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七上至七下数学第3章培优阶段测试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．某商店分别以相同的价格卖出两件不同的衬衣，其中一件盈利，另一件亏本，该商店这次买卖中（　　）
A．赚了 B．亏了 C．不亏不赚 D．不能确定
【分析】设赚钱的衬衣进价为元，亏本的衬衣进价为元，设卖出价格为n元。则可以用表示出、的值，从而看出是亏是赚．
【解答】解：设赚钱的衬衣进价为元，亏本的衬衣进价为元，
根据题意知，，则，故赚的钱数为：；
，则，故亏的钱数为：；
因为，故商店在这次买卖中亏了．
故选：．
2．下列各组数中，互为相反数的是（　　）
【分析】根据算术平方根，立方根的定义，以及相反数的定义，逐一进行判断即可．
【解答】解：、两者不是相反数，不符合题意；
、，两数互为相反数，符合题意；
、两数相等，不符合题意；
、两数相等，不符合题意；
故选：．
3．平面内有n条直线（n≥2），这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则a+b的值是（　　）
A．n（n﹣1） B．n2﹣n+1 C．n+1 D．
【分析】分别求出2条直线、3条直线、4条直线、5条直线的交点个数，找出规律即可解答．
【解答】解：2条直线相交最多可以有1个交点，最少有1个交点；
3条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点；
4条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点；
5条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点；
6条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点；
条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点；
所以，而，
．
故选：．
4．若，，则下列各式中正确的是
【分析】根据被开立方数的小数点向右移动3位，则其立方根的小数点向右移动1位的规律进行求解．
【解答】解：被开立方数的小数点向右移动3位，则其立方根的小数点向右移动1位，
，
故选：．
5．在解关于的二元一次方程组时，若可直接消去未知数，则和满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据加减消元法的原理，当两个方程相减后消去未知数，需满足的系数之差为0．
【解答】解：，
①②得，
①②可直接消去未知数，
，
故选：．
6．有下列四个命题：①一条直线的垂线只有一条；②在同一平面内，从一点到某直线的垂线段叫这点到这条直线的距离；③如果两条直线垂直，那么他们相交成的四个角都相等；④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中说法不正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①一条直线的垂线有无数条，故①不正确；
②在同一平面内，从一点到某直线的垂线段的长度叫这点到这条直线的距离，故②不正确；
③如果两条直线垂直，那么他们相交成的四个角都相等，故③正确；
④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故④正确；
不正确的有①②，一共2个，
故选：．
7．若方程组有无数组解，则k与m的值分别为（　　）
A．k＝1，m＝1 B．k＝2，m＝1 C．k＝2，m＝﹣2 D．k＝2，m＝2
【分析】根据方程组有无数组解应满足的条件，把第一个方程乘2后与第二个方程应为同一形式，即可得、的值．
【解答】解：原方程组可转化为，
方程组有无数组解，
，，即，．
故选：．
8．将长方形纸片按图所示方式进行折叠，且满足．若增大，则（　　）
【分析】根据折叠的性质得，，，进而根据平行线的性质求出，，根据邻补角定义求出，再根据平行线的性质求出，据此求解即可．
【解答】解：如图，、是直线上的两点，
根据折叠的性质得，，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
若增大，则减少，
故选：．
9．若，则的值为（　　）
【分析】分四种情况：①三个都为正数；②三个都为负数；③一个正数，两个负数；④一个负数，两个正数，进行解答即可求解．
【解答】解：根据题意可知，，
有四种情况：
当三个都为正数时，
，
当三个都为负数时，
，
当一个正数，两个负数时，假设为正数，、为负数，
，
当一个负数，两个正数时，假设为负数，、为正数，
，
综上，的值为或0．
故选：．
10．如图，已知AB∥CD，CG交AB于点G，且∠C＝α，GE平分∠BGC，点H是CD上的一个定点，点P是GE所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，∠GPH与∠PHC的关系不可能是（　　）
A．∠GPH﹣∠PHC α
B．∠GPH+∠PHC α
C．∠GPH+∠PHC α＝180°
D．∠PHC+∠GPH α＝360°
【分析】根据题意分3种情况讨论，分别根据平行线的性质和判定，结合角平分线的概念求解即可．
【解答】解：，
，
平分，
，
如图，当点在和之间时，过点作，
，
，
，
，
，故不符合题题意；
当点在上方时，如图，过点作，
，
，
，
，
，
，
，
，故不符合题题意；符合题意；
当点在下方时，如图，过点作，
，
，
，
，
，
，故不符合题题意；
故选：．
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
11．已知 则 　 　.
【分析】利用平方根和立方根的意义求得，的值，将，的值代入利用算术平方根的意义计算即可．
【解答】解：，
．
，
．
，
，．
．
故答案为：1．
12．如图，将沿射线向右平移6个单位得．若，则的长是　 　.
【分析】利用平移的性质解决问题即可．
【解答】解：由平移的性质可知，
，
，
，
．
故答案：15．
13.已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解为__________.
【分析】变形构造相同结构．
【解答】方程组两边同除以5，得：，
已知的解为，
，解得．
14．若关于x的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数a的和为__________.
【分析】先用含的式子表示出原方程的解，再根据解为正整数，可求得的值，则符合条件的所有整数的和可求．
【解答】解：由得：
．
解得：．
解是正整数
的值可能为1，2，4，
的值可能为9，10，12．
符合条件的所有整数的和是：．
故答案为：31．
15．如下图数值转换器，若开始输入 的值是 5 ，则第 1 次输出的结果是 16 ，第 2 次输出的结果是 8 ，第 3 次输出的结果是 4 ．依次继续下去，第 2026 次输出的结果是__________.
【分析】从第3次开始，输出结果每3次按照4，2，1的顺序循环，即可解答．
【解答】解：第1次输出的结果是16，
第2次输出的结果是8，
第3次输出的结果是4，
第4次输出的结果是，
第5次输出的结果是，
第6次输出的结果是，
第7次输出的结果是2，
第8次输出的结果是1，
，
从第3次开始，输出结果每3次按照4，2，1的顺序循环，
，（2026-2）÷3=674...2
第2025次输出的结果为2，
故答案为：2．
有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M-P-N，若该折线 M-P-N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫作这条折线的“折中点”。已知点D是折线A-C-B的“折中点”，E为线段AC的中点，CD=6，CE=10，则线段BC的长是__________.
【分析】分点在上和点在上两种情况，根据线段中点的定义求出的长，再根据“折中点”的定义找到线段之间的关系，从而求出线段的长即可．
【解答】解：如图所示，当点在上时，
点为线段的中点，
，
，
，
点是折线的“折中点”，
，
；
如图所示，当点在上时，
点为线段的中点，
，
，
，
，
．
故答案为：8或32．
三、解答题（本大题6小题，17-21每小题8分，22、23每小题10分，24题12分，共72分）
17.计算：
【解答】解：（1）（x﹣1）（x+1）（x2+1）（x4﹣1）
＝（x2﹣1）（x2+1）（x4﹣1）
＝（x4﹣1）2
＝x8﹣2x4+1．
（2）原式＝[（m+2n）﹣3][（m+2n）+3]﹣[（m+n）﹣1]2
＝（m+2n）2﹣9﹣（m+n）2+2（m+n）﹣1
＝m2+4mn+4n2﹣9﹣m2﹣2mn﹣n2+2m+2n﹣1
＝2mn+3n2+2m+2n﹣10．
18.计算：
【解答】解：（1）
；
（2）
，
19.解方程：
（1） （2）
【解答】解：（1）由方程得．
故原方程组可化为：
．
把②代入①得：．
．
把代入②得：．
解得：或．
原方程组的解为：
或．
（2），
将方程化为，
①②③得，④，
将④代入①得，
同理可得，，
方程组的解为；
20．如图，直线AB，EF交于点P，直线CD，EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，且∠1＝∠3．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠5：∠6＝2：5，求∠AOF的度数．
【分析】（1）先利用角平分线的定义可得，再利用平行线的判定可得，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得，然后利用平角定义可得，，然后利用对顶角相等可得，再利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：平分，
，
，
，
；
（2）解：，
，
平分，
，
，
，
，
，，
，
平分，
，
，
的度数为．
21．按要求计算下面各题：
【分析】（1）把都改为底数为3的乘方，再利用同底数幂的乘法计算，由整体代入即可．
（2）先根据幂的乘方的法则分别求出和的值，然后根据同底数幂的乘除法法则求解．
【解答】解：（1）；
（2）．
22．阅读理解：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法解答下面的问题：
（1）若x满足（x﹣2025）2+（x﹣2026）2＝33，求（x﹣2025）（x﹣2026）的值；
（2）如图，已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF，DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积．
【分析】（1）设x﹣2025＝a，x﹣2026＝b，结合已知可得a2+b2＝33，a﹣b＝1，将a﹣b＝1两边分别平方，然后整体代换即可求解；
（2）观察图形，根据线段的构成将FM＝DE，DF用含x的代数式表示出来，根据阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2，根据（2）的方法计算即可．
【解答】解：
（1）设x﹣2025＝a，x﹣2026＝b，
∴a﹣b＝（x﹣2025）﹣（x﹣2026）＝1，
∵（x﹣2025）2+（x﹣2026）2＝13，
∴a2+b2＝33，
∴（a﹣b）2＝12，
∴a2﹣2ab+b2＝1，
∴33﹣2ab＝1，解得：ab＝16，
∴（x﹣2025）（x﹣2026）＝ab＝16．
（2）∵正方形的边长为x，AE＝1，CF＝3，
∴FM＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝48，
∵阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2，
设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝4+192＝196，
∵a＞0，b＞0，
∴a+b＞0，
∴a+b＝14，
∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28，
即阴影部分的面积为28．
23．已知关于x的方程（b﹣4）x|b|﹣3+5＝0是一元一次方程，如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为-16，b，5．
（1）求出b的值；
（2）若数轴上有两个动点P，Q分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒，运动过程中，是否存在线段AP的中点M到线段CQ的中点N距离为3？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，另外两个动点E，F分别随着P，Q一起运动，且始终保持线段EP＝2，线段FQ＝3（点E在P的左边，点F在Q的左边），当点P运动到点C时，线段EP立即以相同的速度返回，当点P再次运动到点A时，线段EP和FQ立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为EP的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得，，
，
（2），，，
，，
为的中点，为中点，
，
，
，
，
，
或；
（3）存在．或者或者或者8．理由如下：
，
，
与第一次重合中，由到的时间为7段，即时，
点，，，，
①点表示的数比点表示的数大1，
即，
．
②点表示的数比点表示的数大1，
即，
．
与第二次重合中，到返回时，即，
，
③点表示的数比表示的数大1时，
即，
；
④点表示的数比表示的数大1时，
即，
．
综上所述：的值为5或7.5或8或．
24．已知AB∥CD．
（1）如图1，求证：∠D＝∠E+∠B；
（2）如图2，F为AB，CD之间一点，连接EF，DF，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，∠D＝30°，求∠B，∠G之间的数量关系；
（3）如图3，若AB与CD交于点H，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，∠B﹣∠BHD＝20°，∠D＝30°，求∠G的度数．
【解答】解：（1）①如图，过点作，
，
，
，
，
，
；
②如图，作，，，
平分，平分，
可设，，
，
，
，，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
（2）平分，平分，
可设，，
如图，过作，
设，
，
，
，
由（1）②方法可得，，
，
，
，
．
故答案为：85．
第12题
第14题
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一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．某商店分别以相同的价格卖出两件不同的衬衣，其中一件盈利，另一件亏本，该商店这次买卖中（　　）
A．赚了 B．亏了 C．不亏不赚 D．不能确定
2．下列各组数中，互为相反数的是（　　）
3．平面内有n条直线（n≥2），这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则a+b的值是（　　）
A．n（n﹣1） B．n2﹣n+1 C．n+1 D．
4．若，，则下列各式中正确的是
5．在解关于的二元一次方程组时，若可直接消去未知数，则和满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
6．有下列四个命题：①一条直线的垂线只有一条；②在同一平面内，从一点到某直线的垂线段叫这点到这条直线的距离；③如果两条直线垂直，那么他们相交成的四个角都相等；④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中说法不正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．若方程组有无数组解，则k与m的值分别为（　　）
A．k＝1，m＝1 B．k＝2，m＝1 C．k＝2，m＝﹣2 D．k＝2，m＝2
8．将长方形纸片按图所示方式进行折叠，且满足．若增大，则（　　）
9．若，则的值为（　　）
10．如图，已知AB∥CD，CG交AB于点G，且∠C＝α，GE平分∠BGC，点H是CD上的一个定点，点P是GE所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，∠GPH与∠PHC的关系不可能是（　　）
A．∠GPH﹣∠PHC α
B．∠GPH+∠PHC α
C．∠GPH+∠PHC α＝180°
D．∠PHC+∠GPH α＝360°
填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
11．已知 则 　 　.
12．如图，将沿射线向右平移6个单位得．若，则的长是　 　.
13.已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解为__________.
14．若关于x的方程 的解是正整数，则符合条件的所有整数a的和为__________.
15．如下图数值转换器，若开始输入 的值是 5 ，则第 1 次输出的结果是 16 ，第 2 次输出的结果是 8 ，第 3 次输出的结果是 4 ．依次继续下去，第 2026 次输出的结果是__________.
16．有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M-P-N，若该折线 M-P-N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫作这条折线的“折中点”。已知点D是折线A-C-B的“折中点”，E为线段AC的中点，CD=6，CE=10，则线段BC的长是__________.
解答题（本大题6小题，17-21每小题8分，22、23每小题10分，24题12分，共72分）
17.计算：
18.计算：
19.解方程：
（1） （2）
20．如图，直线AB，EF交于点P，直线CD，EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，且∠1＝∠3．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠5：∠6＝2：5，求∠AOF的度数．
21．按要求计算下面各题：
22．阅读理解：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法解答下面的问题：
（1）若x满足（x﹣2025）2+（x﹣2026）2＝33，求（x﹣2025）（x﹣2026）的值；
（2）如图，已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF，DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积．
23．已知关于x的方程（b﹣4）x|b|﹣3+5＝0是一元一次方程，如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为-16，b，5．
（1）求出b的值；
（2）若数轴上有两个动点P，Q分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒，运动过程中，是否存在线段AP的中点M到线段CQ的中点N距离为3？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，另外两个动点E，F分别随着P，Q一起运动，且始终保持线段EP＝2，线段FQ＝3（点E在P的左边，点F在Q的左边），当点P运动到点C时，线段EP立即以相同的速度返回，当点P再次运动到点A时，线段EP和FQ立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为EP的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由．
24．已知AB∥CD．
（1）如图1，求证：∠D＝∠E+∠B；
（2）如图2，F为AB，CD之间一点，连接EF，DF，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，∠D＝30°，求∠B，∠G之间的数量关系；
（3）如图3，若AB与CD交于点H，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，∠B﹣∠BHD＝20°，∠D＝30°，求∠G的度数．
第12题
第14题
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