正整数n的最大值为10.
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