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微专题　放缩法证明数列不等式
　　数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式结合，难度中等偏上，其核心技能是放缩技巧的应用.放缩常采用下列两种方法：先求和再放缩、先放缩再求和.
先求和再放缩
（2025·广东广州二模）设Sn为数列{an}的前n项和，且an是Sn和8的等差中项.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn＝log2an，数列{}的前n项和为Tn，证明：≤Tn＜.
　　对于含有数列和的不等式的证明问题，若数列的和易于求出，则一般采用先求和再放缩的策略证明不等式.
先放缩再求和
设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，2Sn＝n2＋n（n∈N*）.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：＋＋＋…＋＞9.
　　若数列的和不易求出，可根据项的特征先放缩再求和，常见的放缩技巧如下： （1）对的放缩（下列n∈N*）： ＜＝－（n≥2）； ＜＝（ －）（n≥2）； ＝＜＝2（ －）（n≥1）. （2）对的放缩（下列n∈N*）： ＞＝－（n≥1）； ＜＝－（n≥1）. （3）对的放缩（下列n∈N*）： ＜（n≥2）； ＜＝－（n≥3）.
1.求证：＋＋＋…＋＜1（n∈N*）.
2.已知函数f（x）＝2sinx，把方程｜f（x）｜＝2的正数解从小到大依次排成一列，得到数列{an}，n∈N*.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn＝，设数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜.
微专题　放缩法证明数列不等式
【例1】　解：（1）因为an是Sn和8的等差中项，
所以an＝，即Sn＝2an－8， ①
当n＝1时，S1＝2a1－8，得a1＝8.
当n≥2时，Sn－1＝2an－1－8， ②
①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，得an＝2an－1，即＝2.
所以数列{an}是首项为8，公比为2的等比数列.
所以an＝8×2n－1＝2n＋2.
（2）证明：因为bn＝log2an＝log22n＋2＝n＋2，得＝＝－，
所以Tn＝＋＋…＋＝（ －）＋（ －）＋…＋（ －）＝－.
由于n≥1，得0＜≤，得≤－＜，所以≤Tn＜.
【例2】　解：（1）因为2Sn＝n2＋n， ①
当n≥2时，2Sn－1＝（n－1）2＋n－1， ②
①－②得2an＝n2＋n－（n－1）2－（n－1）＝2n，即an＝n，
又a1＝1，满足an＝n，所以an＝n.
（2）证明：因为＝＞＝－，
所以＋＋…＋＝＋＋…＋＞－1＋－＋…＋－＝－1＝9，
即＋＋＋…＋＞9.
强化训练
1.证明：∵＜，
∴左边＜＋＋＋…＋＝＝1－＜1＝右边，
∴＋＋＋…＋＜1（n∈N*）.
2.解：（1）因为f（x）＝2sinx，
令｜f（x）｜＝2，即｜sinx｜＝1，
所以x＝kπ＋，k∈Z，
解得x＝2k＋1（k∈Z），
所以方程｜f（x）｜＝2的正数解从小到大依次为1，3，5，7，…，所以an＝2n－1.
（2）证明：由（1）知bn＝＝＝＜＝（ －），
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＜（ 1－＋－＋…＋－）＝（ 1－）＜.
故Tn＜.
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微专题　放缩法证明数列不等式
　　数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式结合，难度中等
偏上，其核心技能是放缩技巧的应用.放缩常采用下列两种方法：先求和
再放缩、先放缩再求和.
先求和再放缩
（2025·广东广州二模）设Sn为数列{an}的前n项和，且an是Sn和8的
等差中项.
（1）求数列{an}的通项公式；
①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，得an＝2an－1，即 ＝2.
所以数列{an}是首项为8，公比为2的等比数列.
所以an＝8×2n－1＝2n＋2.
解： 因为an是Sn和8的等差中项，
所以an＝ ，即Sn＝2an－8，　①
当n＝1时，S1＝2a1－8，得a1＝8.
当n≥2时，Sn－1＝2an－1－8，　②
（2）令bn＝log2an，数列{ }的前n项和为Tn，证明： ≤Tn＜ .
解：证明：因为bn＝log2an＝log22n＋2＝n＋2，得 ＝ ＝
－ ，
所以Tn＝ ＋ ＋…＋ ＝（ － ）＋（ － ）＋…＋（ －
）＝ － .
由于n≥1，得0＜ ≤ ，得 ≤ － ＜ ，所以 ≤Tn＜ .
　　对于含有数列和的不等式的证明问题，若数列的和易于求出，则一般
采用先求和再放缩的策略证明不等式.
先放缩再求和
设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，2Sn＝n2＋n（n∈N*）.
（1）求数列{an}的通项公式；
解： 因为2Sn＝n2＋n，　①
当n≥2时，2Sn－1＝（n－1）2＋n－1，　②
①－②得2an＝n2＋n－（n－1）2－（n－1）＝2n，即an＝n，
又a1＝1，满足an＝n，所以an＝n.
（2）证明： ＋ ＋ ＋…＋ ＞9.
解：证明：因为 ＝ ＞ ＝ － ，
所以 ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋…＋ ＞ －1＋ －
＋…＋ － ＝ －1＝9，
即 ＋ ＋ ＋…＋ ＞9.
　　若数列的和不易求出，可根据项的特征先放缩再求和，常见的放缩技
巧如下：
（1）对 的放缩（下列n∈N*）：
＜ ＝ － （n≥2）；
＜ ＝ （ － ）（n≥2）；
＝ ＜ ＝2（ － ）（n≥1）.
（2）对 的放缩（下列n∈N*）：
＞ ＝ － （n≥1）；
＜ ＝ － （n≥1）.
（3）对 的放缩（下列n∈N*）：
＜ （n≥2）；
＜ ＝ － （n≥3）.
1. 求证： ＋ ＋ ＋…＋ ＜1（n∈N*）.
证明：∵ ＜ ，
∴左边＜ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＝1－ ＜1＝右边，
∴ ＋ ＋ ＋…＋ ＜1（n∈N*）.
2. 已知函数f（x）＝2 sin x，把方程｜f（x）｜＝2的正数解从小到大
依次排成一列，得到数列{an}，n∈N*.
（1）求数列{an}的通项公式；
解： 因为f（x）＝2 sin x，
令｜f（x）｜＝2，即｜ sin x｜＝1，
所以 x＝kπ＋ ，k∈Z，
解得x＝2k＋1（k∈Z），
所以方程｜f（x）｜＝2的正数解从小到大依次为1，3，5，7，…，所以
an＝2n－1.
（2）记bn＝ ，设数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜ .
解： 证明：由（1）知bn＝ ＝ ＝ ＜ ＝
（ － ），
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＜ （1－ ＋ － ＋…＋ － ）＝ （1－
）＜ .
故Tn＜ .
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