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第二章 机械运动
选择性必修一 人教版
5.实验：用单摆测量重力加速度
人类生活在运动的世界里，机械运动是最常见的运动，在机械运动中，振动也很常见。琴弦的振动带给人们优美的音乐，地震则可能给人类带来巨大的灾难。本章我们将从最简单的振动开始，学习怎样描述振动，分析振动的特点。
导入新课
曾经有个广东人到瑞士旅游，看到摆钟很漂亮，就买了一个回家，但是回到广东之后发现摆钟计时不准了，而在瑞士买的时候是很准的。后来就打电话投诉，但经过鉴定摆钟的质量是没有问题的。那问题出现在哪里？摆钟是走慢了还是走快了？如何进行校准呢？
物理观念 掌握单摆周期性显著特点，能在实验中发展力与运动观念、能量守恒的观念。
科学思维 通过实验设计，认识单摆模型。会运用数据模型分析单摆周期。通过观察、测量和归纳，利用单摆周期公式测量当地重力加速度，会用图像法处理实验数据得到实验结果。
科学探究 尝试用科学探究的方法研究物理问题：能在观察和实践中发现问题、提出假设；经历测量小球振动周期的实验过程，能分析数据、发现特点、形成结论。解释并交流实践成果。
科学态度 与责任 具有学习和研究物理的好奇心与求知欲，形成探索自然的内在动力，严谨认真、实事求是和持之以恒的科学态度。培养将物理实验成果服务社会生产生活的应用意识。
学习目标
重点难点
重点 实验原理 、测量方法
难点 误差分析
一、实验思路
了解地球表面重力加速度的分布，对地球物理学、航空航天技术及大地测量等领域有十分重要的意义。为此，就需要了解测量重力加速度的方法。
一、实验思路
惠更斯在推导出单摆的周期公式后，用一个单摆测出了巴黎的重力加速度。我们也可以采用同样的办法，测量所在地区的重力加速度数值。当摆角较小时，单摆做简谐运动，根据其周期公式可得
一、实验思路
讨论：要根据上式测量重力加速度，需要测量哪些物理量？应该如何设计实验装置、选择实验器材？怎样才能减小实验误差？
二、实验装置
铁架台（带铁夹），中心有孔的金属小球，约1m长的细线，米尺，游标卡尺（选用），停表
将铁夹固定在铁架台的上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，方便使用不同长度的摆线。
二、实验装置
PK
PK
PK
有弹力
无弹力
摆球与摆线的选择
三、物理量的测量
1．做单摆
(1)让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔稍大一些的结，制成一个单摆。
(2)把线的上端用铁夹固定在铁架台上并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂，在单摆平衡位置处作上标记。
三、物理量的测量
2．测摆长
用米尺量出从悬点到小球上端的悬线长l0，再用游标卡尺测量出摆球的直径d，则摆长l＝l0＋ 。
三、物理量的测量
3．测周期
将单摆从平衡位置拉开一个小角度(摆角小于5°)，然后释放摆球让单摆在竖直平面内摆动。当单摆摆动稳定后，过平衡位置时开始计时，测量30～50次全振动的时间。计算出完成一次全振动的时间，即为单摆的振动周期T。
4．改变摆长重测周期
将单摆的摆长变短或变长，重复实验三次，测出相应的摆长l和周期T。
三、物理量的测量
秒表的读数
分两部分：
1、小圈内表示分，每小格表示 0.5分钟；
2、大圈内表示秒，最小刻度为0.1秒。
3、当小圈分针没有超过半格时，大圈秒针在0～30秒内读数(小于30) ；超过半格时，大圈秒针在30～60秒内读数。
读数为2分21.5秒
注意秒表不估读
三、物理量的测量
0
31
2
33
4
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6
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8
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11
3
4
5
12
13
14
1分51.4秒
100.0s
三、物理量的测量
四、数据分析
如何进行数据分析得出当地较为准确的重力加速度g
1.平均值法:每改变一次摆长,将相应的l和T代入公式 中求出g值,最后求出g的平均值。设计如下所示实验表格：
实验次数 摆长l(m) 周期T(s) 加速度g(m/s2) g的平均值
1
2
3
四、数据分析
2.图像法：
在很多实验数据分析中，为了让作图更为准确，我们通常怎么做？
提示：想办法找到测量的两个物理量之间的线性关系式，这样作图简单而又准确。
请尝试推导T与l之间的线性关系式？然后说明如何求出重力加速度g的准确值？
由周期公式：
得
斜率： 即，做出T2-l图像，求出斜率k,则：
四、数据分析
四、数据分析
在实验中，哪些操作会导致实验产生误差？
主要来自于单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定，摆球和摆长是否符合要求，最大摆角是否不超过5°，是否在同一竖直平面内摆动等。
1.系统误差
四、数据分析
2.偶然误差
（2）测长度和摆球直径时，读数也容易产生误差。
（1）主要来自于时间测量，测量时间时要求从摆球通过平衡位置开始计时，在记次数时不能漏记或多记。同时应多次测量，再对多次测量结果求平均值。机械式停表只能精确到0.1s，读数时不需估读.
四、数据分析
四、数据分析
六．注意事项
(1)构成单摆的条件：摆线应选择细且不易伸长的线，摆球应选择体积小、密度大的小球，且摆角不能超过5°。
(2)固定悬点：单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑，摆长改变的现象。
(3)摆动方法：要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放。
(4)测摆长：摆长应是悬点到球心的距离，等于摆线长加上小球半径。
四、数据分析
(5)测周期：要从摆球经过平衡位置时开始计时，以摆球从同一方向通过平衡位置时计数。且要测多次全振动(一般30～50次)的时间来计算周期，如在摆球过平衡位置时，开始计时并数零，以后摆球完成一次全振动记一个数，最后总计时为t，记数为n，则周期T＝t/n。
六、练习与应用
1.用单摆测重力加速度的实验装置如图所示.
(1)实验中,摆线与悬点连接处要用铁夹夹住,不能随意地将摆线绕在铁架上,其原因是　　　　.
A.防止摆角大于5°
B.防止测量摆长时无法得到较精确的数据
C.防止摆球在摆动过程中摆长发生变化
D.防止摆线固定点松动,造成摆长越来越长
六、练习与应用
(2)以下是某同学在实验中记录的两组数据,请根据表格数据,把表格中需要计算的物理量填上,并求出当地的重力加速度(保留两位小数,π取3.14).
次数 摆线长 度/cm 摆球直 径/cm 50次全振动时间/s 摆长 l/cm 重力加速度g/(m·s-2)
1 97.0 2.00 100 ①　 　 ②　 　
2 79.0 2.00 90 ③　 　 ④　 　
本次实验测得当地的重力加速度g=　　　m/s2.
(3)若两个摆长不等的单摆,摆球质量之比m1∶m2=2∶3,在同一地方做小角度摆动时摆角相等,它们通过最低点时的速度之比v1∶v2=3∶2,则它们的周期之比T1∶T2=　　　　.
六、练习与应用
解析(1)若将摆线绕在铁架上,则随着单摆的摆动,摆线的长度要发生改变,故摆线与悬点连接处要用铁夹夹住.
(2)由表中数据可知,①处l1=98 cm,③处l2=80 cm,T1=2 s,T2=
1.8 s;根据T=2π解得g=,代入数据解得g1=9.66 m/s2,
g2=9.74 m/s2,取平均值可得g=9.70 m/s2.
(3)由机械能守恒可得mgl(1-cos θ)=mv2,解得l=∝v2,由T=2π∝可知T∝v,则T1∶T2=v1∶v2=3∶2.
答案 (1)C　(2)①98　②9.66　③80　④9.74　9.70 (3)3∶2
六、练习与应用
【典例2】某同学利用单摆测当地重力加速度.
(1)利用游标卡尺测得金属小球直径如图甲所示,小球直径
d=　　　　cm.
甲
六、练习与应用
(2)该同学的测量数据如下表所示,请在图乙中画出l-T2图像.
l/m 0.400 0.500 0.600 0.800 1.200
T2/s2 1.60 2.10 2.40 3.20 4.80
乙
由图像可得重力加速度g=　　m/s2(结果保留3位有效数字).
六、练习与应用
(3)该同学在实验过程中,摆长没有加小球的半径,其他操作无误,那么他得到的实验图像可能是下列图像中的　　　　.
A
B
C
D
六、练习与应用
解析 (1)小球的直径d=22 mm+0.1 mm×6=22.6 mm=2.26 cm.
(2)l-T2图像如图所示.由T=2π可得l=T2,k=,对应图像可得k=0.25 m/s2,可解得g=4π2k=9.86 m/s2.
(3)在实验中,若摆长没有加小球的半径,其他操作无误,则l=T2-,故可知选项B正确.
答案(1)2.26　(2)见解析图.　9.86　(3)B
四、练习与应用
4.有一单摆,其摆长l=1.02 m,摆球的质量m=0.10 kg,已知单摆做简谐运动,单摆30次全振动所用的时间t=60.8 s.
(1)求当地的重力加速度大小.
(2)如果将这个单摆改为秒摆(周期为2 s),那么摆长应怎样改变 改变多少
七、提升训练
1.某同学利用单摆测量重力加速度.
(1)用游标卡尺测量摆球的直径如图甲所示,则小球的直径为
　　　　mm.用停表测出单摆多次全振动时间如图乙所示,停表读数为　　　　s.
甲
乙
(2)若该同学测得的重力加速度数值大于当地重力加速度的数值,则引起这一误差的原因可能是　　　　.
A.误将摆线长当作摆长
B.误将摆线长与球的直径之和当作摆长
C.误将n次全振动次数计为n+1次
D.误将n次全振动次数计为n-1次
七、提升训练
(3)另有一实验小组同学进行了实验创新,实验时用拉力传感器测得摆线的拉力F大小随时间t变化的图像如图丙所示,并且测量了摆线的长度l0和摆球直径d,则测得当地重力加速度g=　　　(用本小题及图中的字母表示).
丙
七、提升训练
七、提升训练
答案 (1)10.30　75.2　(2)BC　(3)
解析(1)由题图甲知所用游标卡尺是20分度的,游标尺的分度值为0.05 mm,主尺读数为10 mm,游标尺示数为6×0.05 mm=
0.30 mm,游标卡尺示数为10 mm+0.30 mm=10.30 mm;由题图乙所示停表可知,分针示数为1 min=60 s,秒针示数为15.2 s,读数为60 s+15.2 s=75.2 s.
(2)根据T=2π得g=,把摆线长当作摆长时,摆长测量值偏小,测得的重力加速度数值小于当地重力加速度的数值,选项A错误.把摆线长与球的直径之和当作摆长时,摆长测量值偏大,测得的重力加速度数值大于当地重力加速度的数值,选项B正确.误将
七、提升训练
【典例4】某同学利用单摆测重力加速度.
(1)从下列器材中选用最合适的器材(填写器材代号)　 　.
A.小铁球
B.小塑料球
C.20 cm长的细线
D.100 cm长的细线
E.手表
F.时钟
G.停表
七、提升训练
(2)若测得的g值偏大,则可能的原因是　　　.
A.摆球的质量太大
B.测摆长时,仅测了线长,未加小球半径
C.测周期时,把n次全振动误记为n+1次
D.摆球上端未固定牢固,振动中出现松动(摆长变长)
七、提升训练
(3)该同学想进一步验证单摆的周期和重力加速度的关系,但又不可能去不同的地区做实验.该同学就将单摆与光电门传感器安装在一块摩擦不计、足够大的板上,使板与水平面的夹角为α,让摆球在斜面上做小角度摆动,如图甲所示.利用该装置可以验证单摆的周期和等效重力加速度的关系.若保持摆长不变,则实验中需要测量的物理量有 .和　　 .若利用实验所测物理量绘制的图线如图乙所示,则图像中的纵坐标表示　　　,横坐标表示　　　.
甲
乙
七、提升训练
答案(1)ADG　(2)C　(3)木板倾角α　单摆振动的周期T　T2　(后两空答案不唯一)
解析(1)利用单摆测重力加速度的实验中,球越重、体积越小越好,选小铁球;摆线应选相对长点的,不能过长也不能过短,选100 cm长的细线;实验还需要测量时间,选停表.所以最合适的器材选ADG.
(2)根据T=2π可得g=,则摆球的质量对实验无影响,选项A错误.测摆长时,仅测了线长,未加小球半径,这样摆长测量值偏小,则测得的重力加速度g值偏小,选项B错误.测周期时,把n次全振动误记为 n+1 次,则测得的周期偏小,则测得的重力加速度g值偏大,选项C正确.摆球上端未固定牢固,振动中出现松动(摆长变长),这时测得的周期偏大,则测得的重力加速度g值偏小,选项D错误.
七、提升训练
(3)此单摆的等效重力加速度为g'=gsin α,则单摆的周期T=2π.保持摆长不变时,要测量的物理量是木板倾角α和单摆振动的周期T.将T=2π变形为T2=4π2l·,若利用实验所测物理量绘制的图线如题图乙所示,则图像中的纵坐标表示T2,横坐标表示.

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