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微专题　几何图形与数列
　　
几何图形与数列
教材母题：〔人A选二P38例10〕如图，正方形ABCD的边长为5 cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去. （1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和； （2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和将趋近于多少？
细研教材：该问题是几何图形与数列交汇的代表，几何图形与数列的关系十分密切，可以通过数列相关知识求解几何问题，反过来数列问题有时也可用几何问题去解决.
〔一题多解〕试探究13＋23＋…＋n3＝［］2.
1.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形（图1）的边长为1，把图1、图2、图3、图4中图形的周长依次记为C1，C2，C3，C4，则C4＝（　　）
A. B.
C. D.
2.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”.若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为（　　）
A. B.
C. D.
3.（2026·陕西商洛模拟）第七届国际数学教育大会的会徽图案是由若干个三角形组成的，如图所示，作Rt△AOB，OA＝1，∠AOB＝30°，再依次作相似△BOC，△COD，△DOE，…，直至最后一个三角形的斜边OM与OA第一次重叠为止.则所作的所有三角形的面积和为（　　）
A.［（ ）11－1］ B.［（ ）11－1］
C.［（ ）12－1］ D.［（ ）12－1］
4.一个弹性小球从10 m处自由落下，着地后反弹到原来高度的处，再自由落下，又弹回到上一次高度的处，假设这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程约为（　　）
A.50 B.80
C.90 D.100
5.试探究12＋22＋32＋…＋n2＝.
微专题　几何图形与数列
衔接教材
教材母题　解：设正方形ABCD的面积为a1，后继各正方形的面积依次为a2，a3，…，an，…，
则a1＝25.
由于第k＋1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以ak＋1＝ak.
因此，{an}是以25为首项，为公比的等比数列.
设{an}的前n项和为Sn.
（1）S10＝＝50×［1－（ ）10］＝.
所以，前10个正方形的面积之和为 cm2.
（2）当n无限增大时，Sn无限趋近于所有正方形的面积和a1＋a2＋a3＋…＋an＋….
而Sn＝＝50［1－（ ）n］，
随着n的无限增大，（ ）n将趋近于0，Sn将趋近于50.
所以，这些正方形的面积之和将趋近于50 cm2.
【例】　解：法一　本题中令an＝n3，Sn＝［］2，将证明原式转化为证明Sn－Sn－1＝［］2－［］2＝n3＝an，
这个等式显然成立，证明过程如下：
［］2－［］2＝n2[（n＋1）2－（n－1）2]＝n2·4n＝n3，
所以原式左边＝1＋［（ ）2－（ ）2］＋［（ ）2－（ ）2］＋…＋{［］2－［］2}＝右边，得证.
法二　13＋23＋33＋…＋n3＝［］2，
其中13可表示为1个边长为1的正方形的面积，
23可表示为8个边长为1的正方形的面积，
33可表示为27个边长为1的正方形的面积，…，将所有正方形摆放在一起，如图，则所有正方形的面积为13＋23＋33＋…＋n3＝（1＋2＋3＋…＋n）2＝［］2.
强化训练
1.B　2.C　3.D　
4.C　由题意知小球第n次反弹落地所经过的路程为2×10×，则这个小球在这次运动中所经过的总路程为Sn＝2×10＋2×10×＋2×10×（ ）2＋2×10×（ ）3＋…＋2×10×（ ）n－10＝－10＝100［1－（ ）n＋1］－10，假设这个小球能无限次反弹，即当n→＋∞时，（ ）n＋1→0，Sn→90.故选C.
5.解：将12＋22＋32＋…＋n2放在一个正三角形中，如图，将第一个三角形顺时针旋转两次，得到图中第二、第三个三角形.通过观察可以发现，这三个三角形每一行的数之和均为2n＋1的整数倍，而这个倍数恰好是所在的行数.
于是可以求得三个三角形所有数的和为（2n＋1）×（1＋2＋3＋…＋n）＝.
所以一个三角形内所有数的和为，
即12＋22＋32＋…＋n2＝.
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微专题　几何图形与数列
几何图形与数列
教材母题：〔人A选二P38例10〕如图，正方形ABCD的边长为5 cm，取正
方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取
正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法
一直继续下去.
（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
（1）S10＝ ＝50×［1－（ ）10］＝ .
所以，前10个正方形的面积之和为 cm2.
解：设正方形ABCD的面积为a1，后继各正方形的面积依次为a2，
a3，…，an，…，则a1＝25.
由于第k＋1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以ak＋1＝
ak.
因此，{an}是以25为首项， 为公比的等比数列.
设{an}的前n项和为Sn.
（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和
将趋近于多少？
解：当n无限增大时，Sn无限趋近于所有正方形的面积和a1＋a2＋a3＋…
＋an＋….
而Sn＝ ＝50［1－（ ）n］，
随着n的无限增大，（ ）n将趋近于0，Sn将趋近于50.
所以，这些正方形的面积之和将趋近于50 cm2.
细研教材：该问题是几何图形与数列交汇的代表，几何图形与数列的关系
十分密切，可以通过数列相关知识求解几何问题，反过来数列问题有时也
可用几何问题去解决.
〔一题多解〕试探究13＋23＋…＋n3＝［ ］2.
解：法一　本题中令an＝n3，Sn＝［ ］2，将证明原式转化为证
明Sn－Sn－1＝［ ］2－［ ］2＝n3＝an，
这个等式显然成立，证明过程如下：
［ ］2－［ ］2＝ n2[（n＋1）2－（n－1）2]＝ n2·4n
＝n3，
所以原式左边＝1＋［（ ）2－（ ）2］＋［（ ）2－（ ）2］
＋…＋{［ ］2－［ ］2}＝右边，得证.
法二　13＋23＋33＋…＋n3＝［ ］2，
其中13可表示为1个边长为1的正方形的面积，
23可表示为8个边长为1的正方形的面积，
33可表示为27个边长为1的正方形的面积，…，将所有正方形摆放在一起，
如图，则所有正方形的面积为13＋23＋33＋…＋n3＝（1＋2＋3＋…＋n）2
＝［ ］2.
1. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形
的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中
间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就
得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形（图1）的边长为1，把图1、图
2、图3、图4中图形的周长依次记为C1，C2，C3，C4，则C4＝（　　）
√
解析： 　观察题图发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前
一个图形的周长的基础上多了前一个图形周长的 ，即Cn＝Cn－1＋ Cn－1
＝ Cn－1（n∈N*，n≥2），所以{Cn}为首项为C1＝3，公比为 的等比数
列，所以C4＝3×（ ）3＝ .故选B.
2. 如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连
接正方形，…，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”.若某
勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为 ，则其最小正方
形的边长为（　　）
√
解析： 　由题意，得正方形的边长构成以 为首项， 为公比的等比数
列，现已知共含有1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n－1＝1 023，所以n＝
10，所以最小正方形的边长为（ ）10＝ .
3. （2026·陕西商洛模拟）第七届国际数学教育大会的会徽图案是由若干
个三角形组成的，如图所示，作Rt△AOB，OA＝1，∠AOB＝30°，再依
次作相似△BOC，△COD，△DOE，…，直至最后一个三角形的斜边OM
与OA第一次重叠为止.则所作的所有三角形的面积和为（　　）
√
解析： 　因为 ＝12，设第n（n∈N*，1≤n≤12）个三角形的斜边
长为an，面积为bn，由题意可知：a1＝ ＝ ，an＋1＝ ＝
an，bn＝ × an× an＝ ，又b1＝ ≠0， ＝ ＝
＝ ，可知数列{bn}是首项为 ，公比为 的等比数列，所以所
作的所有三角形的面积和为 ＝ ［（ ）12－1］.故选D.
4. 一个弹性小球从10 m处自由落下，着地后反弹到原来高度的 处，再自
由落下，又弹回到上一次高度的 处，假设这个小球能无限次反弹，则这
个小球在这次运动中所经过的总路程约为（　　）
A. 50 B. 80
C. 90 D. 100
√
解析： 　由题意知小球第n次反弹至落地经过的路程为2×10× ，则
这个小球在这次运动中所经过的总路程为Sn＝2×10＋2×10× ＋2×10×
（ ）2＋2×10×（ ）3＋…＋2×10×（ ）n－10＝ －
10＝100［1－（ ）n＋1］－10，假设这个小球能无限次反弹，即当n→＋
∞时，（ ）n＋1→0，Sn→90.故选C.
5. 试探究12＋22＋32＋…＋n2＝ .
解：将12＋22＋32＋…＋n2
放在一个正三角形中，如
图，将第一个三角形顺时针
旋转两次，得到图中第二、第三个三角形.通过观察可以发现，这三个三角形每一行的数之和均为2n＋1的整数倍，而这个倍数恰好是所在的行数.
于是可以求得三个三角形所有数的和为（2n＋1）×（1＋2＋3＋…＋n）＝ .所以一个三角形内所有数的和为 ，
即12＋22＋32＋…＋n2＝ .
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