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重难专攻8　数列的奇偶项问题
（时间：45分钟，满分：66分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.已知函数f（n）＝且an＝f（n）＋f（n＋1），则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝（　　）
A.0 B.100
C.－100 D.10 200
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.已知数列{an}满足a1＝1，前n项和为Sn，an＋1·an＝2n（n∈N*），则S2 026＝（　　）
A.22 026－1 B.3×21 013－1
C.3×21 013－2 D.3×21 013－3
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3.〔多选〕已知数列{an}满足a1＝1，an＋2＝（－1）n＋1·（an－n）＋n，记{an}的前n项和为Sn，则（　　）
A.a48＋a50＝100 B.a50－a46＝4
C.S48＝600 D.S49＝601
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4.已知数列{an}，{bn}，其中{an}是各项均为正数的等比数列，满足3a1＋a2＝18，＝9a1a5，则{an}的通项公式为　　　　；若bn＝则数列{bn}的前2n项和S2n＝　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5.（15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＝2，且an是2与Sn的等差中项.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝（－1）n·log2a2n＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.
6.（15分）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝
（1）记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；
（2）求{an}的前20项和S20.
7.（15分）（2026·河北衡水调研）已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋4n（n∈N*）.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{cn}满足cn＋1＋cn＝an，且不等式cn＋2n2≥0对任意的n∈N*都成立，求c1的取值范围.
重难专攻8　数列的奇偶项问题
1.B　2.D　
3.BCD　因为a1＝1，an＋2＝（－1）n＋1·（an－n）＋n，所以当n为奇数时，an＋2＝an＝a1＝1；当n为偶数时，an＋an＋2＝2n.所以a48＋a50＝96，A错误；又因为a46＋a48＝92，所以a50－a46＝4，B正确；S48＝a1＋a3＋a5＋…＋a47＋[（a2＋a4）＋（a6＋a8）＋…＋（a46＋a48）]＝24×1＋2×（2＋6＋…＋46）＝24＋2×＝600，C正确；S49＝S48＋a49＝600＋1＝601，D正确.故选B、C、D.
4.an＝3n　2n2＋n－＋　解析：设等比数列{an}的公比为q，因为＝9a1a5＝9，所以a4＝3a3，所以q＝＝3，所以3a1＋a2＝6a1＝18，所以a1＝3，所以an＝a1qn－1＝3n.当n是奇数时，bn＝an＝3n，当n是偶数时，bn＝2log3an－1＝2n－1，所以bn＝所以S2n＝（b1＋b3＋…＋b2n－1）＋（b2＋b4＋…＋b2n）＝（3＋33＋35＋…＋32n－1）＋[3＋7＋11＋…＋（4n－1）]＝＋＝＋n（2n＋1）＝2n2＋n－＋.
5.解：（1）因为an是2与Sn的等差中项，
所以2an＝Sn＋2， ①
当n≥2时，2an－1＝Sn－1＋2， ②
①－②得2an－2an－1＝an，
所以an＝2an－1（n≥2），
又a1＝2，所以{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n.
（2）bn＝（－1）n·log2a2n＋1＝（－1）n·（2n＋1），
当n为偶数时，
Tn＝（b1＋b2）＋（b3＋b4）＋…＋（bn－1＋bn）＝（－3＋5）＋（－7＋9）＋…＋[－（2n－1）＋（2n＋1）]＝2＋2＋…＋2＝2·＝n；
当n为奇数时，Tn＝b1＋（b2＋b3）＋（b4＋b5）＋…＋（bn－1＋bn）＝－3＋（－2）＋（－2）＋…＋（－2）＝－3＋（－2）·＝－n－2.
综上所述，数列{bn}的前n项和
Tn＝
6.解：（1）因为bn＝a2n，且a1＝1，an＋1＝
所以b1＝a2＝a1＋1＝2，
b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5.
因为bn＝a2n，所以bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3，
所以bn＋1－bn＝a2n＋3－a2n＝3，
所以数列{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列，所以bn＝2＋3（n－1）＝3n－1，n∈N*.
（2）因为an＋1＝
所以k∈N*时，a2k＝a2k－1＋1＝a2k－1＋1，即a2k＝a2k－1＋1， ①
a2k＋1＝a2k＋2， ②
a2k＋2＝a2k＋1＋1＝a2k＋1＋1，即a2k＋2＝a2k＋1＋1， ③
所以①＋②得a2k＋1＝a2k－1＋3，即a2k＋1－a2k－1＝3，
所以数列{an}的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
②＋③得a2k＋2＝a2k＋3，即a2k＋2－a2k＝3，
又a2＝2，所以数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列.
所以数列{an}的前20项和S20＝（a1＋a3＋a5＋…＋a19）＋（a2＋a4＋a6＋…＋a20）＝10＋×3＋20＋×3＝300.
7.解：（1）由题意得，当n＝1时，a1＝S1＝5；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋4n－（n－1）2－4（n－1）＝2n＋3，
当n＝1时，a1＝5适合上式，故数列{an}的通项公式为an＝2n＋3.
（2）由（1）知，cn＋1＋cn＝2n＋3，
当n＝1时，c2＋c1＝5；
当n≥2时，cn＋cn－1＝2（n－1）＋3，
两式相减得cn＋1－cn－1＝2（n≥2），
∴数列{c2n}是以c2为首项，公差为2的等差数列，
数列{c2n－1}是以c1为首项，公差为2的等差数列.
当n为偶数时，cn＝c2＋2×（ －1）＝n＋3－c1；
当n为奇数时，cn＝c1＋2×（ －1）＝n－1＋c1，
∴cn＝k∈N*.
∵对任意的n∈N*，都有cn＋2n2≥0成立，
①当n为奇数时，n≥1，cn＋2n2＝n－1＋c1＋2n2≥0恒成立，
即－c1≤2n2＋n－1对n为奇数恒成立，
当n＝1时，（2n2＋n－1）min＝2，
∴－c1≤2，即c1≥－2；
②当n为偶数时，n≥2，
cn＋2n2＝n＋3－c1＋2n2≥0恒成立，
即c1≤2n2＋n＋3对n为偶数恒成立，
当n＝2时，（2n2＋n＋3）min＝13，
∴c1≤13.
综上所述，c1的取值范围是[－2，13].
1 / 1重难专攻8　数列的奇偶项问题
　　数列的奇偶项问题主要考查学生的综合运用能力与探究问题能力，考查形式既有小题，也有解答题，解决此类问题的难点在于搞清数列中奇数项和偶数项各自的首项、项数、公差、公比等，特别注意分类讨论思想在解题中的灵活运用.
　　
已知奇偶项
（师生共研过关）
（2023·新高考Ⅱ卷18题节选）已知an＝2n＋3，bn＝记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，证明：当n＞5时，Tn＞Sn.
1.已知数列的奇偶项求前n项和的策略 （1）当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，其中奇数项、偶数项各有项，可直接分组求和，即Sn＝（a1＋a3＋…＋an－3＋an－1）＋（a2＋a4＋…＋an－2＋an）； （2）当n为奇数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an Sn＝Sn－1＋an，其中Sn－1可利用上述结论代入，然后再快速求解Sn＝Sn－1＋an. 2.对于递推关系分奇偶不同的数列，可以利用a2n，a2n－1及a2n－1，a2n－2，推导出偶数项递推关系，求出偶数项的通项公式，通过a2n，a2n－1的关系再推出奇数项的通项公式.求Sn时，可以先把a2n＋a2n－1看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.
训练1 已知数列{an}，a1＝1，an＋1＝
（1）是否存在实数λ，使得数列{a2n－λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；
（2）求数列{an}的前2k－1项和S2k－1.
通项含有（－1）n型
（师生共研过关）
已知数列{an}满足an＝（－1）nn（n＋1），求数列{an}的前n项和Sn.
　　对n分奇、偶进行讨论，转化为相邻两项和或差求解.当项数不确定时，要分奇数和偶数讨论求解.
训练2 （2026·陕西安康模拟）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＋2a3＝13，S6＝36.
（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn＝（－1）nan＋[（－1）n＋1]2n，求{bn}的前2n项和T2n.
通项含有三角函数型
（师生共研过关）
已知数列{an}满足an＝2n－1，设bn＝an·cos nπ，试求数列{bn}的前n项和Sn.
　　当已知条件中含有三角函数时，如本例中的cos nπ＝（－1）n，需等价转化，常用的三角函数等价转化有：（1）cos nπ＝（－1）n；（2）sin＝（－1）n＋1.
训练3 已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝（an－1），n∈N*.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn＝an·sin，求数列{bn}的前100项的和T100.
数列中连续两项和或积问题
（师生共研过关）
已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＋an＝4n.
（1）求数列{an}的前100项和S100；
（2）求数列{an}的通项公式.
1.若an·an－1＝qn，则an＋1·an＝qn＋1，相除得＝q.当n为奇数时，数列为以a1为首项，q为公比的等比数列；当n为偶数时，数列为以a2为首项，q为公比的等比数列. 2.若an＋an－1＝dn，则an＋1＋an＝d（n＋1），相减得an＋1－an－1＝d.当n为奇数时，数列为以a1为首项，d为公差的等差数列；当n为偶数时，数列为以a2为首项，d为公差的等差数列.
训练4 在数列{an}中，已知a1＝1，an·an＋1＝（ ）n，记Sn为{an}的前n项和.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求Sn.
重难专攻8　数列的奇偶项问题
考点1
【例1】　证明：由an＝2n＋3，得Sn＝＝＝n2＋4n，
bn＝
若n为偶数，则
Tn＝（b1＋b3＋…＋bn－1）＋（b2＋b4＋…＋bn）＝（a1－6＋a3－6＋…＋an－1－6）＋（2a2＋2a4＋…＋2an）＝（5＋9＋…＋2n＋1－3n）＋2（7＋11＋…＋2n＋3）＝－3n＋2×＝n2＋n.
所以当n＞5时，Tn－Sn＝n2＋n－（n2＋4n）＝n2－n＝n（n－1）＞0，
即Tn＞Sn.
若n为奇数，则n－1为偶数，则
Tn＝Tn－1＋bn＝（n－1）2＋（n－1）＋2n＋3－6＝n2＋n－5.
所以当n＞5时，
Tn－Sn＝n2＋n－5－（n2＋4n）＝n2－n－5＝（n2－3n－10）＝（n＋2）（n－5）＞0，
即Tn＞Sn.
综上可得，当n＞5时，Tn＞Sn.
训练1　解：（1）由题意得a2n＋2＝a2n＋1＋2n＋1＝（a2n－6n）＋2n＋1，
∴a2n＋2＝a2n＋1，故a2n＋2－＝（ a2n－），
又a2＝＋1＝，∴a2－＝－，
即存在λ＝，使得数列{a2n－λ}是以－为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）知a2n－＝－（ ）n－1＝－，
∴a2n＝－，
∵a2n＝a2n－1＋1＝a2n－1＋2n－1，得a2n－1＝3a2n－3（2n－1），
∴a2n＋a2n－1＝4a2n－6n＋3＝－－6n＋9.
当n＝2k时，S2k＝（a1＋a2）＋（a3＋a4）＋…＋（a2k－1＋a2k）
＝－2（ ＋＋…＋）＋
＝－3k2＋6k－1；
故当n＝2k－1时，S2k－1＝S2k－a2k＝·－3k2＋6k－.
考点2
【例2】　解：因为an＝（－1）nn（n＋1），
当n为偶数时，Sn＝（－1）×2＋2×3＋（－3）×4＋4×5＋…＋[－（n－1）×n]＋n×（n＋1）
＝2×（－1＋3）＋4×（－3＋5）＋…＋n[－（n－1）＋n＋1]
＝2×（2＋4＋…＋n）
＝2×＝；
当n（n≥3）为奇数时，Sn＝Sn－1－n（n＋1）＝－n（n＋1）＝－，
经检验，n＝1也满足上式.
综上，Sn＝
训练2　解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
由a2＋2a3＝13，S6＝36，
得解得
所以{an}的通项公式为an＝2n－1.
（2）由（1）得bn＝（－1）n（2n－1）＋[（－1）n＋1]2n，
当n为奇数时，bn＝（－1）n（2n－1）＋[（－1）n＋1]·2n＝－（2n－1），
当n为偶数时，bn＝（－1）n（2n－1）＋[（－1）n＋1]·2n＝（2n－1）＋2n＋1，
所以T2n＝（a2－a1）＋（a4－a3）＋…＋（a2n－a2n－1）＋（23＋25＋…＋22n＋1）＝2n＋＝＋2n.
考点3
【例3】　解：由题意可得bn＝（2n－1）·cos nπ＝（－1）n·（2n－1），
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝－1＋3－5＋7＋…＋（－1）n（2n－1），
当n为偶数时，Sn＝2·＝n；
当n为奇数时，Sn＝Sn－1＋bn＝n－1－（2n－1）＝－n.
综上所述，Sn＝
训练3　解：（1）当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（an－1）－（an－1－1），整理得＝－2，
又a1＝S1＝（a1－1），得a1＝－2，
所以数列{an}是以－2为首项，－2为公比的等比数列，
则an＝（－2）n，n∈N*.
（2）当n＝4k，k∈N*时，b4k＝（－2）4k·sin＝0，
当n＝4k－1，k∈N*时，b4k－1＝（－2）4k－1·sin＝24k－1，
当n＝4k－2，k∈N*时，b4k－2＝（－2）4k－2·sin＝0，
当n＝4k－3，k∈N*时，b4k－3＝（－2）4k－3·sin＝－24k－3，则T100＝b1＋b2＋b3＋…＋b100＝－（2＋25＋…＋297）＋（23＋27＋…＋299）＝－＋＝.
考点4
【例4】　解：（1）因为an＋1＋an＝4n，
所以S100＝（a1＋a2）＋（a3＋a4）＋…＋（a99＋a100）＝4×1＋4×3＋…＋4×99＝4×（1＋3＋5＋…＋99）＝4×502＝10 000.
（2）由题意，an＋1＋an＝4n， ①
an＋2＋an＋1＝4（n＋1）， ②
由②－①得，an＋2－an＝4.
因为a1＝1，a1＋a2＝4，所以a2＝3，所以数列{an}的奇数项与偶数项都是公差为4的等差数列.
当n为奇数时，an＝a1＋（ －1）×4＝2n－1；
当n为偶数时，an＝a2＋（ －1）×4＝2n－1.
综上所述，an＝2n－1.
训练4　解：（1）∵an·an＋1＝（ ）n，
∴an＋1·an＋2＝（ ）n＋1，
∴＝，即an＋2＝an，
又a1＝1，a2＝，
∴数列{a2n}是以为首项，为公比的等比数列，数列{a2n－1}是以1为首项，为公比的等比数列，
∴当n为奇数时，an＝（ ；
当n为偶数时，an＝（ ，
∴数列{an}的通项公式为an＝
（2）①当n＝2k时，S2k＝（a1＋a3＋…＋a2k－1）＋（a2＋a4＋…＋a2k）＝3－.
②当n＝2k－1时，S2k－1＝S2k－a2k＝3－－＝3－.
∴Sn＝
1 / 1(共40张PPT)
重难专攻8　数列的奇偶项问题
重难解读
　　数列的奇偶项问题主要考查学生的综合运用能力与探究问题能力，考查形式既有小题，也有解答题，解决此类问题的难点在于搞清数列中奇数项和偶数项各自的首项、项数、公差、公比等，特别注意分类讨论思想在解题中的灵活运用.
已知奇偶项（师生共研过关）
（2023·新高考Ⅱ卷18题节选）已知an＝2n＋3，bn＝
记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，证明：
当n＞5时，Tn＞Sn.
证明：由an＝2n＋3，得Sn＝ ＝ ＝n2＋4n，
bn＝
若n为偶数，则
Tn＝（b1＋b3＋…＋bn－1）＋（b2＋b4＋…＋bn）＝（a1－6＋a3－6
＋…＋an－1－6）＋（2a2＋2a4＋…＋2an）＝（5＋9＋…＋2n＋1－
3n）＋2（7＋11＋…＋2n＋3）＝ －3n＋
2× ＝ n2＋ n.
所以当n＞5时，Tn－Sn＝ n2＋ n－（n2＋4n）＝ n2－ n＝ n（n－
1）＞0，
即Tn＞Sn.
若n为奇数，则n－1为偶数，则
Tn＝Tn－1＋bn＝ （n－1）2＋ （n－1）＋2n＋3－6＝ n2＋ n－5.
所以当n＞5时，
Tn－Sn＝ n2＋ n－5－（n2＋4n）＝ n2－ n－5＝ （n2－3n－10）＝
（n＋2）（n－5）＞0，
即Tn＞Sn.
综上可得，当n＞5时，Tn＞Sn.
1. 已知数列的奇偶项求前n项和的策略
（1）当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，其中奇数项、偶数
项各有 项，可直接分组求和，即Sn＝（a1＋a3＋…＋an－3＋an－1）＋
（a2＋a4＋…＋an－2＋an）；
（2）当n为奇数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an Sn＝Sn－1＋an，其
中Sn－1可利用上述结论代入，然后再快速求解Sn＝Sn－1＋an.
2. 对于递推关系分奇偶不同的数列，可以利用a2n，a2n－1及a2n－1，a2n－
2，推导出偶数项递推关系，求出偶数项的通项公式，通过a2n，a2n－1的关
系再推出奇数项的通项公式.求Sn时，可以先把a2n＋a2n－1看作一项，求
出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.
训练1 已知数列{an}，a1＝1，an＋1＝
（1）是否存在实数λ，使得数列{a2n－λ}是等比数列？若存在，求出λ
的值；若不存在，请说明理由；
解： 由题意得a2n＋2＝ a2n＋1＋2n＋1＝ （a2n－6n）＋2n＋1，
∴a2n＋2＝ a2n＋1，故a2n＋2－ ＝ （a2n－ ），
又a2＝ ＋1＝ ，∴a2－ ＝－ ，
即存在λ＝ ，使得数列{a2n－λ}是以－ 为首项， 为公比的等比数列.
（2）求数列{an}的前2k－1项和S2k－1.
解：由（1）知a2n－ ＝－ （ ）n－1＝－ ，
∴a2n＝ － ，
∵a2n＝a2n－1＋1＝ a2n－1＋2n－1，得a2n－1＝3a2n－3（2n－1），
∴a2n＋a2n－1＝4a2n－6n＋3＝－ －6n＋9.
当n＝2k时，S2k＝（a1＋a2）＋（a3＋a4）＋…＋（a2k－1＋a2k）
＝－2（ ＋ ＋…＋ ）＋
＝ －3k2＋6k－1；
故当n＝2k－1时，S2k－1＝S2k－a2k＝ · －3k2＋6k－ .
通项含有（－1）n型（师生共研过关）
已知数列{an}满足an＝（－1）nn（n＋1），求数列{an}的前n项和Sn.
解：因为an＝（－1）nn（n＋1），
当n为偶数时，Sn＝（－1）×2＋2×3＋（－3）×4＋4×5＋…＋[－（n
－1）×n]＋n×（n＋1）
＝2×（－1＋3）＋4×（－3＋5）＋…＋n[－（n－1）＋n＋1]
＝2×（2＋4＋…＋n）
＝2× ＝ ；
当n（n≥3）为奇数时，Sn＝Sn－1－n（n＋1）＝ －n（n＋
1）＝－ ，
经检验，n＝1也满足上式.
综上，Sn＝
　　对n分奇、偶进行讨论，转化为相邻两项和或差求解.当项数不确定
时，要分奇数和偶数讨论求解.
训练2 （2026·陕西安康模拟）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＋2a3
＝13，S6＝36.
（1）求{an}的通项公式；
解： 设等差数列{an}的公差为d，
由a2＋2a3＝13，S6＝36，得 解得 所以{an}
的通项公式为an＝2n－1.
（2）若数列{bn}满足bn＝（－1）nan＋[（－1）n＋1]2n，求{bn}的前2n
项和T2n.
解：由（1）得bn＝（－1）n（2n－1）＋[（－1）n＋1]2n，
当n为奇数时，bn＝（－1）n（2n－1）＋[（－1）n＋1]·2n＝－（2n－
1），
当n为偶数时，bn＝（－1）n（2n－1）＋[（－1）n＋1]·2n＝（2n－1）
＋2n＋1，
所以T2n＝（a2－a1）＋（a4－a3）＋…＋（a2n－a2n－1）＋（23＋25＋…
＋22n＋1）＝2n＋ ＝ ＋2n.
通项含有三角函数型（师生共研过关）
已知数列{an}满足an＝2n－1，设bn＝an· cos nπ，试求数列{bn}的前
n项和Sn.
解：由题意可得bn＝（2n－1）· cos nπ＝（－1）n·（2n－1），
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝－1＋3－5＋7＋…＋（－1）n（2n－1），
当n为偶数时，Sn＝2· ＝n；
当n为奇数时，Sn＝Sn－1＋bn＝n－1－（2n－1）＝－n.
综上所述，Sn＝
　　当已知条件中含有三角函数时，如本例中的 cos nπ＝（－1）n，需等
价转化，常用的三角函数等价转化有：（1） cos nπ＝（－1）n；（2） sin
＝（－1）n＋1.
训练3 已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝ （an－1），n∈N*.
（1）求数列{an}的通项公式；
解： 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ （an－1）－ （an－1－1），整理得
＝－2，
又a1＝S1＝ （a1－1），得a1＝－2，
所以数列{an}是以－2为首项，－2为公比的等比数列，
则an＝（－2）n，n∈N*.
（2）记bn＝an· sin ，求数列{bn}的前100项的和T100.
解：当n＝4k，k∈N*时，b4k＝（－2）4k· sin ＝0，
当n＝4k－1，k∈N*时，b4k－1＝（－2）4k－1· sin ＝24k－1，
当n＝4k－2，k∈N*时，b4k－2＝（－2）4k－2· sin ＝0，
当n＝4k－3，k∈N*时，b4k－3＝（－2）4k－3· sin ＝－24k－3，
则T100＝b1＋b2＋b3＋…＋b100＝－（2＋25＋…＋297）＋（23＋27＋…＋
299）＝－ ＋ ＝ .
数列中连续两项和或积问题（师生共研过关）
已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＋an＝4n.
（1）求数列{an}的前100项和S100；
解： 因为an＋1＋an＝4n，
所以S100＝（a1＋a2）＋（a3＋a4）＋…＋（a99＋a100）＝4×1＋4×3＋…
＋4×99＝4×（1＋3＋5＋…＋99）＝4×502＝10 000.
（2）求数列{an}的通项公式.
解：由题意，an＋1＋an＝4n，　①
an＋2＋an＋1＝4（n＋1），　②
由②－①得，an＋2－an＝4.
因为a1＝1，a1＋a2＝4，所以a2＝3，所以数列{an}的奇数项与偶数项都是
公差为4的等差数列.
当n为奇数时，an＝a1＋（ －1）×4＝2n－1；
当n为偶数时，an＝a2＋（ －1）×4＝2n－1.
综上所述，an＝2n－1.
1. 若an·an－1＝qn，则an＋1·an＝qn＋1，相除得 ＝q.当n为奇数时，数
列为以a1为首项，q为公比的等比数列；当n为偶数时，数列为以a2为首
项，q为公比的等比数列.
2. 若an＋an－1＝dn，则an＋1＋an＝d（n＋1），相减得an＋1－an－1＝d.
当n为奇数时，数列为以a1为首项，d为公差的等差数列；当n为偶数时，
数列为以a2为首项，d为公差的等差数列.
训练4 在数列{an}中，已知a1＝1，an·an＋1＝（ ）n，记Sn为{an}的前n
项和.
（1）求数列{an}的通项公式；
解： ∵an·an＋1＝（ ）n，
∴an＋1·an＋2＝（ ）n＋1，
∴ ＝ ，即an＋2＝ an，
又a1＝1，a2＝ ，
∴数列{a2n}是以 为首项， 为公比的等比数列，数列{a2n－1}是以1为首
项， 为公比的等比数列，
∴当n为奇数时，an＝（ ；
当n为偶数时，an＝（ ，
∴数列{an}的通项公式为an＝
（2）求Sn.
解：①当n＝2k时，S2k＝（a1＋a3＋…＋a2k－1）＋（a2＋a4＋…＋a2k）
＝3－ .
②当n＝2k－1时，S2k－1＝S2k－a2k＝3－ － ＝3－ .
∴Sn＝
课时跟踪检测
（时间：45分钟，满分：66分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 已知函数f（n）＝ 且an＝f（n）＋f（n＋1），则
a1＋a2＋a3＋…＋a100＝（　　）
A. 0 B. 100
C. －100 D. 10 200
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√
解析： 　由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42
＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－（1＋2）＋（3＋2）－（4＋3）
＋…－（99＋100）＋（101＋100）＝－（1＋2＋…＋99＋100）＋（2＋3
＋…＋100＋101）＝－50×101＋50×103＝100.
2. 已知数列{an}满足a1＝1，前n项和为Sn，an＋1·an＝2n（n∈N*），则
S2 026＝（　　）
A. 22 026－1 B. 3×21 013－1
C. 3×21 013－2 D. 3×21 013－3
√
解析： 　在数列{an}中，a1＝1，由an＋1·an＝2n得a2＝2，an＋2·an＋1＝2n
＋1，则有 ＝2，因此数列{a2n－1}是以1为首项，2为公比的等比数列，
数列{a2n}是以2为首项，2为公比的等比数列.则S2 026＝（a1＋a3＋…＋a2
025）＋（a2＋a4＋…＋a2 026）＝ ＋ ＝3×21 013－3，故
选D.
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3. 〔多选〕已知数列{an}满足a1＝1，an＋2＝（－1）n＋1·（an－n）＋
n，记{an}的前n项和为Sn，则（　　）
A. a48＋a50＝100 B. a50－a46＝4
C. S48＝600 D. S49＝601
√
√
√
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解析： 　因为a1＝1，an＋2＝（－1）n＋1（an－n）＋n，所以当n为
奇数时，an＋2＝an＝a1＝1；当n为偶数时，an＋an＋2＝2n.所以a48＋a50
＝96，A错误；又因为a46＋a48＝92，所以a50－a46＝4，B正确；S48＝a1
＋a3＋a5＋…＋a47＋[（a2＋a4）＋（a6＋a8）＋…＋（a46＋a48）]＝
24×1＋2×（2＋6＋…＋46）＝24＋2× ＝600，C正确；S49
＝S48＋a49＝600＋1＝601，D正确.故选B、C、D.
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4. 已知数列{an}，{bn}，其中{an}是各项均为正数的等比数列，满足3a1
＋a2＝18， ＝9a1a5，则{an}的通项公式为 ；若bn＝
则数列{bn}的前2n项和S2n＝ 　2n2＋n－ ＋
.
an＝3n　
2n2＋n－ ＋
　
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解析：设等比数列{an}的公比为q，因为 ＝9a1a5＝9 ，所以a4＝
3a3，所以q＝ ＝3，所以3a1＋a2＝6a1＝18，所以a1＝3，所以an＝a1qn
－1＝3n.当n是奇数时，bn＝an＝3n，当n是偶数时，bn＝2log3an－1＝2n
－1，所以bn＝ 所以S2n＝（b1＋b3＋…＋b2n－1）＋
（b2＋b4＋…＋b2n）＝（3＋33＋35＋…＋32n－1）＋[3＋7＋11＋…＋
（4n－1）]＝ ＋ ＝ ＋n（2n＋1）＝2n2
＋n－ ＋ .
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5. （15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＝2，且an是2与Sn的等
差中项.
（1）求数列{an}的通项公式；
解： 因为an是2与Sn的等差中项，
所以2an＝Sn＋2，　①
当n≥2时，2an－1＝Sn－1＋2，　②
①－②得2an－2an－1＝an，
所以an＝2an－1（n≥2），
又a1＝2，所以{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n.
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（2）若bn＝（－1）n·log2a2n＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.
解： bn＝（－1）n·log2a2n＋1＝（－1）n·（2n＋1），
当n为偶数时，
Tn＝（b1＋b2）＋（b3＋b4）＋…＋（bn－1＋bn）＝（－3＋5）＋（－7＋
9）＋…＋[－（2n－1）＋（2n＋1）]＝2＋2＋…＋2＝2· ＝n；
当n为奇数时，Tn＝b1＋（b2＋b3）＋（b4＋b5）＋…＋（bn－1＋bn）＝
－3＋（－2）＋（－2）＋…＋（－2）＝－3＋（－2）· ＝－n－2.
综上所述，数列{bn}的前n项和
Tn＝
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6. （15分）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝
（1）记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；
解： 因为bn＝a2n，且a1＝1，an＋1＝
所以b1＝a2＝a1＋1＝2，
b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5.
因为bn＝a2n，所以bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋
3，
所以bn＋1－bn＝a2n＋3－a2n＝3，
所以数列{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列，所以bn＝2＋3（n－
1）＝3n－1，n∈N*.
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（2）求{an}的前20项和S20.
解： 因为an＋1＝
所以k∈N*时，a2k＝a2k－1＋1＝a2k－1＋1，即a2k＝a2k－1＋1，　①
a2k＋1＝a2k＋2，　②
a2k＋2＝a2k＋1＋1＝a2k＋1＋1，即a2k＋2＝a2k＋1＋1，　③
所以①＋②得a2k＋1＝a2k－1＋3，即a2k＋1－a2k－1＝3，
所以数列{an}的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
②＋③得a2k＋2＝a2k＋3，即a2k＋2－a2k＝3，
又a2＝2，所以数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列.
所以数列{an}的前20项和S20＝（a1＋a3＋a5＋…＋a19）＋（a2＋a4＋a6
＋…＋a20）＝10＋ ×3＋20＋ ×3＝300.
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7. （15分）（2026·河北衡水调研）已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋
4n（n∈N*）.
（1）求数列{an}的通项公式；
解： 由题意得，当n＝1时，a1＝S1＝5；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋4n－（n－1）2－4（n－1）＝2n＋3，
当n＝1时，a1＝5适合上式，故数列{an}的通项公式为an＝2n＋3.
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（2）若数列{cn}满足cn＋1＋cn＝an，且不等式cn＋2n2≥0对任意的n∈N*
都成立，求c1的取值范围.
解： 由（1）知，cn＋1＋cn＝2n＋3，
当n＝1时，c2＋c1＝5；
当n≥2时，cn＋cn－1＝2（n－1）＋3，
两式相减得cn＋1－cn－1＝2（n≥2），
∴数列{c2n}是以c2为首项，公差为2的等差数列，
数列{c2n－1}是以c1为首项，公差为2的等差数列.
当n为偶数时，cn＝c2＋2×（ －1）＝n＋3－c1；
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当n为奇数时，cn＝c1＋2×（ －1）＝n－1＋c1，
∴cn＝ k∈N*.
∵对任意的n∈N*，都有cn＋2n2≥0成立，
①当n为奇数时，n≥1，cn＋2n2＝n－1＋c1＋2n2≥0恒成立，
即－c1≤2n2＋n－1对n为奇数恒成立，
当n＝1时，（2n2＋n－1）min＝2，
∴－c1≤2，即c1≥－2；
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②当n为偶数时，n≥2，
cn＋2n2＝n＋3－c1＋2n2≥0恒成立，
即c1≤2n2＋n＋3对n为偶数恒成立，
当n＝2时，（2n2＋n＋3）min＝13，∴c1≤13.
综上所述，c1的取值范围是[－2，13].
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