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重难专攻9　数列中的创新交汇问题
（时间：60分钟，满分：73分）
[备注：单选、填空题5分]
1.（2026·浙江台州模拟）已知等差数列{an}的公差d＞0，a4＝2a2，则a1＋的最小值为（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
2.九连环是中国杰出的益智游戏.
九连环由九个相互连接的环组成，这九个环套在一个中空的长形柄中，九连环的玩法就是要将这九个环从柄上解下来，规则如下：如果要解下（或安上）第n号环，则第（n－1）号环必须解下（或安上），n－1往前的都要解下（或安上）才能实现，记解下n连环所需的最少移动步数为an，已知a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋2an－2＋1（n≥3），则解六连环最少需要移动圆环步数为（　　）
A.24 B.36
C.42 D.48
3.（2026·浙江台州模拟）科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，其定义是：对于函数f（x），若数列{xn}满足xn＋1＝xn－，则称数列{xn}为牛顿数列，若函数f（x）＝x2，数列{xn}为牛顿数列且x1＝2，an＝log2xn，则a8＝（　　）
A.8 B.2
C.－6 D.－4
4.（2026·广东广州六校联考）已知等差数列{an}中，a9＝，设函数f（x）＝cos4x－sin4x－2sin xcos x－1，记yn＝f（an），则数列{yn}的前17项和为（　　）
A.－51 B.－48
C.－17 D.0
5.在△ABC中，AB＝，∠ACB＝45°，O是△ABC的外心，若2·－1的最大值是m，数列{an}中，a1＝1，an＋1＝man＋2，则{an}的通项公式为an＝　　　　　.
6.（2026·辽宁沈阳模拟）已知数列{an}，令bk为a1，a2，…，ak中的最大值（k＝1，2，…，n），则称数列{bn}为{an}的“控制数列”，{bn}中不同数的个数称为“控制数列”{bn}的“阶数”，例如：{an}为1，3，5，4，2，则“控制数列”{bn}为1，3，5，5，5，其“阶数”为3，若{an}由1，2，3，4，5任意顺序构成，则使“控制数列”{bn}的“阶数”为2的所有{an}的个数为　　　　.
7.（13分）
如图，从点P1（0，0）作x轴的垂线交曲线y＝ex于点Q1（0，1），曲线在点Q1处的切线与x轴交于点P2，再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn.记点Pk的坐标为（xk，0）（k＝1，2，…，n）.
（1）试求xk与xk－1的关系（2≤k≤n）；
（2）求｜P1Q1｜＋｜P2Q2｜＋…＋｜PnQn｜的值.
8.（15分）（2026·河南郑州开学考试）若各项为正数的无穷数列{an}满足：对于 n∈N*都有－＝d，其中d为非零常数，则称数列{an}为“平方等差数列”.
（1）判断无穷数列{}和{n}是否是“平方等差数列”，并说明理由；
（2）若{an}是“平方等差数列”，证明：存在正整数n，使得不等式an＋1＜an＋1成立.
9.（15分）
已知正四面体ABCD中，AB＝2，P1，P2，…，Pn在线段AB上，且｜AP1｜＝｜P1P2｜＝…＝｜Pn－1Pn｜＝｜PnB｜，过点Pn作平行于直线AC，BD的平面，截面面积为an，证明：
（1）a1＝1；
（2）{an}为递减数列.
重难专攻9　数列中的创新交汇问题
1.B　2.C　3.C　
4.C　由题意知f（x）＝cos4x－sin4x－2sin xcos x－1＝（cos2x＋sin2x）·（cos2x－sin2x）－sin 2x－1＝cos 2x－sin 2x－1＝2cos（ 2x＋）－1，当x＝时，2cos（ 2×＋）＝0，即f（x）的图象关于点（ ，－1）成中心对称.由于等差数列{an}中，a9＝，故a1＋a17＝a2＋a16＝…＝2a9＝2×，故f（a1）＋f（a17）＝f（a2）＋f（a16）＝…＝f（a8）＋f（a10）＝2×（－1）＝－2，故数列{yn}的前17项和为f（a1）＋f（a2）＋…＋f（a17）＝[f（a1）＋f（a17）]＋[f（a2）＋f（a16）]＋…＋[f（a8）＋f（a10）]＋f（a9）＝8×（－2）－1＝－17.
5.2×3n－1－1　解析：在△ABC中，设AC＝b，AB＝c，由＝及c＝，∠ACB＝45°，得b＝2sin B.因为0°＜B＜135°，所以0＜sin B≤1，所以0＜b≤2.因为O是△ABC的外心，所以O在线段AC上的射影为AC的中点.由向量数量积的几何意义得2·－1＝｜｜2－1＝b2－1，而－1＜b2－1≤3，所以2·－1的最大值为3，即m＝3.由an＋1＝3an＋2，得an＋1＋1＝3（an＋1），所以数列{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为3的等比数列，所以an＋1＝2×3n－1，即an＝2×3n－1－1.
6.50　解析：当{bn}由1，5构成时，则a1＝1，a2＝5，a3，a4，a5为2，3，4的一个排列，故满足条件的数列{an}有＝6（个）；当{bn}由2，5构成时，则a1＝2，a2＝5，a3，a4，a5为1，3，4的一个排列，或a1＝2，a2＝1，a3＝5，a4，a5为3，4的一个排列，故满足条件的数列{an}有＋＝8（个）；当{bn}由3，5构成时，则a1＝3，a2，a3，a4，a5为1，2，4，5的一个排列，且数字4排在5的后面，故满足条件的数列{an}有＝12（个）；当{bn}由4，5构成时，则a1＝4，a2，a3，a4，a5为1，2，3，5的一个排列，故满足条件的数列{an}有＝24（个）.由分类加法计数原理可得满足条件的数列{an}共有50个.
7.解：（1）设点Pk－1的坐标是（xk－1，0）.
因为y＝ex，所以y'＝ex，
所以Qk－1（xk－1，），
在点Qk－1（xk－1，）处的切线方程是y－＝（x－xk－1），令y＝0，则xk＝xk－1－1（2≤k≤n）.
（2）因为x1＝0，xk－xk－1＝－1，
所以xk＝－（k－1），
所以｜PkQk｜＝＝e－（k－1），
所以｜P1Q1｜＋｜P2Q2｜＋｜P3Q3｜＋…＋｜PnQn｜＝1＋e－1＋e－2＋…＋e－（n－1）＝＝.
8.解：（1）数列{}中，设an＝，∵－＝（）2－（）2＝1，∴数列{}是“平方等差数列”；
数列{n}中，设an＝n，∵－＝（n＋1）2－n2＝2n＋1，∴数列{n}不是“平方等差数列”.
（2）证明：∵－＝（an＋1－an）（an＋1＋an）＝d，d为非零常数.
设＝＋（n－1）d，
当d＜0时，一定存在n使得＜0，不成立，故d＞0，∵an＞0，
∴an＝＞，
则an＋1＋an＞＋＝（＋），
∴an＋1－an＝＜＝，
∵函数y＝＋随n的增大而增大，故存在n使得＜1，故存在正整数n，使得不等式an＋1＜an＋1成立.
9.证明：（1）由题意得｜AP1｜＝｜P1P2｜＝｜P2P3｜＝…＝｜PnB｜＝，
取BD中点O，连接AO，CO，如图1.
因为△ABD，△BCD均为等边三角形，
所以AO⊥BD，CO⊥BD，
因为AO∩CO＝O，AO，CO 平面AOC，
所以BD⊥平面AOC.
因为AC 平面AOC，
所以BD⊥AC，
过点P1作P1E1∥AC交BC于点E1，过点P1作P1F1∥BD交AD于点F1，过点E1作E1G1∥P1F1交CD于点G1，连接F1G1，如图2，则P1F1⊥P1E1，
故平面P1F1G1E1为截面，且四边形P1F1G1E1为矩形，
由相似知识可知｜AP1｜＝｜P1F1｜＝，｜E1P1｜＝，同理得｜FnPn｜＝，｜EnPn｜＝，
故an＝｜FnPn｜·｜EnPn｜＝·＝，所以a1＝＝1.
（2）由（1）知an＝，n∈N*，
所以an＋1－an＝－
＝
＝＜0，
故an＋1＜an，故{an}为递减数列.
1 / 1重难专攻9　数列中的创新交汇问题
　　数列中的创新交汇问题往往以压轴题的形式出现于高考题中，常与函数、不等式、集合、概率、解三角形等交汇命题，有时也以新定义的形式出现，一般难度较大.
　　
数列的新情境问题
（师生共研过关）
几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N＞56且该数列的前N项和为2的整数幂，那么该款软件的激活码是（　　）
A.95 B.105
C.115 D.125
听课记录
　　解决数列的新情境问题要首先理解题意，从新情境中抽象出等差数列、等比数列等特殊的数列、转化为数列的通项、性质或求和问题.
训练1 （2026·河南模拟）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层空心球.若鬼工球最内层的空心球上有2个雕孔，且向外每层雕孔依次增加d（d为常数）个.现制作3个层数分别为3，6，m的鬼工球，其中6层的鬼工球比3层的鬼工球共多出30个雕孔，三个鬼工球之间的雕孔数相差最多者为36，则m＝（　　）
A.2 B.5
C.7 D.8
数列与其他知识的交汇问题
（师生共研过关）
在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a3，a13成等比数列，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＝2bn－2.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设cn＝bn－an，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式Tn＋n2－n＞log2（1－a）对任意n∈N*恒成立，求实数a的取值范围.
　　数列与其他知识的交汇问题，一般是根据题干得到数列的递推关系式，构造等差、等比数列解决问题.求解过程中要灵活运用数列的性质，准确应用数列的相关知识.
训练2 （1）（2025·云南昆明二模）已知等差数列{an}满足公差为d，a1≠0，前n项和为Sn，记集合M＝{k｜ak＝Sk}，若M中有2个元素，则a1，d的关系可以为（　　）
A.2a1＋3d＝0 B.2a1－3d＝0
C.3a1＋2d＝0 D.3a1－2d＝0
（2）设C1，C2，…，Cn，…是坐标平面上的一系列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y＝x相切，对每一个正整数n，圆Cn都与圆Cn＋1相互外切，以rn表示圆Cn的半径，已知{rn}为递增数列，若r1＝1，则数列{n·rn}的前n项和为　　　　.
数列的新定义问题
（师生共研过关）
（2026·浙江强基联盟模拟节选）设n≥3，对于数列a1，a2，…，an，若对任意k∈{1，2，…，n－1}，a1＋a2＋…＋ak与ak＋1＋ak＋2＋…＋an均为非负数或者均为负数，则称数列a1，a2，…，an为强数列.
（1）判断数列sin 0，sin，sin π，sin，sin 2π与数列cos 0，cos，cos π，cos，cos 2π分别是否为强数列；
（2）若存在公比为负数的等比数列a1，a2，…，a2 027，使得它为强数列，求公比q的取值范围.
解答与数列有关的新定义问题的策略 （1）遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决； （2）类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢.
训练3 （2024·新高考Ⅰ卷19题节选）设m为正整数，数列a1，a2，…，a4m＋2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai和aj（i＜j）后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1，a2，…，a4m＋2是（i，j）—可分数列.
（1）写出所有的（i，j），1≤i＜j≤6，使得数列a1，a2，…，a6是（i，j）—可分数列；
（2）当m≥3时，证明：数列a1，a2，…，a4m＋2是（2，13）—可分数列.
重难专攻9　数列中的创新交汇问题
考点1
【例1】　A　将数列排成行的形式
1
1，2
1，2，4
1，2，4，8
　……
第n行为20，21，…，2n－1，第n行的和为an＝＝2n－1，前n行共有 个数，前项的和为Sn＝－n＝2n＋1－2－n，假设从第1行第1个数到第n＋1行第m（1≤m≤n＋1）个数共有N个数，则N＝＋m，前N项的和为TN＝Sn＋am＝2n＋1－2－n＋2m－1，若TN为2的整数幂，则有2＋n＝2m－1，又∵N＞56，∴n＞10，且n为奇数，当n＝11时，m无整数解，当n＝13时，m＝4，此时N＝＋4＝95.
训练1　A　记从内向外第n层鬼工球上的雕孔数量为an，由题意知an＝2＋（n－1）d，故对于一个n层的鬼工球，其雕孔数为，所以3层和6层的鬼工球的雕孔数分别为6＋3d，12＋15d，则12＋15d－（6＋3d）＝6＋12d＝30，解得d＝2，故＝n2＋n.因为三个鬼工球之间的雕孔数相差最多者为36，层数为6的鬼工球雕孔数为42，若m小于3，则相差最多者即层数为m，6的鬼工球，所以层数为m的鬼工球雕孔数为6，故m2＋m＝6，解得m＝2（负值舍去）符合题意.若m在3，6之间，则相差最多者即层数为3，6的鬼工球，不符合题意；若m大于6，则相差最多者即层数为3，m的鬼工球，而即使m取最小值7，其雕孔数为56，而56－12＝44＞36，不符合题意.故选A.
考点2
【例2】　解：（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），∵a1＝1，且a1，a3，a13成等比数列，
∴＝a1a13，即（1＋2d）2＝1＋12d，得d＝2，∴an＝1＋2（n－1）＝2n－1.
∵数列{bn}的前n项和Sn＝2bn－2，
当n＝1时，b1＝2b1－2，∴b1＝2，
当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝2bn－2bn－1，∴bn＝2bn－1，
故数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，∴bn＝2n.
（2）由（1）可得cn＝bn－an＝2n－（2n－1），
∴Tn＝－＝2n＋1－2－n2，
∴Tn＋n2－n＝2n＋1－n－2.
令f（x）＝2x＋1－x－2（x≥1），
f'（x）＝2x＋1ln 2－1，
∵x≥1，∴f'（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）min＝f（1）＝1.
∴log2（1－a）＜1，∴0＜1－a＜2，
∴－1＜a＜1.
故实数a的取值范围为（－1，1）.
训练2　（1）A　（2）
解析：（1）由ak＝Sk，得a1＋（k－1）d＝ka1＋d，则（k－1）[2a1＋（k－2）d]＝0，由M中有2个元素，得关于k的方程2a1＋（k－2）d＝0有不小于2的整数解，而a1≠0，则d≠0，k＞2，k∈N*，方程2a1＋（k－2）d＝0中a1的系数为2，d的系数k－2是正整数，选项A符合要求，选项B、C、D不符合要求.故选A.
（2）如图，y＝x的倾斜角α＝.设圆Cn，Cn＋1与直线y＝x的切点分别为E，F，连接CnE，Cn＋1F，过Cn作CnD⊥Cn＋1F，垂足为点D，则｜CnCn＋1｜＝rn＋1＋rn，｜Cn＋1D｜＝rn＋1－rn.由＝＝，整理得＝3，所以数列{rn}是首项r1＝1，公比q＝3的等比数列，即rn＝1×3n－1＝3n－1，所以n·rn＝n·3n－1.设数列{n·rn}的前n项和为Sn，则Sn＝1×30＋2×31＋3×32＋…＋n·3n－1，3Sn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n·3n，两式相减得－2Sn＝30＋31＋32＋…＋3n－1－n·3n＝－n·3n＝－，即Sn＝.
考点3
【例3】　解：（1）数列sin 0，sin，sin π，sin，sin 2π，即数列0，1，0，－1，0，其前两项和为1，后三项和为－1，不是强数列；cos 0，cos，cos π，cos，cos 2π，即数列1，0，－1，0，1，满足第一项、前两项、前三项、前四项、后一项、后两项、后三项、后四项的和均为非负数，是强数列.
（2）设首项a1＝a≠0，公比q＜0，
依题意，a1·（a2＋…＋a2 027）≥0，即a2（q＋q2＋…＋q2 026）≥0，
故q＋q2＋…＋q2 026≥0，即≥0，故q2 026≥1.
另一方面，（a1＋…＋a2 026）·a2 027≥0，即a2（1＋q＋…＋q2 025）q2 026≥0，
故1＋q＋…＋q2 025≥0，即≥0，故q2 026≤1.
于是q2 026＝1，q＝－1，又1，－1，1，…，1，－1，1满足条件，综上，q＝－1.
训练3　解：（1）（i，j）＝（1，6），（1，2），（5，6）.
（2）证明：当m＝3时，a1，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9，a10，a11，a12，a14，
可分成三组：a1，a4，a7，a10；a3，a6，a9，a12；a5，a8，a11，a14，每组均为公差为3d的等差数列，
∴m＝3时符合.
当m＞3时，数列a1，a2，…，a4m＋2去掉a2，a13以后，分成m组，
只需让前面的3组还按m＝3时的分法，即a1，a4，a7，a10；a3，a6，a9，a12；a5，a8，a11，a14，后面的每4个相邻的项一组即可，即a15，a16，a17，a18；…；a4m－1，a4m，a4m＋1，a4m＋2，每一组都能构成等差数列，
∴数列a1，a2，…，a4m＋2是（2，13）—可分数列.
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重难专攻9　数列中的创新交汇问题
重难解读
　　数列中的创新交汇问题往往以压轴题的形式出现于高考题中，常与函数、不等式、集合、概率、解三角形等交汇命题，有时也以新定义的形式出现，一般难度较大.
数列的新情境问题（师生共研过关）
几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家
学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款
软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，
2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，
21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数
N：N＞56且该数列的前N项和为2的整数幂，那么该款软件的激活码是
（　A　）
A
A. 95 B. 105
C. 115 D. 125
解析：　将数列排成行的形式
1
1，2
1，2，4
1，2，4，8
　……
第n行为20，21，…，2n－1，第n行的和为an＝ ＝2n－1，前n
行共有 个数，前 项的和为Sn＝ －n＝2n＋1－
2－n，假设从第1行第1个数到第n＋1行第m（1≤m≤n＋1）个数共有N
个数，则N＝ ＋m，前N项的和为TN＝Sn＋am＝2n＋1－2－n＋
2m－1，若TN为2的整数幂，则有2＋n＝2m－1，又∵N＞56，∴n＞10，
且n为奇数，当n＝11时，m无整数解，当n＝13时，m＝4，此时N＝
＋4＝95.
　　解决数列的新情境问题要首先理解题意，从新情境中抽象出等差数
列、等比数列等特殊的数列、转化为数列的通项、性质或求和问题.
训练1 （2026·河南模拟）鬼工球，又称同心球，要求制作
者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层
空心球.若鬼工球最内层的空心球上有2个雕孔，且向外每
层雕孔依次增加d（d为常数）个.现制作3个层数分别为3，
6，m的鬼工球，其中6层的鬼工球比3层的鬼工球共多出30个雕孔，三个鬼工球之间的雕孔数相差最多者为36，则m＝（　　）
A. 2 B. 5
C. 7 D. 8
√
解析： 　记从内向外第n层鬼工球上的雕孔数量为an，由题意知an＝2＋
（n－1）d，故对于一个n层的鬼工球，其雕孔数为 ，所以3
层和6层的鬼工球的雕孔数分别为6＋3d，12＋15d，则12＋15d－（6＋
3d）＝6＋12d＝30，解得d＝2，故 ＝n2＋n.因为三个鬼工
球之间的雕孔数相差最多者为36，层数为6的鬼工球雕孔数为42，若m小
于3，则相差最多者即层数为m，6的鬼工球，所以层数为m的鬼工球雕孔
数为6，故m2＋m＝6，解得m＝2（负值舍去）符合题意.若m在3，6之
间，则相差最多者即层数为3，6的鬼工球，不符合题意；若m大于6，则相差最多者即层数为3，m的鬼工球，而即使m取最小值7，其雕孔数为56，而56－12＝44＞36，不符合题意.故选A.
数列与其他知识的交汇问题（师生共研过关）
在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a3，a13成等比数
列，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＝2bn－2.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
解： 设等差数列{an}的公差为d（d≠0），∵a1＝1，且a1，a3，a13成等
比数列，
∴ ＝a1a13，即（1＋2d）2＝1＋12d，得d＝2，∴an＝1＋2（n－1）
＝2n－1.
∵数列{bn}的前n项和Sn＝2bn－2，当n＝1时，b1＝2b1－2，∴b1＝2，
当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝2bn－2bn－1，∴bn＝2bn－1，
故数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，∴bn＝2n.
（2）设cn＝bn－an，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式Tn＋n2－n＞
log2（1－a）对任意n∈N*恒成立，求实数a的取值范围.
解：由（1）可得cn＝bn－an＝2n－（2n－1），
∴Tn＝ － ＝2n＋1－2－n2，
∴Tn＋n2－n＝2n＋1－n－2.
令f（x）＝2x＋1－x－2（x≥1），f'（x）＝2x＋1ln 2－1，
∵x≥1，∴f'（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）min＝f（1）＝1.
∴log2（1－a）＜1，∴0＜1－a＜2，∴－1＜a＜1.
故实数a的取值范围为（－1，1）.
　　数列与其他知识的交汇问题，一般是根据题干得到数列的递推关系
式，构造等差、等比数列解决问题.求解过程中要灵活运用数列的性质，
准确应用数列的相关知识.
训练2 （1）（2025·云南昆明二模）已知等差数列{an}满足公差为d，
a1≠0，前n项和为Sn，记集合M＝{k｜ak＝Sk}，若M中有2个元素，则
a1，d的关系可以为（　A　）
A. 2a1＋3d＝0 B. 2a1－3d＝0
C. 3a1＋2d＝0 D. 3a1－2d＝0
A
解析： 由ak＝Sk，得a1＋（k－1）d＝ka1＋ d，则（k－1）
[2a1＋（k－2）d]＝0，由M中有2个元素，得关于k的方程2a1＋（k－
2）d＝0有不小于2的整数解，而a1≠0，则d≠0，k＞2，k∈N*，方程2a1
＋（k－2）d＝0中a1的系数为2，d的系数k－2是正整数，选项A符合要
求，选项B、C、D不符合要求.故选A.
（2）设C1，C2，…，Cn，…是坐标平面上的一系列圆，它们的圆心都在
x轴的正半轴上，且都与直线y＝ x相切，对每一个正整数n，圆Cn都与
圆Cn＋1相互外切，以rn表示圆Cn的半径，已知{rn}为递增数列，若r1＝
1，则数列{n·rn}的前n项和为 .
　
解析：如图，y＝ x的倾斜角α＝ .设圆Cn，Cn＋
1与直线y＝ x的切点分别为E，F，连接CnE，Cn
＋1F，过Cn作CnD⊥Cn＋1F，垂足为点D，则｜
CnCn＋1｜＝rn＋1＋rn，｜Cn＋1D｜＝rn＋1－rn.由 ＝ ＝ ，整理得 ＝3，所以数列{rn}是首项r1＝1，公比q＝3的等比数列，即rn＝1×3n－1＝3n－1，所以n·rn＝n·3n－1.设数列{n·rn}的前n项和为Sn，则Sn＝1×30＋2×31＋3×32＋…＋n·3n－1，3Sn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n·3n，两式相减得－2Sn＝30＋31＋32＋…＋3n－1－n·3n＝ －n·3n＝－ ，即Sn＝ .
数列的新定义问题（师生共研过关）
（2026·浙江强基联盟模拟节选）设n≥3，对于数列a1，a2，…，
an，若对任意k∈{1，2，…，n－1}，a1＋a2＋…＋ak与ak＋1＋ak＋2＋…
＋an均为非负数或者均为负数，则称数列a1，a2，…，an为强数列.
（1）判断数列 sin 0， sin ， sin π， sin ， sin 2π与数列 cos 0， cos ，
cos π， cos ， cos 2π分别是否为强数列；
解： 数列 sin 0， sin ， sin π， sin ， sin 2π，即数列0，1，0，－1，
0，其前两项和为1，后三项和为－1，不是强数列； cos 0， cos ， cos
π， cos ， cos 2π，即数列1，0，－1，0，1，满足第一项、前两项、前
三项、前四项、后一项、后两项、后三项、后四项的和均为非负数，是强
数列.
（2）若存在公比为负数的等比数列a1，a2，…，a2 027，使得它为强数
列，求公比q的取值范围.
解：设首项a1＝a≠0，公比q＜0，
依题意，a1·（a2＋…＋a2 027）≥0，即a2（q＋q2＋…＋q2 026）≥0，
故q＋q2＋…＋q2 026≥0，即 ≥0，故q2 026≥1.
另一方面，（a1＋…＋a2 026）·a2 027≥0，即a2（1＋q＋…＋q2 025）q2
026≥0，
故1＋q＋…＋q2 025≥0，即 ≥0，故q2 026≤1.
于是q2 026＝1，q＝－1，又1，－1，1，…，1，－1，1满足条件，综上，
q＝－1.
解答与数列有关的新定义问题的策略
（1）遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清
新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，
使问题得以顺利解决；
（2）类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向
“熟悉数列”的性质靠拢.
训练3 （2024·新高考Ⅰ卷19题节选）设m为正整数，数列a1，a2，…，a4m
＋2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai和aj（i＜j）后剩余的4m
项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1，
a2，…，a4m＋2是（i，j）—可分数列.
（1）写出所有的（i，j），1≤i＜j≤6，使得数列a1，a2，…，a6是
（i，j）—可分数列；
解： （i，j）＝（1，6），（1，2），（5，6）.
（2）当m≥3时，证明：数列a1，a2，…，a4m＋2是（2，13）—可分数
列.
解：证明：当m＝3时，a1，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9，a10，a11，
a12，a14，
可分成三组：a1，a4，a7，a10；a3，a6，a9，a12；a5，a8，a11，a14，每
组均为公差为3d的等差数列，
∴m＝3时符合.
当m＞3时，数列a1，a2，…，a4m＋2去掉a2，a13以后，分成m组，
只需让前面的3组还按m＝3时的分法，即a1，a4，a7，a10；a3，a6，a9，
a12；a5，a8，a11，a14，后面的每4个相邻的项一组即可，即a15，a16，
a17，a18；…；a4m－1，a4m，a4m＋1，a4m＋2，每一组都能构成等差数列，
∴数列a1，a2，…，a4m＋2是（2，13）—可分数列.
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：73分）
[备注：单选、填空题5分]
1. （2026·浙江台州模拟）已知等差数列{an}的公差d＞0，a4＝2a2，则a1
＋ 的最小值为（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
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√
解析： 　等差数列{an}的公差d＞0，由a4＝2a2，得a1＋3d＝2（a1＋
d），解得a1＝d，则a1＋ ＝d＋ ≥2 ＝2，当且仅当d＝1时取等
号，所以a1＋ 的最小值为2.故选B.
2. 九连环是中国杰出的益智游戏.九连环由九个相互连接的环组成，这九
个环套在一个中空的长形柄中，九连环的玩法就是要将这九个环从柄上解
下来，规则如下：如果要解下（或安上）第n号环，则第（n－1）号环必
须解下（或安上），n－1往前的都要解下（或安上）才能实现，记解下n
连环所需的最少移动步数为an，已知a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋2an－2＋1
（n≥3），则解六连环最少需要移动圆环步数为（　　）
A. 24 B. 36
C. 42 D. 48
√
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解析： 　由题意可得，a3＝a2＋2a1＋1＝2＋2＋1＝5，a4＝a3＋2a2＋1
＝5＋4＋1＝10，a5＝a4＋2a3＋1＝10＋10＋1＝21，a6＝a5＋2a4＋1＝21
＋20＋1＝42.
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3. （2026·浙江台州模拟）科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点
时，给出了“牛顿数列”，其定义是：对于函数f（x），若数列{xn}满足
xn＋1＝xn－ ，则称数列{xn}为牛顿数列，若函数f（x）＝x2，数
列{xn}为牛顿数列且x1＝2，an＝log2xn，则a8＝（　　）
A. 8 B. 2
C. －6 D. －4
√
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解析： 　根据题意，xn＋1＝xn－ ＝xn－ ＝xn－ ＝ ，所以
＝ ，又x1＝2，所以{xn}为首项是2，公比是 的等比数列，所以xn＝
2×（ ）n－1＝（ ）n－2＝22－n，所以an＝log2xn＝log222－n＝2－n，所
以a8＝2－8＝－6.
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4. （2026·广东广州六校联考）已知等差数列{an}中，a9＝ ，设函数f
（x）＝ cos 4x－ sin 4x－2 sin x cos x－1，记yn＝f（an），则数列{yn}
的前17项和为（　　）
A. －51 B. －48
C. －17 D. 0
√
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解析： 　由题意知f（x）＝ cos 4x－ sin 4x－2 sin x cos x－1＝（ cos
2x＋ sin 2x）（ cos 2x－ sin 2x）－ sin 2x－1＝ cos 2x－ sin 2x－1＝
2 cos （2x＋ ）－1，当x＝ 时，2 cos （2× ＋ ）＝0，即f（x）的
图象关于点（ ，－1）成中心对称.由于等差数列{an}中，a9＝ ，故a1
＋a17＝a2＋a16＝…＝2a9＝2× ，故f（a1）＋f（a17）＝f（a2）＋f
（a16）＝…＝f（a8）＋f（a10）＝2×（－1）＝－2，故数列{yn}的前17
项和为f（a1）＋f（a2）＋…＋f（a17）＝[f（a1）＋f（a17）]＋[f
（a2）＋f（a16）]＋…＋[f（a8）＋f（a10）]＋f（a9）＝8×（－2）－1
＝－17.
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5. 在△ABC中，AB＝ ，∠ACB＝45°，O是△ABC的外心，若
2 · －1的最大值是m，数列{an}中，a1＝1，an＋1＝man＋2，则{an}
的通项公式为an＝ .
2×3n－1－1　
解析：在△ABC中，设AC＝b，AB＝c，由 ＝ 及c＝ ，
∠ACB＝45°，得b＝2 sin B. 因为0°＜B＜135°，所以0＜ sin B≤1，
所以0＜b≤2.因为O是△ABC的外心，所以O在线段AC上的射影为AC的
中点.由向量数量积的几何意义得2 · －1＝｜ ｜2－1＝b2－1，而
－1＜b2－1≤3，所以2 · －1的最大值为3，即m＝3.由an＋1＝3an＋
2，得an＋1＋1＝3（an＋1），所以数列{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比
为3的等比数列，所以an＋1＝2×3n－1，即an＝2×3n－1－1.
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6. （2026·辽宁沈阳模拟）已知数列{an}，令bk为a1，a2，…，ak中的最
大值（k＝1，2，…，n），则称数列{bn}为{an}的“控制数列”，{bn}
中不同数的个数称为“控制数列”{bn}的“阶数”，例如：{an}为1，3，
5，4，2，则“控制数列”{bn}为1，3，5，5，5，其“阶数”为3，若
{an}由1，2，3，4，5任意顺序构成，则使“控制数列”{bn}的“阶数”
为2的所有{an}的个数为 .
50　
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解析：当{bn}由1，5构成时，则a1＝1，a2＝5，a3，a4，a5为2，3，4的一
个排列，故满足条件的数列{an}有 ＝6（个）；当{bn}由2，5构成时，
则a1＝2，a2＝5，a3，a4，a5为1，3，4的一个排列，或a1＝2，a2＝1，a3
＝5，a4，a5为3，4的一个排列，故满足条件的数列{an}有 ＋ ＝8
（个）；当{bn}由3，5构成时，则a1＝3，a2，a3，a4，a5为1，2，4，5的
一个排列，且数字4排在5的后面，故满足条件的数列{an}有 ＝12
（个）；当{bn}由4，5构成时，则a1＝4，a2，a3，a4，a5为1，2，3，5的
一个排列，故满足条件的数列{an}有 ＝24（个）.由分类加法计数原理
可得满足条件的数列{an}共有50个.
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7. （13分）如图，从点P1（0，0）作x轴的垂线交曲线y＝ex于点Q1（0，
1），曲线在点Q1处的切线与x轴交于点P2，再从P2作x轴的垂线交曲线于
点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，
Qn.记点Pk的坐标为（xk，0）（k＝1，2，…，n）.
（1）试求xk与xk－1的关系（2≤k≤n）；
解： 设点Pk－1的坐标是（xk－1，0）.
因为y＝ex，所以y'＝ex，所以Qk－1（xk－1， ），
在点Qk－1（xk－1， ）处的切线方程是y－ ＝
（x－xk－1），令y＝0，则xk＝xk－1－1
（2≤k≤n）.
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（2）求｜P1Q1｜＋｜P2Q2｜＋…＋｜PnQn｜的值.
解： 因为x1＝0，xk－xk－1＝－1，所以xk＝－（k
－1），所以｜PkQk｜＝ ＝e－（k－1），
所以｜P1Q1｜＋｜P2Q2｜＋｜P3Q3｜＋…＋｜PnQn｜
＝1＋e－1＋e－2＋…＋e－（n－1）＝ ＝ .
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8. （15分）（2026·河南郑州开学考试）若各项为正数的无穷数列{an}满
足：对于 n∈N*都有 － ＝d，其中d为非零常数，则称数列{an}
为“平方等差数列”.
（1）判断无穷数列{ }和{n}是否是“平方等差数列”，并说明
理由；
解： 数列{ }中，设an＝ ，∵ － ＝
（ ）2－（ ）2＝1，∴数列{ }是“平方等差数列”；
数列{n}中，设an＝n，∵ － ＝（n＋1）2－n2＝2n＋1，∴数列
{n}不是“平方等差数列”.
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（2）若{an}是“平方等差数列”，证明：存在正整数n，使得不等式an＋1
＜an＋1成立.
解： 证明：∵ － ＝（an＋1－an）（an＋1＋an）＝d，d为非
零常数.
设 ＝ ＋（n－1）d，
当d＜0时，一定存在n使得 ＜0，不成立，故d＞0，∵an＞0，
∴an＝ ＞ ，
则an＋1＋an＞ ＋ ＝（ ＋ ） ，
∴an＋1－an＝ ＜ ＝ ，
∵函数y＝ ＋ 随n的增大而增大，故存在n使得 ＜1，
故存在正整数n，使得不等式an＋1＜an＋1成立.
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9. （15分）已知正四面体ABCD中，AB＝2，P1，P2，…，Pn在线段AB
上，且｜AP1｜＝｜P1P2｜＝…＝｜Pn－1Pn｜＝｜PnB｜，过点Pn作平行
于直线AC，BD的平面，截面面积为an，证明：
（1）a1＝1；
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证明： 由题意得｜AP1｜＝｜P1P2｜＝｜P2P3｜＝…＝｜PnB｜＝ ，
取BD中点O，连接AO，CO，如图1.
因为△ABD，△BCD均为等边三角形，
所以AO⊥BD，CO⊥BD，
因为AO∩CO＝O，AO，
CO 平面AOC，
所以BD⊥平面AOC.
因为AC 平面AOC，
所以BD⊥AC，
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过点P1作P1E1∥AC交BC于点E1，过点P1作P1F1∥BD交AD于点F1，过点E1作E1G1∥P1F1交CD于点G1，连接F1G1，如图2，则P1F1⊥P1E1，
故平面P1F1G1E1为截面，且四边形P1F1G1E1为矩形，
由相似知识可知｜AP1｜＝｜P1F1｜＝ ，｜E1P1｜
＝ ，同理得｜FnPn｜＝ ，｜EnPn｜＝ ，
故an＝｜FnPn｜·｜EnPn｜＝ · ＝ ，所以a1＝ ＝1.
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（2）{an}为递减数列.
证明： 由（1）知an＝ ，n∈N*，
所以an＋1－an＝ － ＝
＝ ＜0，
故an＋1＜an，故{an}为递减数列.
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